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2011年高考数学二轮考点专题(七) 数学思想方法突破检测


专题达标检测七
一、选择题 1.已知 x,y∈R,且 2x+3y>2 y+3 x,那 么
- -

(

)

A.x+y<0 C.xy<0 解析:设 f(x)=2x-3 x.


B.x+y>0 D.xy>0

因为

2x,-3 x 均为 R 上的增函数,所以 f(x)=2x-3 x 是 R 上的增函数
- -

又由 2x-3 x>2 y-3y=2 y-3
- - -

-(-y)



即 f(x)>f(-y), ∴x>-y,即 x+y>0.选 B. 答案:B π 2.设函数 f(x)=x3+sin x,若 0≤θ≤ 时,f(mcos θ)+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取 2 值范围是 A.(0,1) C.(-∞,1) B.(-∞,0) 1? D.? ?-∞,2? ( )

解析:易知 f(x)为奇函数、增函数,f(mcos θ)+f(1-m)>0,即 f(mcos θ)>f (m-1), π ∴mcos θ>m-1,而 0≤θ≤ 时,cos θ∈[0,1], 2
?m>m-1, ? ∴? 得 m<1. ?0>m-1 ?

答案:C 3 3.方程 x2- x-m=0 在 x∈[-1,1]上有实根,则 m 的取值范围是 2 9 A.m≤- 16 5 C.m≥ 2 3 解析:m=x2- x 2 3 9 5 x- ?2- ≤ , =? 4 ? ? 16 2 3 9 又当 x= 时,m 最小为- , 4 16 9 5 ∴- ≤m≤ . 16 2 答案:D
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(

)

9 5 B.- <m< 16 2 9 5 D.- ≤m≤ 16 2

4.已知函数 f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,构造函数 F(x),定义如下:当 f(x)≥g(x)时, F(x)=g(x);当 f(x)<g(x )时,F(x)=f(x).那么 F(x) A.有最大值 3,最小值-1 B.有最大值 7-2 7,无最小值 C.有最大值 3,无最小值 D.无最大值,也无最小值 解析: ( )

画图得到 F(x)的图象:为射线 AC、抛物线弧 AB 及射线 BD 三段,联立方程组
?y=2x+3 ? ? 得 xA= 2- 7, 2 ? ?y=x -2x

代入得 F(x)最大值为 7-2 7,由图可得 F(x)无最小值,从而选 B. 答案:B

5.已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的 导函数),以下四个图象中,y=f(x)的大致图象是 ( )

解析: 函数 y=xf′(x)是 y=f′(x)与 y=x 的复合函数, 当 y=0 且 x∈R 时, 必有 f′(x) =0.因而其图象与 x 轴交点即为 f′(x)=0 两根.由图象提 供的信息,函数 y=f(x)在 x =1 和 x=-1 处取得极值.观察图象,只有 C 项合适. 答案:C 6.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的范围是
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(

)
-2-

A.(0,1) 解析:

B.(1,2)

C.(1,2]

1? D.? ?0,2?

设 f1(x)=(x-1)2,f 2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,只 需 f1(x)=(x- 1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 的下方即可. 当 0<a<1 时,显然不成立. 当 a>1 时,如图,要使在(1,2)上, f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的下方,只需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2,loga2≥1, ∴1<a≤2. 答案:C 二、填空题 x 7.已知:f(x)= ,设 f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n>1 且 n∈N*),则 f3(x)的表达式 1-x 为________,猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为________. 解析:由 f1(x)=f(x)和 fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n>1 且 n∈N*),得 x 1-x x f2(x)=f1[f1(x)]= = , x 1-2x 1- 1-x x 1-2x x f3(x)=f2[f2(x)]= = ,…,由此猜想 2x 1-22x 1- 1-2x fn(x)= x * - (n∈N ). 1-2n 1x

x x 答案: - 1-22x 1-2n 1x 8.若方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)只有一个根,则 a 的取值范围是________. 解析:

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原方程等价于 x-1>0 ? ?3-x>0 ?a-x>0 ? ??x-1??3-x?=a-x
? ?a=-x +5x-3 即? , ?1<x<3 ?
2

构造函数 y=-x2+5x-3(1<x<3)和 y=a,作出它们的图象,易知平行于 x 轴的直线 与抛物线的交点情况为: 13 ①当 1<a≤3 或 a= 时,原方程有一解; 4 13 ②当 3<a< 时,原方程有两解; 4 13 ③当 a≤1 或 a> 时,原方程无解. 4 13 因此,a 的取值范围是 1<a≤3 或 a= . 4 13 答案:1<a≤3 或 a= 4 9.若曲线 y2=|x|+1 与直线 y=kx+b 没有公共点,则 k、b 分别应满足的条件是 ________.

