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2010-2014文科立体几何综合大题


(6)2012 朝阳区 文数二模
17. (本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,EA ? 平面 ABCD ,EF//AB , AB = 4, AE = 2, EF = 1 . (Ⅰ )求证: BC ? AF ; E (Ⅱ )若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM ?

1 CA , 4

F A

M

求证: EM// 平面 FBC ; (Ⅲ ) 试 判断直线 AF 与平面 EBC 是否垂直?若垂 直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.

D C

B

(17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , 因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? BC . 由已知得 AB ? BC 且 EA AB = A , 所以 BC ? 平面 EABF . 又 AF ? 平面 EABF , 所以 BC ? AF . (Ⅱ )过 M 作 MN ? BC ,垂足为 N ,连结 FN ,则 MN // AB .

………2 分 ………3 分 ………4 分 .………5 分

1 1 AC ,所以 MN ? AB . 4 4 1 又 EF // AB 且 EF ? AB ,所以 EF // MN . 4
又 CM ? .………6 分 且 EF ? MN ,所以四边形 EFNM 为平行四边形. ………7 分 所以 EM // FN . 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC , 所以 EM // 平面 FBC . (Ⅲ )直线 AF 垂直于平面 EBC . 证明如下: 由(Ⅰ )可知, AF ? BC .

E F
P

A
M

D

B

N

C

………9 分 ………10 分

在四边形 ABFE 中, AB = 4, AE = 2, EF = 1 , ?BAE ? ?AEF ? 90 , 所以 tan ?EBA ? tan ?FAE ? 设 AF

1 ,则 ?EBA ? ?FAE . 2

BE ? P ,因为 ?PAE ? ?PAB ? 90 ,故 ?PBA ? ?PAB ? 90
………12 分 ………13 分

则 ?APB ? 90 ,即 EB ? AF . 又因为 EB

BC = B ,所以 AF ? 平面 EBC .

(7)2011 朝阳区 文数一模
17. (本小题满分 13 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, 且 AD // BC ,?ABC ? 90? , 侧面 PAD ? 底面 ABCD , ?PAD ? 90? . 若 AB ? BC ? (Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)设侧棱 PA 的中点是 E ,求证: BE 平面 PCD . P

1 AD . 2

E A D

B

C

17. (满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?PAD ? 90? ,所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且侧面 PAD 底面 ABCD ? AD ,

P E A D C

所以 PA ? 底面 ABCD . 而 CD ? 底面 ABCD ,所以 PA ? CD . B

在底面 ABCD 中,因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? BC ? 所以 AC ? CD ? 又因为 PA

1 AD , 2

2 AD , 所以 AC ? CD . 2
……………………………6 分 P E A B C F D

AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC .

(Ⅱ)设侧棱 PD 的中点为 F , 连结 BE , EF , FC ,

1 AD . 2 由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? , 1 所以 BC AD . 又 BC ? AD , 2
则 EF

AD ,且 EF ?

所以 BC

EF . 且 BC ? EF . CF .

所以四边形 BEFC 为平行四边形,所以 BE 因为 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD , 所以 BE 平面 PCD .

………………………………………………………13 分

(8)2011 朝阳区 文数二模
17、 (本小题满分 13 分) 在长方形 AA1 B1 B 中, AB ? 2 AA1 ? 4 , C , C1 分别是 AB , A1B1 的中点(如左图). 将此长方形沿 CC1 对折, 使平面 AAC (如右图) , 已知 D , E 分别是 A1B1 , 1 1C ? 平面 CC1B 1B

CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: C1D ∥ 平面 A1 BE ; (Ⅱ)求证:平面 A 1BE ? 平面 AA 1 B1 B ; (Ⅲ)求三棱锥 C1 ? A1BE 的体积. C1 A1 C1 B1 2A D A B1 2A

A1

E A C A

A

C A

B A

B A

A

(17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)取 A1 B 的中点 F ,连接 DF , EF . 因为 D , F 分别是 A1B1 , A1 B 的中点 所以 DF 是△ A 1BB 1 的中位线. 所以 DF ∥ BB1 ∥ CC1 ,且 DF ? 又因为 E 是 CC1 的中点, ……………2 分 …………………………………1 分 C1 D A F C A …………3 分 A B1 2A

