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上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(文)试卷 word版


上海市五校 2015 届高三第一学期联合教学质量调研数学(文)试卷

考生注意: 1、本试卷考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分。 2、答题前,考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。 3、考试结束只交答题卡和答题纸。

一、填空题: (本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分,考生应在答

题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. ) 1.已知 P ( ?3, 4) 为角 ? 终边上的一点,则 cos(? ? ? ) ? 2.已知向量 a ? (1, ?2), b ? ( x, 2) ,若 a ? b ,则 b =________. 3.已知幂函数 f ( x ) 过点 (2, 2) ,则 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x) ?
x 4.已知集合 M ? {x 2 ? } , N ? {x y ?





1 2

3 ? x } ,则 M ? N ?



5.若无穷等数列 {an } 满足:lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 4 ,则首项 a1 的取值范围为
n ??



2 2 6.若直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 平分圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 的面积,则直线 l 的倾斜角



. (用反三角函数值表示)
2

7 .若函数 f ( x ) ? lg(? x ? 8 x ? 7) 在区间 ( m , m ? 1) 上是增函数,则 m 的取值范围是 ______. 8. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 9. 已知 cos(? ? ? ) ? 升.

3 5 ? ? ,sin ? ? ? ,且 ? ? (0, ), ? ? ( ? , 0) ,则 sin ? ? 5 13 2 2

.
*

10. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,若总有 Sn ? Sk (n ? N ) ,

则正整数 k ?

.


11. 在正 ?ABC 中, D 是 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ?

12.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) ,若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3,则 OM ? .

? ? x 2 ? x, x ? 1 3 ? 2 13. 已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 , 若对任意的 x ? R , 不等式 f ( x) ? m ? m 恒成立, 1 4 ? ? 3
则实数 m 的取值范围是 .
x

14. 求“方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路: 设函数 f ( x ) ? ( ) ? ( ) , 则
x x x

3 5

4 5

3 5

4 5

函数 f ( x ) 在 R 上单调递减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题 思路,方程 x 6 ? x 2 ? (2 x ? 3)3 ? 2 x ? 3 的解集为 .

二、选择题: (本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.) 15.已知命题 ? : x ? 1 ? 2 ,命题 ? : A.充分不必要条件 C.充分必要条件

x?3 ? 0 ,则命题 ? 是命题 ? 成立的( x ?1
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )



16.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0,??) 上单调递减的函数为( A. y ? ln

1 x

B. y ? x

3

C. y ? 10

x

D. y ? cos x

17. 已知直线 l1 : y ? x sin ? (? ? R) 和直线 l 2 : y ? 2 x ? c , 则下述关于直线 l1 , l 2 关系的判 断正确的是( ) B. 不可能垂直 D. 通过绕 l1 上某点旋转可以重合

A. 通过平移可以重合 C. 可能与 x 轴围成等腰直角三角形

18.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系 用取整函数 y ? [ x] (其中 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( A. y ? ? ? ? 10 ? )

? x ? 5?

B. y ? ? ? ? 10 ?

? x ? 4?

C. y ? ? ? ? 10 ?

? x ? 3?

D. y ? ?

?x? ? ? 10 ?

三、解答题: (本大题满分 74 分,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 .) 19.(本题满分 12 分)第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 如图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0, (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 x ? [?3,0] 时,求 f ( x) 的最值及相应 x 的值. y A

?
2

? ? ? ? )的部分图象,其中 AB ? 5 .

2 1
O
?2

x B

(第 19 题图)

20.(本题满分 14 分)第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且 S n ? 2an ? 2(n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 3, a1 , a2 ,求 ?ABC 的面积.

21.(本题满分 14 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 E 长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点,且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是 1. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若 A 、 B 是椭圆 E 的左右端点, O 为原点, P 是椭圆 E 上异于 A 、 B 的任意一点,

直线 AP 、 BP 分别交 y 轴于 M 、 N ,问 OM ? ON 是否为定值,说明理由.

22. (本题满分 16 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分. 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项, 将每个图形的层数增加可得到这四 个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列” 、 “四边形数列” 将构图边数增加到 n 可得到“ n 边形数列” ,记它的第 r 项为 P(n, r ) , ,

1,3,6,10

1,4,9,16

1,5,12,22

1,6,15,28

(1)求使得 P(3, r ) ? 36 的最小 r 的取值; (2)问 3725 是否为“五边形数列”中的项,若是,为第几项;若不是,说明理由; (3)试推导 P(n, r ) 关于 n 、 r 的解析式.

23. (本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 若函数 f ( x ) 在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为“局部奇函数” . (1)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( x ? R, 0 ? ? ? 并说明理由; (2)设 f ( x) ? 2 ? m 是定义在 ??1,1? 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围;
x

?
2

) ,试判断 f ( x) 是否为“局部奇函数”?

(3) 若 f ( x) ? 4x ? m2x?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的 “局部奇函数” , 求实数 m 的取值范围.
[来

参考答案
一、填空题 1、

3 5

2、 2 5 5、 (0,4) ? (4,8)

3、 x 2 ( x ? 0) 6、 ? ? arctan 2

4、 (?1,3]

7、 [1, 3] 10、 6 13、 ( ?? , ? ] ? [1, ?? ) 二、选择题 15、 B 三、简答题 16、 A

8、

67 66
15 2

9、

33 65

11、

12、 2 3

1 4

14、 {?1, 3}

17、 D

18、 C

19、 (1)由已知 A, B 两点的水平距离为 3 ,则 得 f ? x ? ? 2sin ?

