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奥赛辅导第14讲微观世界的规律与方法(湖南郴州市湘南中学 陈礼生)


第十四讲
一、知识点击 1.原子结构模型 ⑴玻尔模型理论:

微观世界的规律与方法

①定态假设:原子中的电子绕核作圆周运动,并不向外辐射能量,其轨道半 径只能取一系列不连续值,对应的原子处于稳定的能量状态。 ②跃迁假设:电子从一个定态轨道(设对应的原子定态能量为 En2)跃迁到 另一定态轨道(设定态能量为 En1)上时,会辐射或

吸收一定频率的光子, 能量由这两种定态的能量差决定,即 h? ? En 2 ? En1 。 ③角动量量子化假设:电子绕核运动,其轨道半径不是任意的,只有电子的 轨道角动量(轨道半径 r 和电子动量 m? 的乘积)满足下列条件的轨道才是 允许的.
m? r ? n h 2?

n=1,2,3,?

me4 1 me4 ⑵氢原子的能级公式为 En ? ? 2 2 2 ? E1 2 , 其中 E1 ? ? 2 2 ? ?13.6eV 。 8? 0 h n n 8? 0 h
2.物质的二象性 不确定关系

1924 年,德布罗意从光的波粒二象性推断实物粒子,如电子、质子等也具有 波动性, 即实物粒子也具有二象性. 同实物粒子相联系的波称为德布罗意波, 其波长 ? ?
h h ? 。 p m?

量子理论的发展揭示出要同时测出微观物体的位置和动量, 其精密度是有一 定限制的.这个限制来源于物质的二象性.海森伯从量子理论推理,测量一 个微粒的位置时,如果不确定范围是 ?x ,那么同时测得其动量也有一个不 确定范围 ?p , ?x 与 ?p 的关系为 ?p?x ? 系,其中 h 为普朗克常数. 不确定关系是普遍原理, 也存在于能量与时间之间一个体系 (例如原子体系)
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h ? ? ,此式称为海森伯不确定关 4? 2

处于某一状态,如果时间有一段△t 不确定,那么它的能量也有一个范围Δ E 不确定,二者的乘积有如下关系: ?E ?t ?
? 2

3.原子核的基本性质与核反应 ⑴质能方程、质量亏损和原子核的结合能 爱因斯坦由相对论得出的质能方程为 E ? mc 2 , 如果物质的质量增加Δ m,则其能量也相应增加Δ E,反之亦然,即有
?E ? ?m ? c 2 。

在原子核中, 原子核由核子组成, 但原子核的质量却小于核内核子质量之和, 原子核的质量 M 与组成它的核子质量总和的差值称为质量亏 损. ?m ? (Zmp ? Nmn ) ? M核 由上面得知,自由核子在结合成原子核时能量减少了 ?E ? ?m ? c 2 ,即有能 量释放出来,这能量即为该核的结合能. ⑵核反应方程和核反应能 原子核反应是原子核受一个粒子撞击而放出一个或几个粒子的过程. 核反应 过程遵守下列守恒定律:①电荷守恒;②核子数守恒;③动量守恒;④总质 量和联系的总能量守恒等.利用这些守恒定律,可以写出核反应方程式. 核反应能 Q 定义为反应后粒子的动能超出反应前粒子动能的差值.根据总 质量和联系的总能量守恒,由反应前后核和粒子的静质量可得出反应能 Q 的计算公式, 根据动量守恒,也可由人射粒子和出射粒子的动能及这两种粒 子运动方向的夹角θ 值得出反应能 Q。 4.基本粒子的探索 基本粒子之间的相互作用有四种:强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用 和万有引力相互作用. 除了电磁相互作用的传播子 ? 光子和万有引力作用的传播子 g(尚未发现) 外,其余所有的粒子按它们之间的相互作用可分为两类:

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强子:参与强相互作用的粒子,强子又分为重子(核子、超子)和介子两类, 质子(为核子)是最早发现的强子,强子具有内部结构. 轻子:不参与强相互作用的粒子,电子是最早发现的轻子,实验表明,轻子 是点粒子, 迄今尚未发现它有任何结构. 每一种基本粒子都有自己的反粒子, 正反粒子相遇时,会发生湮灭现象,如即电子与正电子相遇时,会湮灭产生 两个光子. 1963-1964 年间,盖尔曼提出了夸克模型.1965-1966 年,我国的一批理论 物理学家提出了与此类似的“层子”模型.现在,这两种名称(夸克和层子) 常常并提,下面我们还用夸克这一名称.有六种不同的夸克,分别是上夸克 (u) 、下夸克(d)、奇异夸克(s)、桀夸克(c)、底夸克(b)和顶夸克(t)。 夸克模型认为所有的重子都是由三种夸克组成, 所有反重子都是由三种反夸 克组成,所有介子都是由一种夸克和一种反夸克组成.但是,单独的夸克至 今未曾测到,这还有待于人们进一步去探索.

