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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第十章第二节排列与组合


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自 主 落 实 · 固 基 础

第二节

排列与组合

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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典 例 探 究 · 提 知 能

1.排列与排列数 (1)排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的 顺序 ________排成一列 , 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列. (2)排列数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数 _________________,叫做从 n 个不同元素中取出 m Am 个元素的排列数,记作____. n

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2.组合与组合数 (1)组合 组成一组 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________,叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数 所有不 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________ 同组合的个数 ____________________,叫做从n个不同元素中取出m Cm 个元素的组合数,记作____. n

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3.排列数、组合数的公式及性质
n! (n-m)! Am n(n-1)(n-2)?(n-m+1) n m m 公式 (2)Cn =Am= m! n! m!(n-m)! =_____________ (n,m∈N*,且 m≤n).特别地 C0 =1. n
n(n-1)(n-2)?(n-m+1) (1)Am=_______________________= n

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(1)0!=___;(2)An=_____. 1 n n! 性质 m n- m m Cm+Cm-1 n n (2)①Cn =Cn ;②Cn+1=___________.

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1.如何区分某一问题是排列问题还是组合问题?
【提示】 区分某一问题是排列问题还是组合问题,关

键是看所选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的 位臵对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合问题.

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2.若 Cx =Cm,则 x=m,这个结论一定正确吗? n n
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【提示】 不正确.由 -m.

m Cx =Cn 可得 n

x=m 或 x=n

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1.(人教A版教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数
字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的 三位数,这样的三位数共有( A.9个 B.24个 ) D.54个

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C.36个

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【解析】 选出符合题意的三个数字有C 1 C 2 种方法, 3 3 2 这三个数可组成C1C3A3=54个没有重复数字的三位数. 3 3

【答案】

D

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2.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必须站

在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有(
A.24种 B.60种 C.90种 D.120种

)

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【解析】 可先排C、D、E三人,共A 3 种排法,剩余 5 A、B两人只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排法 共A3=60(种). 5
【答案】 B
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3.(2012·浙江高考)若从1,2,3,?,9这9个整数中

同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种

)

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【解析】 满足题设的取法可分为三类:一是四个奇 数相加,其和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意 取4个,有C 4 =5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶 5 数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任取 2 2 2个,有C 5 ·C 4 =60(种);三是四个偶数相加,其和为偶 数,4个偶数的取法有1种,所以满足条件的取法共有5+60 +1=66(种).
【答案】
菜 单

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D

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4.(2013·广东六校联考)某校开设A类选修课3门,B类

选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至
少选一门,则不同的选法共有________种(用数字作答).

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【解析】 分类讨论,①A 类选修 1 门,B 类选 修 2 门,有 C1C2=18(种);②A 类选修 2 门,B 类选修 3 4 1 门,有 C2C1=12(种), 3 4 所以一共有 30 种.
【答案】 30
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4个男同学,3个女同学站成一排.

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(1)3个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?
(2)任 何 两 个 女 同学 彼此不相邻 , 有多少种不同的 排
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法? (3)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同 的排法?
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【尝试解答】

(1)3个女同学是特殊元素,共有A种排

法;由于3个女同学必须排在一起,视排好的女同学为一整
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体,再与4个男同学排队,应有A种排法.
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3 由分步乘法计数原理,有A3A5=720种不同排法. 5 (2)先将男生排好,共有A 4 种排法,再在这4个男生的 4 3 中间及两头的5个空档中插入3个女生有A5种方法. 3 故符合条件的排法共有A4A5=1 440种不同排法. 4 (3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有A 4 种排法; 4 由于甲、乙要相邻,故再把甲、乙排好,有A 2 种排法;最 2 后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的 空档中有A2种排法. 5 4 2 总共有A4A2A5=960种不同排法. 2

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1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分 析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优

先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,
对于分类过多的问题可以采用间接法. 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、 定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方

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法.