T ? ? ? 3, ? 3 ,? ? , 2 ? 3
?2 分

?? ? x ?? ? . ?3 ?
1 ? 5? ,因 ? ? ? ? ,故 ? ? 2 2 6

又 f ? 0 ? ? 1 ,得 sin ? ? 则 f ( x ) ? 2 sin( 由 2k? ?

?
3

x?

5? ) 6

?5 分

?
2

?

?
3

x?

5? 3? ? 2k? ? ? 6k ? 1 ? x ? 6k ? 2 6 2
?7 分 ?8 分 ?10 分 ?12 分 ?1 分

故函数 f ( x) 的单调递减区间为 [6k ? 1,6k ? 2](k ? Z ) (2)由 x ? [?3,0] ?

?
3

x?

5? ? 5? ? [? , ] 6 6 6

故 f ( x) min ? f (?3) ? ?1

f ( x) max ? f (?1) ? 2 .
20、 (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2 当 n ? 2 时,由 S n?1 ? 2an?1 ? 2 ,两式相减,得

a n ? 2a n ? 2a n?1 ?

an ? 2( n ? 2 ) a n?1

?5 分

则数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an ? 2 n (2)由(1)得, a2 ? 4 在 ? ABC 中, cos C ?
2 2 32 ? a1 ? a2 32 ? 22 ? 42 1 ? ?? 2 ? 3 ? a1 2? 3? 2 4

?7 分 ?8 分

?10 分

则 sin C ? 1 ? cos C ?
2

15 1 3 15 ? S?ABC ? ab sin C ? 4 2 4

?14 分

21、 (1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且 a ? 3 , 又 a ? c ? 1 ? c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 5
2 2 2

?2 分

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 E 的标准方程为 9 5
2 2 (2)设 P( x0 , y0 ) ,则 5x0 ? 9 y0 ? 45 ,且 A(?3,0), B(3,0)

?6 分

又直线 PA : y ?

y0 y0 ( x ? 3) ,直线 PB : y ? ( x ? 3) x0 ? 3 x0 ? 3 3 y0 ?3 y0 ), ON ? (0, ) x0 ? 3 x0 ? 3

?10 分

令 x ? 0 ,得: OM ? (0,

故 OM ? ON ?

2 2 ?9 y0 5 x0 ? 45 ? ? 5 为定值. 2 2 x0 ? 9 x0 ? 9

?14 分

22、 (1) P (3, r ) ?

r (r ? 1) , 2 r ( r ? 1) ? 36 , 由题意得 2
所以,最小的 r ? 9 .

?3 分

?5 分

(2)由 5 ? 1 ? 4,12 ? 1 ? 4 ? 7, 22 ? 1 ? 4 ? 7 ? 10,

则 P (5, r ) ? 1 ? 4 ? 7 ?

r 3r 2 ? r ? (3r ? 2) ? [1 ? (3r ? 2)] ? 2 2

?8 分

若 P (5, r ) ?

3r 2 ? r 149 ? 3725 ? 3r 2 ? r ? 7450 ? 0 ? r ? 50 或 ? (舍) 3 2
?10 分

故 3725 是“五边形数列”中的第 50 项

(3)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar ,则 P(n, r ) ? a1 ? a2 ? ??? ? ar 从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以 ar ?1 ? ar ? n ? 2 , a1 ? 1 即 {ar } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列 故 P(n, r ) ? ?14 分 ?16 分

r (n ? 2)r (r ? 1) [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] .(或 r ? 等) 2 2

23、 (1) f ( x ) 为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f (? x) ? f ( x) ? 0 有解. 即 sin(? x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ? 2cos x sin ? ? 0 有解 因0 ?? ? ?2 分

?
2

? sin ? ? 0 ,得 cos x ? 0 ? x ? k? ?

?
2

(k ? Z )
?4 分

. ? f ( x) 为“局部奇函数” (2)存在实数 x 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,即 2
x 令 t ? 2 , x ? [?1,1] ? t ? [ , 2] ,
?x

? 2x ? 2m ? 0 在 [?1,1] 有解

1 2

则 ?2m ? t ? 在 t ? [ , 2] 上有解 因为 g (t ) ? t ? 在 [ ,1] 上递减,在[1,2]上递增,? g (t ) ? ? 2, ? t 2 2

1 t

1 2

?7 分

1

1

? 5? ? ?
?10 分

? 5? ? 5 ? ??2m ? ? 2, ? ,故 m ? ? ? , ?1? ? 2? ? 4 ?
(3)存在实数 x 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,

即 4? x ? 4x ? 2m(2? x ? 2x ) ? 2m2 ? 6 ? 0 在 x ? R 有解 令 t ? 2? x ? 2 x , x ? R ? t ? [2, ??) ,且 4
?x

? 4x ? t 2 ? 2
?13 分

从而 g(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 ? 0 (*)在 t ? [2, ?? ) 上有解

1? . 若 g(2) ? 0 ,即 1 ? 3 ? m ? 1 ? 3 时,则方程(*)在 t ? [2, ?? ) 上有解

2? . 若 g(2) ? 0 ,即 m ? 1 ? 3 或 m ? 1 ? 3 时,结合图像,方程(*)有解,则

? ? ? 4m 2 ? 4(2m 2 ? 8) ? 0 ? m?2 ? 1? 3 ? m ? 2 2 ? ? g(2) ? 0 ?
综上,所求 m 的取值范围为 [1 ? 3, 2 2] . ?18 分


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