二、方法演练 类型一、利用玻尔的三个量子化假设来求解类氢离子和类氢原子的问题。 例 1. 原子核俘获一个 ? ?1 子 ? ?1 子质量是电子质量的 207 倍, ( 电荷与电子相同) 形成 ? 原子,应用玻尔理论于 ? 原子。假设原子核静止。试求: (1) ? ?1 子的第一轨道半径。已知原子核的质子数为 Z,氢原子的第一玻尔 轨道半径 a0 ? 0.529 ?10?10 m 。 (2)电离能。 (3)从第二轨道到第一轨道跃迁时所放射的光子的波长。 (4)设原子核的质量数 A =2Z(即中子数 N 等于质子数 Z) ,问当 A 大于什 么 值 时 , ? ?1 子 轨 道 将 进 人 原 子 核 内 。 已 知 原 子 核 半 径 的 公 式 为

R ? 1.2 ?10?15 A3 m 。
1

分析和解: (1)对这个问题的分析如同类氢离子的情形完全一样。设 ? ?1 子质量为

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m? (m? ? 207me ) ,处在第 n 条轨道上,其半径为 rn,速度为 ?n ,能量为
En,根据库仑 定律和牛顿定律,有
2 m??n

rn

?

ze2 4?? 0 rn2

1 ze2 2 原子体系的能量为 En ? m??n ? 2 4?? 0 rn
应用玻尔量子化条件,有 m??n rn ? n
h (n ? 1, 2,3, ???) 2?

从以上三式可求出 ? ?1 子量子化的轨道半径和量子化的能量公式为

rn ?

4?? 0 n2 h2 (n ? 1, 2,3, ???) 4? 2 m? ze2 2? 2 m? z 2e4 (4?? 0 )2 n2 h2 (n ? 1, 2,3, ???)

En ? ?

以 m? ? 207me 代入,并注意到氢原子的第一玻尔轨道半径

a0 ?

4?? 0 h2 ? 0.529 ?10?10 m , 4? 2 m? e2 2? 2 m? e4 (4?? 0 )2 h2 ? ?13.6eV ,可将 ? ?1 子的轨道半径和

氢原子的基态能量 E0 ? ?

能级公式改写为 rn ?

n2 207 Z 2 E0 a0 , En ? ? n2 207 Z
1 1 a0 ? ? 0.529 ?10?10 m 207 Z 207 Z

令 n=1 得 ? ?1 子的第一轨道半径为 r1 ? (2) ? 原子的电离能为

E电离 ? ?E1 ? ?207Z 2 E0 ? 207Z 2) 13.6eV ( ?
(3)应用频率法则,
hc

?
1

? E2 ? E1

E2 ? E1 207 Z 2 1 3 207 Z 2 ? ? ( ? 1 E0 ? ? ) E0 ? hc hc 4 4 hc

求得从第二轨道跃迁到第一轨道时所放射的光子的波长为

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???

4 hc 1 = ?1.22 ?102 nm 2 3 207 Z E0 (207 Z 2)
2 A a0 ,得到 r1 ? 207 A 2

(4)在第一轨道半径的表达式中,令 Z ?

要使 ? ?1 子进入原子核内,则要满足下式 R1<R 将题中的各已知量代入,可解得 A>94

型二、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动量 与能量守恒方程求解原子能量的问题。 例 2.有两个处于基态的氢原子 A、B,A 静止,B 以速度 ?0 与之发生碰撞。已 知:碰撞后二者的速度 ? A 和 ?B 在一条直线上,碰撞过程中部分动能有可能 被某一氢原子吸收,从而该原子由基态跃迁到激发态,然后,此原子向低能 态跃迁,并发出光子。如欲碰后发出一个光子,试论证:速度 ?0 至少需要多 大 ( 以 m/s 表 示 ) ? 已 知 电 子 电 量 为 e ? 1.602 ?10?19 C , 质 子 质 量 为

mP ? 1.673?10?27 kg ,电子质量为 me ? 9.11?10?31 kg ,氢原子的基态能量为
E1 ? ?13.58eV 。
分析和解:为使氢原子从基态跃迁到激发态,需要能量最小的激发态是 n=2 的 第一激发态。已知氢原 子的能量与其主量子数的平方成反比,即有
En ? K 1 n2 1 ? ?13.58eV 12