?x+1,x≥0 ? 解析:y2=? ,其图象如图所示,对直线 y=kx+b,k≠0 时,直线与曲 ? ?-x+1,x<0

线一定相交,只有当 k=0,且-1<b<1 时无交点. 故填 k=0;-1<b<1. 答案:k=0,-1<b<1 10.若不等式 x2+px>4x+p-3 对一切 0≤p≤4 均成立,则实数 x 的取值范围为 ________.
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解析:∵x2+px>4x+p-3, ∴(x-1)p+x2-4x+3>0.
? ?g?0?>0 令 g(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则要使它对 0≤p≤4 均有 g(p)>0,只要? , ?g?4?>0 ?

∴x>3 或 x<-1. 答案:x>3 或 x<-1 三、解答题 π ? π 11.若函数 f(x)=a+bcos x+csin x 的图象经过点(0,1)和? ?2,1?,且当 x∈[0,2]时, -2≤f(x)≤2 恒成立,试求 a 的取值范围 π ? 解:∵f(x)过(0,1)和? ?2,1?, π? ∴f(0)=a+b=1,f? ?2?=a+c=1, 即 b=c=1-a. ∴f(x)=a+(1-a)(cos x+sin x) π? =a+ 2(1-a)sin? ?x+4?. π? π π 3 ∵x∈? ?0,2?,∴4≤x+4≤4π. ∴ π? 2 ≤sin? ?x+4?≤1. 2

f(x)的取值范围与 1-a 的正负有关系,从而讨论如下: ①当 a≤1 时,1≤f(x)≤a+ 2(1-a). ∵-2≤f(x)≤2, ∴只要 a+ 2(1-a)≤2 解得 a≥- 2,∴- 2≤a≤1. ②当 a>1 时,a+ 2(1-a)≤f(x)≤1, ∵-2≤f(x)≤2, 只要 a+ 2(1-a)≥-2, 解得 a≤4+3 2.∴1<a≤4+3 2. 结合①②知,实数 a 的取值范围为[- 2,4+3 2]. 12.已知函数 f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在 x=1 处取得极值-3-c,其中 a,b,c 为常 数. (1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间;
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(3)若对任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c2 恒成立,求 c 的取值范围. 解:(1)由题意知 f(1)=-3-c, 因此 b-c=-3-c,从而 b=-3. 1 又对 f(x)求导得 f′(x)=4ax3ln x+ax4· +4bx3=x3(4aln x+a+4b). x 由题意 f′(1)=0,因此 a+4b=0,解得 a=12. (2)由(1)知 f′(x)=48x3ln x(x>0), 令 f′(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,f′(x)<0,此时 f(x)为减函数; 当 x>1 时,f′(x)>0,此时 f(x)为增函数. 因此 f(x)的单调递减区间为(0,1), 而 f(x)的单调递增区间为(1,+∞). (3)由(2)知,f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3-c,此极小值也是最小值 要使 f(x)≥-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≥-2c2. 即 2c2-c-3≥0,从而(2c-3)(c+ 1)≥0, 3 解得 c≥ 或 c≤-1. 2 3 ? 所以 c 的取值范围为(-∞,-1]∪? ?2,+∞?. 13.已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x+m. (1)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大 值 h(t); (2)是否存在实数 m 使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当 t+1<4,即 t<3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1) =-t2+6t+7;当 t≤4≤t+1 即 3≤t≤4 时,h(t)=f(4)=16; 当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减, h(t)=f(t)=-t2+8t. -t +6t+7,t<3, ? ? 综上,h(t)=?16,3≤t≤4, ? ?-t2+8t,t>4. (2)函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数 Φ(x)=g(x) -f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵Φ(x)=x2-8x+6ln x+m,
2

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2 6 2x -8x+6 ∴Φ′(x)=2x-8+ = x x



2?x-1??x-3? (x>0) x

当 x∈(0, 1)时,Φ′(x)>0,Φ(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,Φ′(x)<0,Φ(x)是减函数; 当 x∈(3,+∞)时,Φ′(x)>0,Φ(x)是增函数; 当 x=1 或 x=3 时,Φ′(x)=0. ∴Φ(x)极大值=Φ(1)=m-7, Φ(x)极小值=Φ(3)=m+6ln 3-15. ∵当 x 充分接近 0 时,Φ(x)<0,当 x 充分大时,Φ(x)>0 ∴要使 Φ(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
? ?Φ?x?极大值=m-7>0, ? ? ?Φ?x?极小值=m+6ln 3-15<0.

即 7<m<15-6ln 3. 所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m 的取值范围 为(7,15-6ln 3)

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