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辽宁省重点高中


辽宁省重点高中 2011 年高考夺标预测试卷(二)

数学[内部资料]
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集 U={-1,0,l,2},集合 4={-1,2},B={0,2},则 (CuA) ? B = A.{0} B.{2} C.{O,1,2} D. ? ( ) ( )

2.△ABC 中,BC=2,角 B=

? 3 ,当△ABC 的面积等于 时,sinC= 3 2
1 2
C.

A.

3 2

B.

3 3

D.

3 4


3.用一些棱长是 1cm 的小正方体码放成一个几何体,图 1 为其俯视图,图 2 为其正视图,则这个几 何体的体积最多是 (

A.6cm3

B.7cm3

C.8cm3

D.9cm3 ( )

4.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 1 零点的个数为 A.0 5.若 B.1 C .2 D.3

cos 2?

sin(? ? ) 4

?

??

2 ,则 cos ? +sin ? 的值为 2
1 2
2





A. ?

7 2

B. ?

C.

1 2

D.

7 2

6 . 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线 x ?

y2 ?1 的 左 、 右 焦 点 , 若 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 9
( C. 5 D. 2 5 )

PF 1 ? PF 2 ? 0, 求 | PF 1 ? PF 2 |?
A. 10 B. 2 10

7.在等比数列中 ?an ? 中,若 a3a5a7 a9 a11 ? 243 ,则 A.9 B.1 C .2

a9 2 的值为 a11

( D.3



8.已知非零向量 AB, AC 和 BC 满足 ( 为 A.等边三角形 C.非等腰三角形

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0 且 (

AC ?BC | AC | ? | BC |

)?


2 ,则△ABC 2


B.等腰非直角三角形 D.等腰直角三角形 ( )

9.已知动圆过点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切,则动圆圆心的轨迹方程为 A. x 2 ? y 2 ? 1 B. x 2 ? y 2 ? 1 C. y 2 ? 4 x D. x ? 0

10.如果直线 l,m 与平面 ? , ? , ? 满足 ? ? ? ? l , l // ? , m ? ? , 且m ? ? ,则必须有( A. m // ? , 且l ? m C. ? ? ? , 且l ? m B. a ? ? , 且m // ? D. ? // ? , 且? ? ?



11.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人的成绩的标准差为 ( 分数 人数 A. 3 5 20 B. 4 10 3 30 C .3 2 30 D. 1 10 )

2 10 5

8 5

12.已知函数 f ? x ? ? x ?

a (a>0) ,有下列四个命题: x

① f ? x ? 的值域是 ? ??,0? ? ? 0, ??? ; ② f ? x ? 是奇函数; ③ f ? x ? 在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上单调递增; 2 0 其中正确的是 ( ) 0 A.仅②④ B.仅②③ C.仅①② D.仅③④ 9 二、填空题:本大题有 4 个小题,每小题 4 分,共 160分;将答案填在答题纸的对应位置上。 13.一 4 个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 2,2,3, 2 则此球的表面积为 。 7 14.执行右边的程序框图,若 p=0.8,则输 出的 n= 15.已知 f (3 ) ? 4 x log2 3 ? 233 ,
x

④方程 f ? x ? ? a 总有四个不同的解,



则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ?

? f (28 ) 的值等于



? x ? y ? 2 ? 0, ?5 x ? y ? 10 ? 0, ? 16.设 x,y 满足约束条件 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0,
则 z ? 2 x ? y 的最大值为 。

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步 骤. 17. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? b 其中向量 a ? ? 2cos x,1? , b ? cos x, 3 sin 2 x ? m 。 (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和在 ? 0, ? ? 上的单调递增区间; (2)当 x ? ?0,

?

?

? ?? 时, f ? x ? 的最大值为 4,求 m 的值。 ? 6? ?

18. (本题满分 12 分)设某市现有从事第二产业人员 100 万人,平均每人每年创造产值 a 万元( a 为 正常数) ,现在决定从中分流 x 万人去加强第三产业。分流后,继续从事第二产业的人员平均每 人每年创造产值可增加 2 x %(0< x <100) .而分流出的从事第三产业的人员,平均每人每年可创 造产值 1.2 口万元. (1)若要保证第二产业的产值不减少,求 x 的取值范围; (2)在⑴的条件下,问分流出多少人,才能使该市第二、产业的总产值增加最多?

19. (本题满分 12 分)如图,已知三棱锥 A ? BPC 中, AP ? PC , AC ? BC , M 为 AB 中点, D 为

PB 中点,且△ PMB 为正三角形。
(1)求证: DM ∥平面 APC ; (2)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (3)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。

20. (本题满分 12 分)设函数 g ( x) ? 的斜率记为 f ( x ).