1 1 BB1 ? CC1 . 2 2

A1

E A

1 所以 C1 E ? CC1 . 2 所以 DF ∥ C1E ,且 DF ? C1E .
所以四边形 C1 EFD 是平行四边形. 所以 C1D ∥ EF . 又 EF ? 平面 A1 BE , C1D ? 平面 A1 BE , 所以 C1D ∥平面 A1 BE . 所以 CC1 ? 平面 AC 1 1B 1. 因为 BB1 ∥ CC1 ,所以 BB1 ? 平面 AC 1 1B 1. 因为 C1 D ? 平面 AC 1 1B 1 ,所以 BB 1 ? C1 D . 因为 A 1B 1

B A

…………………………………4 分

……………………………………………5 分

(Ⅱ)因为 CC1 ? AC 1 1 , CC1 ? B 1C1 ,且 AC 1 1

B1C1 ? C1 ,

…………………………………6 分 ………………7 分 …………………………8 分

又因为 AC 1B 1 的中点, 所以 C1D ? A 1B 1. 1 1 ? C1B 1 ,且 D 是 A

BB1 ? B1 ,所以 C1D ? 平面 AA1 B1B . 由(Ⅰ)知 EF ∥ C1D , 所以 EF ? 平面 AA1 B1 B . 又因为 EF ? 平面 A1 BE ,
所以平面 A 1BE ? 平面 AA 1 B1 B .

…………………………………………10 分

解: (Ⅲ)由已知,长方形 AA1 B1 B 沿 CC1 对折后 AC ? BC ? 2 , AB ? 2 2 . 所以 AB ? AC ? BC . 所以 BC ? AC ,且 BC ? CC1 , AC
2 2 2

CC1 ? C .

所以 BC ? 平面 AAC 1 1C . 即 BC ? 平面 A1EC1 . 所以 VC1 ? A1BE ? VB ? A1EC1 ? ……………………………………………………11 分

1 S ?A EC ? BC . ……………………………………12 分 3 1 1 1 1 其中 S?A1EC1 ? A1C1 ? C1 E ? ? 2 ?1 ? 1 . 2 2 1 1 2 所以 VC1 ? A1BE ? VB ? A1 EC 1 ? S?A1 EC1 ? BC ? ?1? 2 ? . ………………………13 分 3 3 3

一.西城区 (1)2014 西城区 文数一模
17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD ? 2 AB , SA ? SD , SA ? AB , N 是棱 AD 的中点. (Ⅰ)求证: AB // 平面 SCD ; (Ⅱ)求证: SN ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在棱 SC 上是否存在一点 P,使得平面 PBD ? 平面 B A N C D S

ABCD ?若存在,求出

SP 的值;若不存在,说明理由. PC

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 是矩形, 所以 AB //CD , 又因为 AB ? 平面 SCD , CD ? 平面 SCD , 所以 AB // 平面 SCD . (Ⅱ)证明:因为 AB ? SA, AB ? AD, SA 所以 ……………… 3 分 ……………… 1 分

AD ? A ,
……………… 5 分

AB ? 平面 SAD,

又因为 SN ? 平面 SAD , 所以 AB ? SN . 因为 SA ? SD ,且 N 为 AD 中点, 所以 SN ? AD . 又因为 AB ……………… 6 分

AD ? A ,
……………… 8 分

所以 SN ? 平面 ABCD .

(Ⅲ)解:如图,连接 BD 交 NC 于点 F,在平面 SNC 中过 F 作 FP //SN 交 SC 于点 P, 连接 PB,PD. 因为 SN ? 平面 ABCD , 所以 FP ? 平面 ABCD . 又因为 FP ? 平面 PBD , 所以平面 PBD ? 平面 ABCD . 在矩形 ABCD 中,因为 ND //BC , 所以 …………… 12 分 A B …………… 11 分 N F S P N D C

NF ND 1 ? ? . FC BC 2

在 ?SNC 中,因为 FP //SN , 所以

NF SP 1 ? ? . FC PC 2

则在棱 SC 上存在点 P,使得平面 PBD

? 平面 ABCD ,此时

SP 1 ? . …… 14 分 PC 2

(2)2014 西城区 文数二模
17. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 , E 为 AA 1 的中点, O 为 BD 1 的中点. (Ⅰ)求证:平面 A1BD1 ? 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ)求证: EO // 平面 ABCD ; (Ⅲ)设 P 为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱上一点,给出满足条件 OP ? 2 的点 P 的 个数,并说明理由. A1 O D A B C D1 B1 C1

E

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 因为 A1 D1 ? 平面 ABB1 A 1 D1 ? 平面 A 1, A 1 BD 1, 所以平面 A1BD1 ? 平面 ABB1 A 1. (Ⅱ)证明:连接 BD , AC ,设 BD ……………… 4 分

AC ? G ,连接 OG .