又知基态(n=1)的能量为 E1 ? ?13.58eV ,即 E1 ? K 所以 K ? ?13.58eV
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n=2 的第一激发态的能量为 E2 ? K

1 1 ? ?13.58 ? eV ? 3.39eV 2 2 4

为使基态的氢原子激发到第一激发态,所需能量为

E内 ? E2 ? E1 ? ? 3.39 ? 13.58)eV ? 10.19eV (
这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发生的光子的能量,即

h? ? E内 ? 10.19eV ? 10.19 ?1.602 ?10?19 J
式中? 为光子的频率从开始碰撞到发射出光子, 根据动量和能量守恒定律有

m?0 ? m?A ? m?B ? 光子的动量
1 1 2 2 m?0 ? m ? A ? ? B) h? ( 2 ? 2 2

光子的动量 P ? ?
m?0 ??

h? 2h? 。由上面的第二式可推得 m?0 ? ,因 ?0 ?? c ,所以 c ?0

2h? ,故上面第一式中光子的动量与 m?0 相比较可忽略不计,第一式 c

变为

m?0 ? m?A ? m?B ? m(?A ? ?B )
于是,符合动量与能量守恒的 ?0 的最小值可推求如下:
1 1 1 1 2 2 2 2 m?0 ? m ? A ? ? B) h? ? m ? A ? ? B) m? A? B ? h? ? m?0 ? m? A (?0 ? ? A ) ? h? ( 2 ? ( 2 ? 2 2 2 2
2 m?A ? m?A?0 ? h? ? 0

1 1 1 1 2 2 经配方得 m(? A ? ?0 )2 ? m?0 ? h? ? 0 ,即 m?0 ? h? ? m(? A ? ?0 )2 2 4 4 2
1 h? 由此可以看出,? A ? ? 0 时,?0 达到最小值 ?0min , 此时 ?A ? ?B ,?0min ? 2 2 m

代入有关数值,得 ?0min ? 6.25?104 m / s 即 B 原子的速度至少应为 6.25 ?104 m / s 。 类型三、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动 量与能量守恒方程求解原子能量中考虑到离子的反冲与不考虑反冲相比的 问题。 例 3.已知基态 He+的电离能为 E=54.4 eV。
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(1)为使处于基态的 He+进人激发态,入射光子所需的最小能量应为多少? (2)He+从上述最低激发态跃迁回基态时,如考虑到该离子的反冲,则与不 考虑反冲相比,它所发射的光子波长的百分变化有多大?(离子 He+的 能 级 En 与 n 的 关 系 和 氢 原 子 能 级 公 式 类 似 。 电 子 电 荷 取
e ? 1.602 ?10?19 C , 质子和中子质量均取 mP ? 1.673?10?27 kg 。 在计算中,

可采用合理的近似。 ) 分析和解: (1)电离能表示 He+的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量,而题中所问 的最小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态,所以
1 1 1 E最小 ? E 2 ? 2 ) 54.4 ? (1 ? ) ? 40.8eV ( ? 1 2 4

(2) 如果不考虑离子的反冲, 由第一激发态跃迁回基态发射的光子有关系式:

E最小 ? h? 0
现在考虑离子的反冲,光子的频率将不是? 0 而是? ,则由能量守恒得
1 E最小 ? h? ? M ? 2 2 1 式中 M ? 2 为反冲离子的动能。 2 h? 又由动量守恒得 M ? ? c

式中 M ? 是反冲离子动量的大小, 而 波长的相对变化为

h? 是发射光子的动量的大小。 于是, c

??

?0

?

? ? ?0 ? 0 ?? h? 0 ? h? ? ? ? ? h?

由前面几式可得

??

?0

1 M? 2 M?c h? 2 ? ? ? 2 M?c 2Mc 2Mc 2

由于 Mc2 ?? h? ?? h(? ?? 0 ) 所以

??

