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浙江省杭州学军中学2016届高三5月高考模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


2016 届学军中学高考模拟考试 理科数学试题卷
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.所有答案必须写在答题卷和机读卡上,写在试题卷上无效; 3.考试结束后,上交答题卷和机读卡。 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.<

br />3 1

球的表面积公式:S=4πR2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式:V= πR3 ,其中 R 表示球的半径.
3 4

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.已知集合 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 1} , B ? {x | x ? 2 或 x ? 0} ,则 (CR A) ? B ? ( A. ( ?2, 0) B. [ ?2, 0) C. ? ) D. ( ?2,1) )

2.已知直线 l , m 和平面 ? ,则下列结论正确的是( A.若 l // m ? ? ,则 l // ? C.若 l ? m, l ? ? ,则 m ? ?

B.若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m D.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m

3. 若“ p : x ? a ”是“ q : x ? 1或x ? ?3”的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 ( ) A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? ?3 D. a ? ?3 )

4. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.16 C.63 B.32 D. 20 +

4 4
25 3 4

5 5 4 3

2.4

5. 已知函数 f ( x) ? cos ? ? x ?

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 4?
)

g ( x) ? cos?x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 (

? 个单位长度 4 ? C 向左平移 个单位长度 8
A. 向左平移

? 个单位长度 4 ? D 向右平移 个单位长度 8
B 向右平移
1

?x ? y ? 1 ? 0 6. 设关于 x, y 的不等式组 ? ? x ? m ? 0 表示的平面区域内存在点 P ( x0 , y0 ) 满足 ? y?m?0 ? ) x0 ? 2 y0 ? 3 则实数 m 的取值范围是(
A. (?1,0) B. (0,1) C. (?1,??) D.

(??,?1)
P

7. 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABD 中 , 已 知 PA ? 面 ABD , AD ? BD , 点 C 在 BD 上 ,

BC ? CD ? AD ? 1, D ? x , ?BPC ? ? , 设P 用 x 表示 tan ? , 记函数 tan ? ? f ( x ) ,
则下列表述正确的是( ) B. f ( x ) 是关于 x 的减函数 D. f ( x ) 关于 x 先递减后递增
B C D A

A. f ( x ) 是关于 x 的增函数 C. f ( x ) 关于 x 先递增后递减
2 2

8. 已知双曲线

x y ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 作圆 2 a b

x2 ? y 2 ? a2 的 切 线 分 别 交 双 曲 线 的 左 、 右 两 支 于 点 B 、 C , 且
| B C |? | C F | 2 ,则双曲线的离心率为(
A. 3 B. ) D.

10

C. 5 ? 2 3

5?2 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、 填空题: 本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.若 2sin ? ? cos ? ? 5 ,则 sin ? ? , tan(? ?

?
4

)=

.

10.已知直线 l : mx ? y ? 1 ,若直线 l 与直线 x ? m(m ? 1) y ? 2 垂直,则 m 的值为______ 动直线 l : mx ? y ? 1 被圆 C : x ? 2 x ? y ? 8 ? 0 截得的最短弦长为
2 2

.

11 . 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 q ? 0 , 前 n 项 和 为 Sn . 若 2a3 , a5 , 3a4成 等 差 数 列 ,

a2 a4 a6 ? 64 ,则 q ? _______, Sn ? _______.
2 ? ( x ≥ 1) ??2 x ? 1 12.设函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (4)) = ? ?log 2(1 - x)( x ? 1)

A . D C

若 f ( a ) ? ?1 ,则 a ?

.

B 13.如图,在二面角 A-CD-B 中,BC⊥CD,BC=CD=2,点 A 在直线 AD 上运动,满足 AD⊥CD, AB=3.现将平面 ADC 沿着 CD 进行翻折, 在翻折的过程中, 线段 AD 长的取值范围是_________.

2

14.已知实数 a, b ? R ,若 a 2 ? ab ? b2 ? 3, 则 15. 在 ?OAB 中,已知 OB ?

??? ?

??? ? 2 , AB ? 1, ?AOB ? 45? ,若 OP ? ?OA ? ?OB ,且
.

