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平面向量实际背景和运算


《平面向量的实际背景及基本概念》
一、 向量是数学中的重要概念之一, 向量和数一样也能进行运算, 而且用向量的有关知识还能有 效地解决数学、物理等学科中的很多问题。向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算 性质, 通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算, 这样通过向量就能较容易地研究空 间的直线和平面的各种有关问题。 二、 (一)向量的物理背景与概念 所学习过哪些

既有大小又有方向的量? 我们可以对位移、力??这些既有大小又有方向的量进行抽象,形成一种新的量。这种 量就是我们本章所要研究的-----向量。 向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。 (而把那些只有大小, 没有方向的量如: 年龄、 身高长度、 面积、 体积、 质量等, 称为数量。 ) (二)向量的几何表示 引入:由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示,而且不同的 点表示不同的数量。 对于向量,我们常用带箭头的线段-----有向线段来表示,线段按一定比例(标度)画出, 它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向。 有向线段:带有方向的线段叫有向线段。 (如图) B 终点 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作 AB ,起点写在终点的前面。 已知 AB ,线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度,记作 AB 。

A 起点

有向线段的三要素:起点、方向、长度。 (知道了有向线段的起点、方向和长度,它的 终点就唯一确定。 ) 向量的表示方法: 几何表示:①用有向线段表示; 字母表示:②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如: AB, CD ; ③用字母 a 、 b 、 c 等表示。 问题 1: “向量就是有向线段,有向线段就是向量。 ”的说法对吗? ①向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和方向相同,则 这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同 的有向线段。 向量的长度(或称模) :向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) :记作 AB 。 零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 。 注意 0 与 0 的区别(及书写方法) 。 ②长度等于 1 个单位的向量,叫单位向量。 说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向。 (三)平行向量、共线向量与相等向量 平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行。 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量 a, b, c 平行,记作 a // b // c 。

a b

c

共线向量定义: 平行向量也叫做共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明: (1)向量 a 与 b 相等,记作 a ? b ; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起 点无关。在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由 它的方向和模确定。 问题 1:两个向量是否可以比较大小? (向量不能比较大小,我们知道,长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个 向量之间只有相等关系,没有大小之分, “对于向量 a 、 b , a ? b 或 a ? b ”这种说法是错 误的。 ) 二、向量的线性运算 1.向量加法 (1)定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。 规定: 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与 已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是 “首尾相接” , 由第一个向量的起点指向最后一个 向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。 注:当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾 连接时,用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:

?

?

?

? ?

?

AB ? BC ? CD ?
(3)向量加法的运算律: ①交换律: a ? b ? b ? a 2.法向量的减

。 ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”

②结合律: (a ? b) ? c ? a ? (a ? c)

(1) 定义:若 a ? x ? b 则向量 x 叫做 a 与 b 的差,记为 b ? a 。求两个向量差的运算,叫 做向量的减法。 (2) 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 三角形法则:当 a, b 有共同起点时, a ? b 表示为从减向量 b 的终点指向 ? 被减向量 a 的终点的向量。 ② 平行四边形法则:两个已知向量是要共始点的,差向量是如图所示的对角

?

? 线。设 AB ? a, AC ? b 则 a - b = AB ? AC ? CB .

C

3.实数与向量的积

b
A

a ?b
a
B

(1) 定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度与方向规定如下: ① ?a ? ? ? a ; ② 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 (2) 数乘向量的运算律 ① ? (? a) ? (?? )a ;② (? ? ? )a ? ? a ? ? a ;③ ? (a ? b) ? ? a ? ?b 。 三、向量共线定理 1. 定理:若 a 与 b 是两个非零向量,则 a b 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,即

?

?

?

?

?

?

?

a / /b ? b ? ? a(a ? 0)
2. 推论:若 a 与 b 是两个非零向量,则 a b 共线 ? 存在两个均不为零的实数 ?、? ,使得

? a ? ?b ? 0 ,
3. 应用:可以证明三点共线: AB ? ? AC ? A、B、C 三点共线。

四、平面向量的基本定理 1. 定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有 且只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 。我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底。 2. 注意:①要平面内的两个向量不共线,都可以作为一组基底,②当 a 用基底 e1 , e2 写成

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ? ? 称之为向量的分解, ③当若 a 与 b 是两个非零向量, 则 a b 共线 ? a ? ?1e1 ? ?2 e2 时,
有且只有一个实数 ? ,使得 e1 ? e2 时,称 a ? ?1e1 ? ?2 e2 为向量的正交分解。 3. 应用: ①证明向量共面:若 a, b 不共线,则 p 与 a, b 共面的充要条件是存在有序实数对 ( x, y ) , 使 p ? xa ? yb ②证明四点共面: 若 MA, MB 不共线, 存在实数对 ( x, y ) 使 MP ? xMA ? yMB ? M , P, A, B 四点共面, ③证明三点共线:若 MA, MB 不共线,存在实数对 ( x, y ) 使
MP ? xMA ? yMB且x ? y ? 1 ? P, A, B 三点共线。

?

?

?

五、平面向量的坐标表示与运算 1. 平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 由平面向量的基本定理知, 该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj , i , j 作为基底, 由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其 中 x 叫作 a 的横坐标,y 叫做作纵坐标。 规定:

① i ? (1,0) , j ? (0,1) ② 相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; ③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关 2. 平面向量的坐标运算: ①若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ⑤若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? x1 ? x2 , y1 ? y2

六、线段的定比分点从标公式 如图,设直线 l 上有一条有向线段 PP 1, P 2 的动点 P,若 1 2 和一个不同于 P

| PP 1 | ? ? ,即 | PP2 |

PP 1 2 的定比分点,且称 P 分有向线段成定比 ? 。 1 ? ? PP 2 (? ? ?1) ,则称点 P 为有向线段 PP
x ? ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? (? ? ?1) 设 P( x, y), P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ? x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 若 ? ? 1 ,得到 PP 1 2 中点坐标 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
七、几个重要结论 1. | a ? b | ? | a ? b | ? 2(| a | ? | b | ) , | a | ? | b | ? (a ? b)(a ? b)
2 2 2 2 2 2

2. 若 G 为 ?ABC 的重心 ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , )。 3 3


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