?0

?

h? 0 h(? 0 ?? ) h? 0 ? ? 2 2 2Mc 2Mc 2Mc 2 ?? ? 40.8 ?1.60 ?10?19 ? 5.4 ?10?9 2 ? 4 ?1.67 ?10?27 ? (3 ?108 )2
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代人数据:

?0

即百分变化为 0.00000054%。 类型四、用迭代法求解半衰期的近似值的问题。 例 4.假定地球形成时同位素 238U 和 235U 己经存在,但不存在它们的衰变产物。
238

U 和 235U 的衰变被用来确定地球的年龄 T。

(a)同位素 238U 以 4. 50×109 年为半衰期衰变,衰变过程中其余放射性衰变 产物的半衰期比这都短得多。作为一级近似,可忽略这些衰变产物的存在。 衰变过程终止于铅的同位素 206 Pb 。 238U 的半衰期、 用 现在 238U 的数目 238 N 表 示出由放射衰变产生的 206 Pb 原子的数目 206 n(运算中以 109 年为单位为宜) 。 (b)类似的, 235U 在通过一系列较短半衰期产物后,以 0. 710×109 年为半 衰期衰变,终止于稳定的同位素 207 Pb 。写出 207 n 与 235 N 和 235U 半衰期的关 系式。

(c)一种铅和铀的混合矿石,用质谱仪对它进行分析,测得这种矿石中铅同
206 位素 204 Pb , Pb 和 207 Pb 的相对浓度比为 1.00:29. 6: 22.6。 由于同位素 204 Pb

不是放射性的,可以用作分析时的参考。分析一种纯铅矿石,给出这三种同 位素的相对浓度之比为 1.00:17.9:15.5。已知比值 238 N : 235 N 为 137:1,试导 出包含 T 的关系式。 (d)假定地球的年龄 T 比这两种铀的半衰期都大得多,由此求出 T 的近似 值。 (e)显然上述近似值并不明显大于铀同位素中较长的半衰期,但用这个近似 值可以获得精确度更高的 T 值。由此在精度 2%以内估算地球的年龄 T。 分析和解: (a) N ? N 0 2 ? 其中 N0 为原始原子数, ? 为半衰期。
?t

n ? N0 ? N0 2 ? ? N0 (1 ? 2 ? )
用现在原子数 N 表示,则为 n ? N (2 ? ?1) 所以 206 n ? 238 N (24.50 ?1)
t

?t

?t

?t



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其中 t 以 109 年为单位。 (b)同理 207 n ? 235 N (20.710 ?1)
t

n (c) 207 ? n

206

N 2 4.50 ? 1 29.6 ? 17.9 2 4.50 ? 1 ,即 , ? t ? 137 ? T 235 N 2 0.710 ? 1 22.6 ? 15.5 2 0.710 ? 1
238
T T

t

T

或 0.0120(20.710 ?1) ? (24.50 ?1)


T T

(d)既设 T ?? 4.50 ,在上式中可略去 1,而有 0.0120 ? 20.710 ? 2 4.50 即 0.0120 ? 2
1 1 T ( 4.50 ? 0.710 )

,T ?

lg 0.0120 ? 5.38 1 1 lg( 4.50 ? 0.710 )

T ? 5.38 ?109 年
(e)T 并不 ?? 4.50 ?109 年,但>0. 710×109 年。可以 T 的近似值(称为
T * ? 5.38 ?109 年)代入(c)中未略去 1 的方程②的 2 4.50 项中,计算 2 0.71 项中
T T

的 T,以得到 T 的较好近似值,再重复以上运算,得出更好的 T 近似值。
0.0120(2
T 0.710

? 1) ? (2

T* 4.50

? 1) , 2

T 0.710

2 4.50 ? 1 ?1 ? ? 107.5 0.0120

5.38

得 T ? 0.71

lg107.5 ? 4.80 lg 2
T 0.710

再取 T ? 4.80 , 2
*

lg 91.2 2 4.50 ? 1 ? 4.63 ?1 ? ? 91.2 , T ? 0.71 lg 2 0.0120

4.80

再作一次运算得 T=4.58,故 T 的更精确答案在 4.5 ?109 年到 4.6 ?109 年范围 内(两个值都算对) 类型五、用原子核的简化模型求解原子核内核子的平均结合能的问题。 例 5.研究原子核的下列粗糙模型: 假定原子核是一个立方体,有 n ? n ? n 个核子,每个核子被其他核子的核力 所吸引(强相互作用) ,由于这种力的作用距离很小,我们假定每个核子只 与其最邻近的核子之间有相互作用。每个核子—核子对由于这种结合而对核 的总结合能的贡献是一个常数。 原子核内有核电荷 Ze,它在原子核内产生斥力。根据量纲分析,核的总静
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电势能正比于