(1 ? ab) 2 的值域为 a 2 ? b2 ? 1

? ? 2? ? 2 ,则 OA 在 OP 上的投影的取值范围是

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16(14 分)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 ( 3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC . (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 sin B ? p sin C ,且 ?ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

17.(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? PA, AB // CD ,且

PB ? BC ? BD ? 6, CD ? 2 AB ? 2 2, ?PAD ? 1200 .
(Ⅰ)求证:平面 PAD ⊥平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值.

3

18.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ?1, g ( x) ? a x ?1 .
2

(Ⅰ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. (Ⅱ) 若 a ? ?2 , 设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [0,2] 上的最大值为 t (a) , 求 t (a) 的最小值.

x2 2 19. (本小题满分 15 分)已知椭圆 2 ? y ? 1(a ? 1) ,过直线 l : x ? 2 上一点 P 作椭圆的 a
切线,切点为 A ,当 P 点在 x 轴上时,切线 PA 的斜率为 ? (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 O 为坐标原点,求△ POA 面积的最小值。 O A

2 . 2

l P

4

20. (本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 1 , an?1 ? an ?

an * .( n ? N ) 2 (n ? 1)

2

(Ⅰ) 证明:

an ?1 1 ; ? 1? an (n ? 1) 2
2(n ? 1) ? an ?1 ? n ? 1 n?3

(Ⅱ) 求证:

2016 年杭州学军中学高考模拟考试 理科数学参考答案
一、选择题( 答案请填入答题卡中) 1 B 2 B 3 A 4 B 5 D 6 D 7 B 8 C

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分)

2 9. 5 ,3

10.0 或 2, 2 7

2n ? 1 11.2, 2

1
12.5,1 或 2

13. [ 5 ? 2, 5 ? 2]

14.

[0,

16 ] 7

15.

(?

2 ,1] 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 16. :解(Ⅰ) 由题意得

3sin B sin C ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 3 cos B sin C ? 4 cos B cosC

? ? 3 sin(B ? C) ? 3 cos(B ? C) ……………………………………(4 分)
? tan( B ? C ) ? ? 3 ? B ? C ? 2? 3

5

?A?

?
3

……………………………………(6 分)

(Ⅱ) p ?

sin B sin(120? ? C ) 3 1 ? ? ? ……………………………(10 分) sin C sin C 2 tanC 2

? ?ABC 为锐角三角形,且 A ?
?
?

?
3

?
6

?C?

?
2

? tanC ?

3 ……………………………………(13 分) 3

1 ? p ? 2 .??????????????(14 分) 2

17.【解答】证明:(1)∵BC=BD,E 为 CD 中点,∴BE⊥CD, ∵AB∥CD,∴CD=2AB, ∴AB∥DE,且 AB=DE,∴四边形 ABED 是矩形, ∴BE∥AD,BE=AD,AB⊥AD, ∵AB⊥PA,又 PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD,且 CD⊥AD, 又∵在平面 PCD 中,EF∥PD,∴CD⊥EF, ∵EF∩BE=E,∴EF?平面 BEF,BE?平面 BEF, 又 CD⊥BE,∴CD⊥平面 BEF, ∵ CD?平面 PCD,∴ 平面 BEF⊥ 平面 PCD.………………………(5 分) (2)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,建立空间直角坐标角系, ∵PB=BC=BD= ∴PA= BC= 则 P(0,﹣1, =(0,3,﹣ ,CD=2AB=2 = = ,∠PAD=120°, =2,

=2,AD=BE= =2,………………………(7 分) ),C(2 ), =(

),D(0,2,0),B( ), =(﹣

,2,0), ),

设平面 PBC 的法向量 =(x,y,z), 则 ,取 x= ,得 =( , ),

设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 θ,

6

sinθ=|cos<

>|=|

|=|

|=

.………………………(14 分)

∴直线 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值为

.…………….(15 分)

18.题详细分析:解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x 2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*) 对 x ? R 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ?????????2 分 ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ?? ,令 ? ( x) ? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). | x ? 1|

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,?????????4 分 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 . ?????????6 分