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在本例中,条件不变,把第(1)、(2)小题改为下面两问

题:
(1)甲不站排头,乙不站排尾,有多少种不同的排法? (2)若甲乙两同学之间必须有3人,有多少种不同的排 法?

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【解】 (1)用间接法,4名男生,3名女生站成一排的 方法共有A7种. 7 甲站排头的方法有A6种,乙站排尾的方法有A6种. 6 6 甲站排头,乙站排尾的方法有A5种. 5 ∴符合题意的排法有:A7-2A6+A5=3 720种. 7 6 5
菜 单

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2 (2)先排甲、乙,有A 2 种排法,再从其他5位同学中选3 人排在甲、乙中间,有A 3 种排法,最后把甲、乙及中间3 5 人作为一个整体与剩余的2人全排列,有A3种排法. 3 所以共有A2A3·A3=720种不同排法. 2 5 3

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男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,
选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法? (1)至少有1名女运动员; (2)既要有队长,又要有女运动员.

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【思路点拨】

第 (1) 问 可 以 用 直 接 法 或 间 接 法 求
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解.第(2)问根据有无女队长分类求解.





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【尝试解答】 (1)法一 至少有1名女运动员包括以 下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 2 2 4 C1C4+C4C3+C3C6+C4C1=246(种). 4 6 6 4 6 法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动 员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有C 5 种选法,其中全是男运动员的 10 5 选法有C6种.

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5 5 所以“至少有1名女运动员”的选法为C 10 -C 6 = 246(种). 4 (2)当有女队长时,其他人选法任意,共有C9种选法. 不选女队长时,必选男队长,共有C 4 种选法.其中不含女 8 运动员的选法有C 4 种,所以不选女队长时共有C 4 -C 4 种选 5 8 5 4 法,所以既有队长又有女运动员的选法共有C 4 +C 4 -C 5 = 9 8 191(种).

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1.本题中第(1)小题,含“至少”条件,正面求解情况

较多时,可考虑用间接法.第(2)小题恰当分类是关键.
2.组合问题常有以下两类题型变化 (1)“ 含 有 ” 或 “ 不 含 有 ” 某 些 元 素 的 组 合 题 型 : “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不 含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.

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(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:若直接 法分类复杂时,逆向思维,间接求解.

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(2012·陕西高考)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获 胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次 的不同视为不同情形)共有( A.10种 B.15种 ) C.20种 D.30种

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【解析】 由题意知比赛场数至少为3场,最多为5 场.分三类: 当为3场时,情况为甲或乙连赢3场,共2种. 当为4场时,若甲赢,则前3场中甲赢2场,最后一场甲 赢,共有C 2 =3(种)情况;同理,若乙赢也有3种情况.共 3 有6种情况. 当为5场时,前4场,甲、乙各赢2场,最后1场胜出的 人赢,共有2C2=12(种)情况. 4 由上综合知,共有20种情况.

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【答案】

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C





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(1)(2012· 北京高考)从 0,2 中选一个数字,从 1,3, 5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个 数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 (2)某校高二年级共有 6 个班级,现从外地转入 4 名学 生, 要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名, 则不同的 安排方案种数为( ) 1 2 2 2 2 A.A6C4 B. A6C4 2 C.A2A2 D.2A2 6 4 6

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【思路点拨】

(1)0是特殊元素,不能排在百位和个

位,按选出的数字是否含0分类.(2)可将4名同学分成两组
(每组2人),再分配到两个班级.
【尝试解答】 解. (1)根据所选偶数为0和2分类讨论求

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①当选数字0时,再从1,3,5中取出2个数字排在个位 2 与百位.∴排成的三位奇数有C3A2=6个. 2 ②当取出数字2时,再从1,3,5中取2个数字有C 2 种 3 方法.