Z2 ,其中 d 为原子核的线度。在这个粗糙的模型中,我们可 d

以假定 Z 正比于原子核中的核子数 A。 已知元素周期表中元素 Fe (A =56)附近的原子核是非常稳定的,它们的核子 具有的平均结合能最大,都约为 8.78 MeV/核子。 试根据上述模型和已知的事实,给出任一原子核内每个核子的平均结合能 E 与 n 之间的关系式。 分析和解:想象在一个广阔的空间内有很多核子均匀规则地排列着,与一个 核子在前后左右上下周围相邻的核子共有 6 个,所以这个核子参与 6 个核子 —核子对的强相互作用。对于题述的 n3 个核子。我们可以想象将其置于上述 的广阔空间之内,则如上计算共有 6n 3 个核子—核子对强相互作用。但实际 上这个“核立方体”外并无核子,这个核立方体有 6 个外侧面,每个外侧面 内有 n2 个核子,由于这个侧面以外再无核子,故对应于此侧面内的每个核子 均应减去朝外的一个核子—核子对强相互作用,即减去 n2 个,对于 6 个外侧 面而言,总共应减去 6n 2 个。由上计算则尚有 (6n3 ? 6n2 ) 个核子—核子对强 相互作用。又由于这种成对的作用是在两个核子之间存在的,上面的计算是 按一个一个核子独立计算后累加的,因此上述的累加中已把每对作用都计算 了两次,可见核内的这种强相互作用的实际对数应为 (3n3 ? 3n2 ) 。设每个核 子—核子对强相互作用结合时释放出的能量为 a,则此核形成时,由于强相 互作用应放出的总能量为 3an2 (n ?1) 。 另一方面,核的总静电势能正比于
Z2 ,而 Z 正比于核子数 A,即正比于 n3 , d

d 为核的线度,显然正比于 n,由此,核的总静电势能正比于 n5 。设其比例 系数为 b,则核的总静电势能为 bn 5 。即此核形成时,由于静电势能的增加需 吸收的能量为 bn 5 。 由上面两方面可得到原子核形成时释放的总结合能为
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E ? 3an2 (n ?1) ? bn5
每个核子的平均结合能为 E ?
?

E 1 ? 3a (1 ? ) ? bn 2 3 n n

上式中 a、b 为与 n 无关的常数。下面我们进一步来确定常数 a、b 之值。 根据元素 Fe 附近的原子核中核子的平均结合能差不多都相等这一事实,应 有:当 n 有微小变化Δ n 时,由上式求出的平均结合能的值不变,即
1 1 3a(1 ? ) ? bn 2 ? 3a(1 ? ) ? b( n ? ?n) 2 n n ? ?n 1 1 1 1 ?n 在Δ n 很小时,近似地有 ? ? ? (1 ? ) n ? ?n n 1 ? ?n n n n

代入前式中,整理,并略去 (n ? ?n)2 展开式中的 (?n) 2 项,得到
3a ? 2bn3 ? 0

又根据元素 Fe 的核子平均结合能为 8.78 MeV 这一事实,有
1 3a (1 ? ) ? bn 2 ? 8.78MeV n

另有 n3 ? 56 综合以上三式,可解得 a ? 4.814MeV , b ? 0.129MeV 由此,将 a、b 之值代人平均结合能 E 的表达式中,得到本题所给模型中核
? 1 ? ? 子的平均结合能为 E ? ?14.443(1 ? ) ? 0.129n2 ? MeV n ? ?
?

三、小试身手 1.试根据玻尔理论,计算氢原子中电子运动可熊的轨道半径、速度和能量;由 此导出氢原子的里德伯方程,并将里德伯常数 R 的理论值和实验值进行比 较,解释误差原因。

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2.用不确定关系讨论原子中电子的轨道概念。

3.1995 年,美国费米国家实验室 CDF 实验组和 DO 实验组在质子反质子对撞 机 TEVATRON 的 实 验 中 , 观 察 到 了 顶 夸 克 , 测 得 它 的 静 止 质 量

m? ? 1.75 ?1011 eV / c2 ? 3.1?10?25 kg ,寿命:? ? 0.4 ?10?24 s ,这是近十几年来
粒子物理研究最重要的实验进展之一。
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(1)正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为 V ( r ) ? ? k

4 as ,式中 r 是正反 3r

顶夸克之间的距离, as ? 0.12 是强相互作用藕合常数,k 是与单位制有 关的常量,在国际单位制中 k ? 0.319 ?10?25 J ? m ,为估算正反顶夸克能 否构成一个处在束缚状态的系统, 可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼 此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动, 如能构成束缚 态,试用玻尔理论确定系统处于基态中正反顶夸克之间的距离 r0,已知
r h 处 于 束 缚 态 的 正 反 顶 夸 克 粒 子 满 足 量 子 化 条 件 2m? ( )? n 2 2? r r n ? 1 , 2 , ?3?式中 m? ( ) 为一个粒子的动量 m? 与其轨道半径 的乘积, ? 2 2

n 为量子数, h ? 6.63 ?10?34 J ? s 为普朗克常量. (2)试求正反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期 T。你认为 正反 顶夸克的这种束缚态能存在吗?