?? x 2 ? ax ? a ? 1,0 ? x ? 1 ? ? x ?1 (Ⅱ) h( x) ? ?0, ????7 分 ? 2 ? ? x ? ax ? a ? 1,1 ? x ? 2
? a ? 0,? 对称轴x ? ?
① 当0 ? ?

a ?0 2

a a a2 ? 1 时,即 ?2 ? a ? 0 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(? ) ? ? a ?1 2 2 4

( x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(2) ? a ? 3

?

a2 a2 ? 8 ? a ? 1 ? (a ? 3) ? ?0 4 4

? h( x) max ? a ? 3 ????9
②当 1 ? ?

a ? 2 时,即 ? 4 ? a ? ?2 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 2

7

?0,?4 ? a ? ?3 ( x 2 ? ax ? a ? 1) max ? max{h(1), h(2)} ? max{0,3 ? a} ? ? ?3 ? a,?3 ? a ? ?2
此时 h( x) max ? ? ③ 当?

?0,?4 ? a ? ?3 ????11 分 ?3 ? a,?3 ? a ? ?2

a ? 2 时,即 a ? ?4 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 2

( x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0
此时 h( x) max ? 0 ??????????13 分 综上: h( x) max ? t (a ) ? ?

?3 ? a, ?3 ? a ? 0 ?0, a ? ?3

? t (a ) min =0 ??????????15 分
19.(1)当 P 点在 x 轴上时,P(2,0) ,PA: y ? ?

2 ( x ? 2) 2
P

l

? 2 y?? ( x ? 2) ? 1 1 ? 2 ? ( 2 ? )x2 ? 2x ?1 ? 0 ? 2 a 2 ? x ? y2 ? 1 2 ? ?a
? ? 0 ? a 2 ? 2 ,椭圆方程为

O A

x2 ? y 2 ? 1 ?????????-5 2

(2)设切线为 y ? kx ? m ,设 P(2, y0 ) , A( x1 , y1 ) , 则?

? y ? kx ? m ?x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m2 ? 2 ? 0

? ? ? 0 ? m2 ? 2k 2 ? 1 ,-?????????7
且 x1 ?

? 2km m , y1 ? , y0 ? 2k ? m 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

则 | PA |?

y0 ? 4 ,
y0 | y x ? 2 y1 | x ? ,A 到直线 PO 距离 d ? 0 1 ,?????????-10 2 2 y ?4
0

2

PA 直线为 y ?

则 S ?POA ?

1 1 1 ? 2km 2m | PA | ?d ? | y0 x1 ? 2 y1 | = | (2k ? m) ? | 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

8

?|

1 ? 2k 2 ? km m |?| k ? m |?| k ? 1 ? 2k 2 | -?????????-13 2 1 ? 2k

(S ? k )2 ? 1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2Sk ? S 2 ? 1 ? 0
? ? 8S 2 ? 4 ? 0 ? S ?
2 2 ,此时 k ? ? ?????????-15 2 2
2

an 20. (1) an?1 ? an ? ? 0 ? an?1 ? an ? a1 ? 1 , (n ? 1) 2
可得:

an?1 an 1 ------------------------------------------5 ? 1? ? 1? 2 an (n ? 1) (n ? 1) 2

(2)

an ?1 ? an an 1 , ? 2 an ?1an (n ? 1) an ?1 an an 1 1 1 1 1 1 1 , ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 an?1 an an?1 (n ? 1) an?1 (n ? 1) (n ? 1)n n n ? 1

所以: 0 ?

累加得:

1 1 1 ? ? 1? ? an?1 ? n ? 1 a1 an?1 n ?1 ---------------------------------------------10

(该不等式右边也可以用数学归纳法证明) 另一方面由 an ? n 可得:原式变形为

an?1 an a n 1 n?2 n ?1 ? 1? ? 1? ? 1? ? ? n ? 2 2 an (n ? 1) (n ? 1) n ?1 n ?1 an?1 n ? 2
所以:

an 1 1 1 1 n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 an an?1 (n ? 1) an?1 (n ? 1) n ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 2(n ? 1) ------------------------------------------15 ? ? ? ? an?1 ? a1 an?1 2 n ? 1 n?3

累加得

9

()

10


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