因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, 所以 AE // DD1 ,且 AE ? 又因为 O 是 BD1 的中点,

1 DD1 ,且 G 是 BD 的中点, 2

D1 B1 O D

C1

A1

1 所以 OG // DD1 ,且 OG ? DD1 , 2 所以 OG // AE ,且 OG ? AE ,
即四边形 AGOE 是平行四边形, 所以 EO //AG , 又因为 EO ? 平面 ABCD , AG ? 平面 ABCD , 所以 EO // 平面 ABCD . (Ⅲ)解:满足条件 OP ? 2 的点 P 有 12 个.

E
G

C B

A

……………… 6 分

……………… 9 分 ……………… 12 分

理由如下:因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, AA1 ? 2 , 所以 AC ? 2 2 .所以 EO ? AG ? 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 因为 AA 1 ? 平面 ABCD , AG ? 平面 ABCD , 所以 AA 1 ? AG ,又因为 EO //AG , 所以 AA 1 ? OE ,则点 O 到棱 AA 1 的距离为 2 , 所以在棱 AA1 上有且只有一个点(即中点 E )到点 O 的距离等于 2 , 同理,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 每条棱的中点到点 O 的距离都等于 2 , 所以在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱上使得 OP ?

1 AC ? 2 . 2

……………… 13 分

2 的点 P 有 12 个. …… 14 分

(3)2013 西城区 文数一模
16. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD ,

AC ? 3 , AB ? 2 BC ? 2 , AC ? FB .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M ,使 EA //平面 FDM ? 证明你的结论.

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在△ ABC 中, 因为 AC ? 3 , AB ? 2 , BC ? 1 , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC . ………………4 分 ………………2 分

(Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD . 在等腰梯形 ABCD 中可得 CB ? DC ? 1 ,所以 FC ? 1 . 所以△ BCD 的面积为 S ? ………………6 分

3 . 4 1 3 . S ? FC ? 3 12

………………7 分

所以四面体 FBCD 的体积为: VF ? BCD ?

………………9 分

(Ⅲ)解:线段 AC 上存在点 M ,且 M 为 AC 中点时,有 EA // 平面 FDM ,证明如下: ………………10 分 连结 CE ,与 DF 交于点 N ,连接 MN . 因为 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点. 所以 EA // MN . 因为 MN ? 平面 FDM , EA ? 平面 FDM , 所以 EA //平面 FDM . 所以线段 AC 上存在点 M ,使得 EA //平面 FDM 成立. ………………14 分 ………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

(4)2013 西城区 文数二模
17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为侧棱

PD 上一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示.
(Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以 △ BFC 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为

1 ? 1 ? 2 ? 1 .………………1 分 2
………………2 分

1 VP ? BFC ? S ?BFC ? PA 3 1 2 ? ?1 ? 2 ? . 3 3
(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ .

………………3 分 ………………4 分 ………………5 分

由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? 又因为 AF ∥ CD , AF ?

1 CD . ……6 分 2

1 CD , 所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2
………………8 分

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ . 因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC , 所以 直线 AE ∥平面 PFC . (Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . 所以 AE ? 平面 PCD . 因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD . 因为 FQ ? 平面 PFC , 所以 平面 PFC ? 平面 PCD .

………………9 分

………………11 分

………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

(5)2012 西城区 文数一模
17. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥

AB ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面
ECDF .
(Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

A

F

D

B

E

C

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形, ……………2 分 所以 NC ∥ MD , 因为 NC ? 平面 MFD , 所以 NC ∥平面 MFD . (Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED ………………4 分 ………………3 分

FC ? O .

因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 NE ? 平面 ECDF , 所以 FC ? NE . ………………5 分 ………………6 分 …………7 分 …………8 分 …………9 分

又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . 所以 FC ? 平面 NED , 所以 ND ? FC . (Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(Ⅰ)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

…………11 分 …………13 分 …………14 分

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.