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4 . 放 射性鉴年法,在地球的外层大气中,由于宇宙射线而发生的核反应
14 7 4 N ? n ? 1 C ? p 会产生放射性核素 14C ,14C 发生 ? ? 衰变的半衰期为 5730 6

年,因此,地球大气层中与活着的生物体中的 CO2 ,除含有稳定核素
12

C(99.63%) 和 13C(0.37%) 外,还含有少量的 14C 。在活着的生物体内,放射

性碳与稳定的碳的比值约为 1.3 ?10?12 。生物体死亡后,它停止吸收 CO2 ,因 此,由于 14C 的衰变,这一比值将会减少。假定我们发现一块古时候埋在地 下的骨片,当从骨片中分离出 100 g 碳时,测出这一样品中 14C 的放射性强 度为 6.5 次核衰变每秒。试估计该古生物体的死亡年代。

5.今年是我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一百 周年。 王先生早在 1941 年就发表论文, 提出了一种探测中微子的方案:7 Be 原子核可以俘获原子的 K 层电子而成为 7 Li 的激发态 ( 7 Li)* ,并放出中微子 (当时写作η )
7

Be ? e ?( 7 Li)* ? ?
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而 ( 7 Li)* 又可以放出光子 ? 而回到基态 7 Li

( 7 Li)* ?7 Li ? ?
由于中微子本身很难直接观测,能过对上述过程相关物理量的测量,就可以 确定中微子的存在,1942 年起,美国物理学家艾伦(R.Davis)等人根据王 淦昌方案先后进行了实验,初步证实了中微子的存在。1953 年美国人莱因 斯(F.Reines)在实验中首次发现了中微子,莱因斯与发现轻子的美国物理 学家佩尔(M.L.Perl)分享了 1995 年诺贝尔物理学奖。 现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量。若实验中测得锂核( 7 Li )

? 反冲能量 (即 7 Li 的动能) 的最大值 E R ? 56.6ev , 光子的能量 h? ? 0.48Mev 。
已 知 有 关 原 子 核 和 电 子 静 止 能 量 的 数 据 为 mLi c 2 ? 653384Mev ; . 设在第一个过程中,7 Be 核是静止的, mBec 2 ? 653419Mev;me c 2 ? 0.51Mev 。 . K 层电子的动能也可忽略不计。试由以上数据,算出的中微子的动能 P 和静 ? 止质量 m? 各为多少?

6.处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一系列不同频率的光, 称为氢光谱。氢光谱线的波长?可以用下面的巴耳末——里德伯公式来表示 1 ? ?1 =R?k2 -n2 ? ? ? ? 1 n,k 分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数,k=1,2,3,??,对 于每一个 k,有 n=k+1,k+2,k+3,??,R 称为里德伯常量,是一个已 知量,对于 k=1 的一系列谱线其波长处在紫外线区,称为赖曼系;k=2 的 一系列谱线其波长处在可见光区,称为巴尔末系。

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用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验, 当用赖曼系波长最长的 光照射时,遏止电压的大小为 U1,当用巴尔末系波长最短的光照射时,遏止 电压的大小为 U2,已知电子的电荷量的大小为 e,真空中的光速为 c,试求: 普朗克常量和该种金属的逸出功。

7. 一对正、 负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子.电子偶素中 的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动.假定玻尔关于 氢原子的理论可用于电子偶素,电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距 离 r 的乘积也满足量子化条件.即 式中 n 称为量子数,可取整数值

1,2,3,?;h 为普朗克常量.试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量以及 第一激发态与基态能量之差.

参考解答

1.解:设电子处在第 n 条轨道上,其半径为 rn,速度为?n ,能量为 En ,由于电 子作圆周运动的向心力即为它受原子核的库仑吸引力,故有
2 m?n e2 ? rn 4?? 0 rn2



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1 e2 2 电子在轨道上运动时,其总能量 En 为动能 m?n 和库仑势能 ? 之和, 2 4?? 0 rn

则有

1 2 e2 ② En ? m?n ? 2 4?? 0 rn
又 由 玻 尔 理 论 , 有 m?n rn ? n ④ 联立①、②可得 rn , ?n
rn ?
h 2?



h? ? En 2 ? En1

? 0 h2 2 n ? me2

n ? 1 , 2 , ?3? ?