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然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位,其余2个 数字全排列. ∴排成的三位奇数有C2A1A2=12个. 3 2 2 2 1 ∴由加法计数原理,共有A 3 +A 2 ·A 2 =18个三位奇 3 数. 1 2 (2)法一 将4人平均分成两组有 C 4 种方法,将此两组 2 分配到6个班级中的2个班有A 2 种,所以不同的安排方法有 6 1 2 2 C A 种. 2 4 6 法二 先从6个班级中选2个班级有C 2 种不同方法,然 6 1 2 2 2 2 2 2 后安排学生有C4C2种,故有C6C4= A6C4种. 2
【答案】
菜 单

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(1)B

(2)B

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1.解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位

置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具
体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满 足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置). 2.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分 组时,通常有三种类型:(1)不均匀分组.(2)均匀分组.(3)

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部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求
法.

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(2013·惠州模拟)已知集合A={5},B={1,2},C= {1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐 标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 B.34 C.35 )

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D.36

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【解析】 (1)若从集合B中取元素2时,再从C中任取 1 一个元素,则确定的不同点的个数为C3A3. 3 (2)当从集合B中取元素1,且从C中取元素1,则确定的 不同点有C1×1=C1. 3 3

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(3)当从B中取元素1,且从C中取出元素3或4,则确定 的不同点有C1A3个. 2 3 ∴由分类计数原理,共确定不同的点有C 1 A 3 +C 1 +C 1 3 3 3 2 3 A3=33个.
【答案】 A

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排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取 出元素后交换顺序,如果与顺序有关是排列,如果与顺序无 关即是组合.

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n! . (n-m)! n! m 2.组合数公式Cn = . m!(n-m)! 1.排列数公式Am= n

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1. 先特殊后一般. 2.先组合后排列. 3.先分组再分配.

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求解排列组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有 序排列,无序组合;分类相加,分步相乘.”

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从近两年的高考试题来看,排列、组合及排列与组合的

综合应用是高考的热点,题型以选择题、填空题为主,中等
难度,在解答题中,排列、组合常与概率、分布列的有关知 识结合在一起考查.

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易错辨析之十七 实际意义理解不清导致计数错误

(2012·山东高考改编)现有16张不同的卡片,其中红
色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法 的种数为( A.232 ) B.256 C.472 D.484

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【错解】 第一类,含有一张红色卡片,取出红色卡 片有C 1 种方法,再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一 4 1 张卡片有C2C4 C1种方法,因此满足条件的取法有C1·C2C 1 3 4 4 3 4 1 C4=192种. 第二类,不含有红色卡片,从其余三色卡片中各取一 张有C1C1C1=64种取法. 4 4 4 ∴由分类计数原理,不同的取法共有192+64=256 种.

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【答案】

B

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错因分析:(1)错解的原因是没有理解“3张卡片不能是

同一种颜色”的含义,误认为“取出的三种颜色不同”.
(2)运用间接法求“不含有红色卡片”时,忽视“3张卡 片不能是同一种颜色”,误求为C,导致错选D. 防范措施:(1)准确理解题意,抓住关键字词的含义,

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“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜

色”都满足要求.
(2)选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、 至多”型问题,注意间接法的运用.
菜 单

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【正解】 第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取 法C1C2 =264(种). 4 12 3 第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C 12 -3C 3 4 =220-12=208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有264+208= 472(种).

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【答案】

C

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1.(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家,若 每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )

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A.3×3!
C.(3!)4
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B.3×(3!)3
D.9! 把一家三口看作一个排列,然后再排列这3
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【解析】

家,所以有(3!)4种. 【答案】 C





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2.(2013·汕头质检)若一个三位数的十位数字比个位数

字和百位数字都大,称这个数为“伞数”.现从1,2,3,
4,5,6这六个数字中取3个数,组成无重复数字的三位数, 其中“伞数”有( A.120个 ) B.80个 C.40个 D.20个

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【解析】 分类讨论:若十位数为 6 时,有 A2= 5 20(个);若十位数为 5 时,有 A2=12(个);若十位数为 4 4 时,有 A2=6(个);若十位数为 3 时,有 A2=2(个), 3 2 因此一共有 40 个.
【答案】
菜 单

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C

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课后作业(六十五)

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