(6)2012 西城区 文数二模
17. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中, EA ? EB , AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD . (Ⅰ )求证: AB ? ED ; (Ⅱ )线段 EA 上是否存在点 F ,使 DF // 平面 BCE ?若存在,求出 说明理由.
E

EF ;若不存在, EA

B C D

A

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EA ? EB ,所以 EO ? AB . ……………2 分 因为 AB ∥ CD , AB ? 2CD , 所以 BO ∥ CD , BO ? CD . 又因为 AB ? BC ,所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB ? DO . 因为 EO ? DO ? O ,所以 AB ? 平面 EOD . 所以
C B D G F E

O

A

………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

AB ? ED .

(Ⅱ)解:点 F 满足

EF 1 ? ,即 F 为 EA 中点时,有 DF // 平面 BCE .……………7 分 EA 2
………………8 分

证明如下:取 EB 中点 G ,连接 CG , FG . 因为 F 为 EA 中点,所以 FG ∥ AB , FG ? 因为 AB ∥ CD , CD ?

1 AB . 2

1 AB ,所以 FG ∥ CD , FG ? CD . 2
………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DF ∥ CG . 因为 DF ? 平面 BCE , CG ? 平面 BCE , 所以 DF // 平面 BCE .

(7)2011 西城区 文数一模
16. (本小题满分 13 分) 如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, ?ADE ? 90 ,

AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积. F

E

D

C

A

B

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , ?ADE ? 90 , 所以 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 所以 AC ? 平面 BDE . (Ⅱ)证明:设 AC …………………4 分 A …………………2 分 …………………3 分 F

E

G D O B C

BD ? O ,取 BE 中点 G ,连结 FG, OG ,

// 1 DE . 所以, OG ?

2

……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分 ……………………8 分 ……………………9 分

// OG , 因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ?

从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO . 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF . (Ⅲ)解:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , AB ? AD , 所以 AB ? 平面 ADEF . 因为 AF // DE , ?ADE ? 90 , DE ? DA ? 2 AF ? 2 ,

……………………11 分

1 ? ED ? AD ? 2 , 2 4 1 所以四面体 BDEF 的体积 ? S ?DEF ? AB ? . 3 3
所以 ?DEF 的面积为

……………………12 分 ……………………13 分

(8)2011 西城区 文数二模
16.(本小题满分 13 分) 如图, 菱形 ABCD 的边长为 6 ,?BAD ? 60 , AC

BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC

折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (Ⅰ)求证: OM // 平面 ABD ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 MDO ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? ABD 的体积. B A O D C O D B M C

A

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , 所以 OM // 平面 ABD . (Ⅱ)证明:由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM . 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM …………7 分 A ……………8 分 D ……………6 分 B M O C ……………4 分 ……………2 分

AC ? O ,

所以 OD ? 平面 ABC , 因为 OD ? 平面 MDO , 所以平面 ABC ? 平面 MDO .

……………9 分 ……………10 分

(Ⅲ)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由(Ⅱ)知, OD ? 平面 ABC , 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

……………11 分

1 1 3 9 3 BA ? BM ? sin120 ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 , ? ABM 的面积为 2
1 9 3 ? S?ABM ? OD ? 2 . 所求体积等于 3

……………12 分

……………13 分

二.东城区 (1)2014 东城区 文数一模
17、 (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,△ PAD 是正三角形,平面

PAD ? 平面 ABCD , M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: PM ? MN ; (Ⅱ)求证:平面 PMN ? 平面 PBC ; (Ⅲ)在 PA 上是否存在点 Q ,使得平面 QMN ∥ 平面 PCD ,若存在求出 Q 点位置,并证明, 若不存在,说明理由.
A M B D N C P

17、 (共 14 分) (Ⅰ)证明:因为△ PAD 是正三角形, M 是 AD 的中点,所以 PM ? AD . 因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD 所以 PM ? 平面 ABCD . 因为 MN ? 平面 ABCD ,所以 PM ? MN . ……………5 分 平面 ABCD ? AD ,

(Ⅱ)证明:因为 PM ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PM ? BC . 因为 ABCD 是正方形,M , N 分别是 AD, BC 的中点, 所以 MN ? BC . 因为 PM

MN ? M ,所以 BC ? 平面 PMN .
…………9 分

因为 BC ? 平面 ABCD ,所以平面 PMN ? 平面 PBC . (Ⅲ)存在点 Q 为 PA 的中点,使得平面 QMN ∥平面 PCD . 证明:因为 M , Q 分别是 AD, PA 的中点,所以 MQ ∥ PD . 因为 MQ ? 平面 PCD , PD ? 平面 PCD 同理可得 MN ∥平面 PCD . 因为 MQ

……………10 分

,所以 MQ ∥平面 PCD .