其中 r1 ?

? 0 h2 ? 0.53 ?10?10 m 为氢原子中电子的第一轨道半径, ? me2

因此电子的轨道半径为

r1 , 4r1 ,9r1 ,16r1 ??? 一系列不连续的值。

?n ?

e2 1 ? 2? 0 h n

n ? 1 , 2 , ?3? ?



e2 e2 1 其中 ? ?c ? c ,为玻尔第一轨道速度。 2? 0 h 2? 0 hc 137
联立①、②和⑤式可得

En ? ?

e2 8?? 0 rn

??

me4 1 ? E1 2 2 2 2 8? 0 h n n



其中 E1 ? ?

me4 ? ?13.6eV 为氢原子的第一能级,也称氢原子的基态能,n 2 8? 0 h2

>1 的能态称为氢原子的激发态, n ?? 时,En = 0,此时电子远离原子核成 为自由电子,整个体系称为原子的电离态。 当氢原子由较高能级(设量子数为 n2, En 2 ? E1 ? 数为 n1,
1 )向较低能级(设量子 2 n2

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En1 ? E1 ?

1 n12

) 跃 迁 时 , 它 向 外 辐 射 光 子 的 能 量 为
1 1 ? ) 2 n2 n12

h? ? En 2 ? En 1 ? E ( 1

上式两边同除以 hc ,因

?
c

?

1

?

,可得 ⑧

1

?

?

E1 1 1 me4 1 1 1 1 ( 2 ? 2 ) ? 2 3 ( 2 ? 2 ) ? R( 2 ? 2 ) hc n2 n1 8? 0 h c n2 n1 n2 n1

此 即 为 里 德 伯 方 程 。 将 各 常 量 代 入 R?

me4 中 , 得 到 2 8? 0 h3c

与实验值 R实 ? 1.0967758?107 m?1 比较, 相对误差为: R理 ? 1.0973731?107 m?1 ,
R理 ? R实 R实 ? 5 。而当时光谱学的实验精度已达到万分之一。 10000

2. 解: 在经典力学的轨道概念中, 粒子的位置与相应的动量同时具有确定值. 我 们知道,原子的半径 r 约 10?10 m 。假定电子在 10?10 m 范围内的原子中运动, 即电子位置的不确定量为 ?r ? 10?10 m ,由不确定关系,
?r ? ?p ? ?r ? m?? ? h

求得电子速度的不确定量

?? ?

h 6.63 ?10?34 J ? S ? ? 6.6 ?106 m / s ?10 ?31 ?r ? m (10 m)(9.1?10 kg )

与氢原子中电子在第一玻尔轨道的速度( ?1 ? 2.19 ?106 m / s )有相同的数量 级!以致无法确切说明在 r 范围内运动的电子具有多大速度(动量) 。因此, 由于不确定关系的限制,电子的“轨道”概念失去意义,此时的电子已经不 能看作是经典粒子了。 3.解:(1)相距为 r 的电量为 Q1 与 Q2 的两点电荷之间的库仑力 FQ 与库仑势能 VQ 分别为
EQ ? kQ Q1Q2 QQ , VQ ? ?kQ 1 2 2 r r 4 as 3r

现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为 V ( r ) ? ? k
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根据直接类比可知,正反顶夸克之间的强相互作用力为 F (r ) ? ?k

4 as 3r 2

设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为 ? ,因二者相距 r, 二者所受的 向心力均为 F (r ) ,二者的运动方程均为
mt? 2 4 as ?k 2 r 3r 2
n ? 1 , 2 , ?3? ?

r h 以题给的量子化条件 2m? ( ) ? n 2 2?

代入,可以求得量子化的圆周运动半径和量子化的速度为

r?

3n2 h2 8? 2 mt as k

n ? 1 , 2 , ?3? ? ,

??

?
nh

(k

4 as ) 3

n ? 1 , 2 , ?3? ?

粒子处于基态时,取量子数 n=1,得

r0 ?

4a ? 3n2 h2 1.4 ?10?17 m , ?0 ? (k s ) ? 2.4 ?107 m / s 2 nh 3 8? mt as k

(2)由 ?0 和 r0 可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期 T0 为
T0 ? 2? ( r0 ) 2 ? h3 4a 2? 2 mt (k s ) 2 3 ? 1.8 ? 10?24 s

?0

由此可知

?
T0

? 0.2

1 因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的 ,故正反顶夸克的 5

束缚 态通常是不存在的。 4.解:放射性强度定义为放射性物质在单位时间内发生衰变的原子核数目,用 R 表示为
R ? lim
?t ?0

??N ? ?N ?t

设从古生物体中分离出来的 100 g 碳样品中含 14C 的原子数目为 N( 14C ),则
N ( 14C ) ? R ? RT12 ln 2 ? 6.5 ? 5730 ? 365 ? 3600 ? 1.69 ?1012 个 ln 2
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?

活着的生物体中,每 100 g 碳中含 14C 的原子数目为
N 0 ( 14C ) ? 100 ? 6.02 ?1023 ?1.3 ?10?12 ? 6.52 ?1012 个 12

根据核衰变的统计规律 N ( 14C) ? N0 ( 14C)e??t ,求得

N0 ( 14C ) T12 N0 ( 14C ) t ? ln ? ln ? 1.12 ?104 14 14 ? N ( C ) ln 2 N ( C) 1
? 5.解:根据题意, 7 Be 核和 K 层电子的动量都为零,在第一个反应中,若用 pLi*

表示激发态锂核 ? 7 Li ? 的动量, pη 表示中微子 η 的动量,则由动量守恒定
?

?

律有
? ? pLi? ? p? ? 0

(1)

即激发态锂核的动量与中微子的动量大小相等,方向相反.在第二个反应中, 若用 pLi 表示反冲锂核 7 Li 的动量, p? 表示光子的动量,则由动量守恒定律有
? p
? Li

?

?

? ? ? pLi ? pγ

(2)

由(1)(2)式得 、
? ? ? pLi ? ? ? pγ ? p? ?

(3)

当锂核的反冲动量 p Li 最大时,其反冲能量也最大. 由(3)式可知,当中微 子的动量与 γ 光子的动量同方向时, 锂核的反冲动量最大.注意到 γ 光子的动 量
pγ ? h? c h? c

(4)


pLi ? pη ?

(5)

由于锂核的反冲能量比锂核的静能小得多,锂核的动能与其动量的关系不必 用相对论关系表示,这时有
ER ?
2 pLi 2mLi

(6)

由(5)(6)式得 、
第 20 页 共 22 页

pη c ? 2mLi c 2 ER ? h?

(7)

代入有关数据得
pη ? 0.38MeV/c

(8)

用 Eη 表示中微子的能量,根据相对论有
2 2 Eη ? mη c 2 ? pη c 2

(9)

根据能量守恒定律有
mBec2 ? mec2 ? mLi c2 ? ER ? h? ? Eη

(10)

由(9)(10)式得 、
? mη c 2 ? ?? mBe c 2 ? me c 2 ? mLi c 2 ? ER ? h? ? ? pη c 2 ? ? ? ? ? 2 1 2

(11)

由(8)式和已知数据得
mη ? 0.00MeV/c2

(12)

由(12)式可知,所算出的中微子静止质量的数值在题给数据的误差范围之 内,故不能确定中微子的静止质量.如果有,其质量一定小于 0.1MeV / c 2 . 6.提示:由巴耳末——里德伯公式 1 ? ?1 =R?k2 -n2 ? ? ? ? 1

可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n=2 到 k=1 跃迁发出的, 则 对应的光子能量为 E12=hc

?12

1

3R =4

?12

1

3Rhc = 4

巴你末系波长最短的光是氢原子由 n=∞到 k=2 跃迁发出的,则 对应的光子能量为 E2∞=hc 由光电效应方程得:

?2 ∞

1

R =4

?2 ∞

1

Rhc = 4

3Rhc Rhc =eU1+A, =eU2+A, 4 4 2e(U1-U2) e 可解得:A=2 (U1-3U2) ,h= 。 Rc e2 v2 1 e2 2 7.解:由 kr2 =mr/2 ,得正、负电子的动能均为 Ek=2 mv =k4r ,正、负电 e2 子间相互作用的势能为 EP=-k r ,所以电子偶素的总能量为 E=2Ek+EP e2 =-k2r ,
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e2 v2 由量子化条件 mrv=nh/2?,n=1,2,3,?及 kr2 =mr/2 可得 n2h2 rn= 2 2 ,n=1,2,3,?则 2? ke m ?2k2e4m En=- n2h2 ,n=1,2,3,? 3?2k2e4m ?E= 4h2 。

2 0 0 9 0 1 0 6

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