MN ? M ,所以平面 QMN ∥平面 PCD .

…………………14 分

(2)2014 东城区 文数二模
(17) (本小题共 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 ° ,平面

PAB ? 平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点.
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: AB ? PE ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? BEC 的体积.

P A

A B A D A E A C A

(17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 D , E 分别为 AB , AC 中点, 所以 DE ∥ BC , 又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . (Ⅱ)连结 PD , 因为 DE ∥ BC ,又 ?ABC ? 90 ° , 所以 DE ? AB . 又 PA ? PB , D 为 AB 中点, 所以 PD ? AB . 所以 AB ? 平面 PDE , 所以 AB ? PE . …………………9 分 …………………4 分 B A

P A

A D A E A C A

(Ⅲ)因为平面 PAB ? 平面 ABC , 有 PD ? AB , 所以 PD ? 平面 ABC , 所以 VP ? BEC ?

1 1 1 1 3 . VP ? ABC ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 2 3 2 2

…………14 分

(3)2013 东城区 文数一模
(16) (本小题共 14 分) 如图,已知 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , F 为 BC 的中点,若 E 1 AB ? AC ? AD ? CE . 2 D (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE . A C F B

(16) (共 14 分) 证明:(Ⅰ)取 BE 的中点 G ,连结 GF , GD . 因为 F 是 BC 的中点, 则 GF 为△ BCE 的中位线. 所以 GF // EC , GF ?

1 CE . 2
E D

因为 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , 所以 GF // EC // AD .

1 又因为 AD ? CE , 2
所以 GF ? AD . 所以四边形 GFAD 为平行四边形. 所以 AF // DG . 因为 DG ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , 所以 AF // 平面 BDE . (Ⅱ)因为 AB ? AC , F 为 BC 的中点, 所以 AF ? BC . 因为 EC // GF , EC ? 平面 ABC , 所以 GF ? 平面 ABC . 又 AF ? 平面 ABC , 所以 GF ? AF . 因为 GF BC ? F , 所以 AF ? 平面 BCE . 因为 AF // DG , 所以 DG ? 平面 BCE . 又 DG ? 平面 BDE , 所以平面 BDE ? 平面 BCE . C A

G

F

B

(4)2013 东城区 文数二模
17、 (本小题共 14 分) 如图, △ BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90? , M , N , G 分别是 BD , BC , AB 的中点,将 △ BCD 沿 BD 折叠到 △ BC ?D 的位置,使得 AD ? C ?B . ⑴ 求证:平面 GNM ∥ 平面 ADC ? ; ⑵ 求证: C ?A ? 平面 ABD .
A G B N C
B C

M

D
N G A M D

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 M , N 分别是 BD , BC 的中点, 所以 MN // DC ? . 因为 MN ? 平面 ADC ? ,
C
'

DC ? ? 平面 ADC ? , 所以 MN // 平面 ADC ? .
同理 NG // 平面 ADC ? . 又因为 MN

N A G M B D

NG ? N ,所以平面 GNM // 平面 ADC ? .

(Ⅱ)因为 ?BAD ? 90 ,所以 AD ? AB . 又因为 AD ? C B ,且 AB
'

C ' B ? B ,所以 AD ? 平面 C ' AB .
'

因为 C A ? 平面 C AB ,所以 AD ? C A .
' '

因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , 不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 由勾股定理的逆定理,可得 AB ? C A .
'

2 ,可得 C ?A ? 1 .

因为 AB

AD ? A ,所以 C ' A ? 平面 ABD . …………………………………14 分

(5)2012 东城区 文数一模
(17) (本小题共 14 分) 如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的 点,且满足 AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1 EF 的位置,使平面 A 1EF ? 平面 EFB ,连结 A1 B , A1 P .(如图 2 ) (Ⅰ)若 Q 为 A1 B 中点,求证: PQ ∥平面 A1 EF ; (Ⅱ)求证: A1E ? EP .
A

A1
E

F

Q

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 A1 E 中点 M ,连结 QM , MF . 在△ A1BE 中, Q, M 分别为 A1B, A1E 的中点, 所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 因为
A1 M Q E F

1 BE . 2

CF CP 1 ? ? , FA PB 2 1 BE , 2
B

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

P

C

所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF . 所以四边形 PQMF 为平行四边形. 所以 PQ ∥ FM . 又因为 FM ? 平面 A1 EF ,且 PQ ? 平面 A1 EF , 所以 PQ ∥平面 A1 EF . (Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 , 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形. 又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD . 所以在图 2 中有 A1E ? EF . 因为平面 A 1EF ? 平面 EFB ,平面 A 1 EF 所以 A1E ⊥平面 BEF . 又 EP ? 平面 BEF , 所以 A1E ⊥ EP . …………9 分
B D E

…………5 分

…………7 分
A

F

平面 EFB ? EF , …………12 分

P

C

…………14 分

(6)2012 东城区 文数二模
(17) (本小题共 13 分) 如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直, MB ∥ NC , MN ? MB . (Ⅰ)求证:平面 AMB ∥平面 DNC ; D (Ⅱ)若 MC ? CB ,求证 BC ? AC .
A
[来源:Z.xx.k.Com]

N M

C B

(17) (共 13 分) 证明: (Ⅰ)因为 MB // NC , MB ? 平面 DNC , NC ? 平面 DNC , 所以 MB //平面 DNC . ……………2 分
A D

因为 AMND 是矩形, 所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 所以 MA //平面 DNC . 又 MA ……………4 分

MB ? M ,且 MA , MB ? 平面 AMB , 所以平面 AMB //平面 DNC . ……………6 分 AMND (Ⅱ)因为 是矩形,
所以 AM ? MN . 因为 平面AMND ? 平面MBCN ,且 平面AMND 所以 AM ? 平面MBCN . 因为 BC ? 平面MBCN , 所以 AM ? BC . 因为 MC ? BC , MC 所以 BC ? 平面AMC . 因为 AC ? 平面AMC , 所以 BC ? AC . ………………1 3 分 ………………10 分

N M

C B

平面MBCN = MN ,

AM ? M ,
………………12 分

(7)2011 东城区 文数一模
(16) (本小题共 13 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
P

E C

D

A

B

(16) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 因为 EO ? 平面 BDE
E C O A B P

PC ? 平面 BDE
所以 PC ∥平面 BDE .……6 分 (Ⅱ)证明:连结 OP 因为 PB ? PD , 所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC 因为 OP

D

AC ? O 所以 BD ? 平面 PAC

因为 BD ? 平面 BDE ,所以平面 PAC ? 平面 BDE .……………13 分

(8)2011 东城区 文数二模
17、 (本小题共 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , D , E 分别为 BC , BB1 的中点, 四边形 B1BCC1 是正方形. (Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 AC1D ; (Ⅱ)求证: CE ? 平面 AC1D .

A1

A

C1 D B1 E B

C

17、 (共 13 分) 证明: (Ⅰ) 连结 A1C , 与 AC1 交于 O 点, 连结 OD . 因为 O , D 分别为 AC1 和 BC 的中点, 所以 OD ∥ A1 B . 又 OD ? 平面 AC1D ,

A1 O C1

A

C D E B

A1B ? 平面 AC1D ,

所以 A1 B ∥平面 AC1D . ……………………6 分 (Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

B1

BB1 ? 平面 ABC ,又 AD ? 平面 ABC ,
所以 BB1 ? AD . 因为 AB ? AC , D 为 BC 中点, 所以 AD ? BC .又 BC

BB1 ? B ,

所以 AD ? 平面 B1BCC1 . 又 CE ? 平面 B1BCC1 , 所以 AD ? CE . 因为四边形 B1BCC1 为正方形, D , E 分别为 BC , BB1 的中点, 所以 Rt △ CBE ≌ Rt △ C1CD , ?CC1D ? ?BCE . 所以 ?BCE ? ?C1DC ? 90 . 所以 C1D ? CE . 又 AD

C1D ? D ,
……………………13 分

所以 CE ? 平面 AC1D .


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