1 3 1 2 x ? ax ? bx (a, b ? R) ,在其图象一点 P(x,y)处的切线 3 2

(1)若方程 f ? x ? ? 0 有两个实根分别为 ?2 和 4 ,求 f ? x ? 的表达式; (2)若 g ? x ? 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。
2 2

21. (本小题满分 12 分)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 (点 O 为坐标原点) ,一条直线

l : y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切,并与椭圆
(1)设 b ? f ( x), 求f (k ) 的表达式; (2)若 OA ? OB ?

x2 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 A、B。 2

2 , 求直线 l 的方程。 3

2 0 0 9 0 4 2 7

22. (本题满分 14 分) 数列 {a n } 中, an ?1 ? (I)若 a1 ?

an , n ? N* . 2an ? 2

2

a ?2 9 ,设 bn ? log1 n ,求证数列 {bn } 是等比数列,并求出数列 {a n } 的通项公式; an 4 3

(II)若 a1 ? 2 , n ? 2 , n ? N ,用数学归纳法证明: 2 ? an ? 2 ?

a1 ? 2 . 2n?1

数学试题(二)参考答案
一、选择题: (本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. ) ABBBC 13.17 ? BDDCB BA

二、填空题: (共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 14.4 15.2008 16.11

三、解答题: (共 6 小题,共 74 分) 17.解: (1)

?? ? f ? x ? ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? m ? 2sin ? 2 x ? ? ? m ? 1, ……2 分 6? ?
2? ? ? 。…………………………4 分 2

∴函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? 在 ? 0, ? ? 上单调递增区间为 ?0, (2)当 x ? ?0,

? ? ? ? 2? ? ? , ? , ? ? 。……………………6 分 ? 6? ? 3 ?

? ?? 时, ? 6? ?

∵ f ? x ? 递增, ∴当 x ?

?
6

时, f ? x ? 取最大值为 m ? 3 ,即 m ? 3 ? 4 。解得 m ? 1 ,

∴ m 的值为 1。…………………………12 分 18.由题意,得 ?

?

0? x?100

??100 ? x ??1 ? 2 x% ? a ? 100a

……………………………3 分

? 0? x?100 ?? 2 ? 0? x ? 50 ………………………………6 分 ? x ? 50 x ? 0
(3)该市第二、三产业的总产值增加 f ? x ?? 0? x ? 50? ,则

f ? x ? ? ?100 ? x ??1 ? 2 x% ? a ? 100a ? 1.2ax ? ?
∵ x ? ? 0,50? 时, f ? x ? 单调递增, ∴ x ? 50 时, f ? x ?max ? 60a ,

a ? 2 ……10 分 ? x ? 55 ? ? 3025? ? ? 50

即应分流出 50 万人才能使该市第二、三企业的总产值增加最多。………………12 分 19. (本小题 12 分)

解(1)∵ M 为AB中点,D为PB中点, ∴ MD ∥ AP ,又∴ MD ? 平面ABC ∴ DM ∥ 平面APC ………………………………………………………3 分

(2)∵△ PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点, ∴ MD ? PB 又由(1)∴知 MD ? AP, ∴ AP ? PB 又已知 AP ? PC ∴ AP ? 平面PBC , ∴ AP ? BC ,又∵ AC ? BC ∴ BC ? 平面APC ,∴平面 ABC ? 平面 PAC ,…………………………8 分 (3)∵ AB ? 20 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 8 ∴ MB ? 10 ,∴ PB ? 10 又 BC ? 4 , PC ? 100 ?16 ? 84 ? 2 21 ∴ S?BDC ?

1 1 1 S?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21 2 4 4

又MD ?

1 1 AP ? 202 ? 102 ? 5 3 2 2

∴ VD ? BCM ? VM ? BCD ? 20. (本小题满分 12 分)

1 1 S?BDC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 ………12 分 3 3

解: (1)根据倒数的几何意义知 f ? x ? ? g ' ? x ? ? x2 ? ax ? b 由已知 ?2 和 4 是方程 x ? ax ? b ? 0 的两个实根
2

由韦达定理, ?

??2 ? 4 ? ?a ?a ? ?2 ∴? , ? 2 ? 4 ? ? b b ? 8 ? ?

f ? x ? ? x2 ? 2x ? 8 …………………………5 分
(2) g ? x ? 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,所以在 ? ?1,3? 区间上恒有

f ? x ? ? g ' ? x ? ? x2 ? ax ? b ? o ,即 f ? x ? ? x2 ? ax ? b ? 0 在 ? ?1,3? 恒成立,
这只需要满足 ?

? ? a ? b ?1 ? f ? ?1? ? 0 即可,也即 ? ? ?b ? 3a ? 9 ? f ? 3? ? 0

而 a ? b 可视为平面区域 ?
2 2

? a ? b ?1 内的点到原点距离的平方,其中点 ? ?2,3? 距离原 ?b ? 3a ? 9

点最近,所以当 ?

?a ? ?2 2 2 时, a ? b 有最小值 13………………………12 分 ? b?3
|b| 1? k 2

21. (本小题满分 12 分) 解: (1) y ? kx ? b(b ? 0)与x ? y ? 1相切, 则
2 2

? 1,

即 b ? k ? 1,
2 2

? b ? 0,? b ? k 2 ? 1. ……………………3 分
? y ? kx ? b ? 由? x 2 消去y, 2 ? ? y ?1 ?2
得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 2 ? 0. ∵l 与椭圆交于不同的两点,

? ? ? 16k 2b 2 ? 4(2k 2 ? 1)(2b 2 ? 2) ? 8k 2 ? 0, k ? 0.

? b ? k 2 ? 1(k ? 0) ……………………5 分
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

4kb 2b 2 ? 2 , x1 x 2 ? 则 x1 ? x 2 ? ? ………………7 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2
? (1 ? k 2 )
OA ? OB ?

2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 k 2 ?1 2 ? kx ? b ? ? 4kb 2b 2 ? 2 2k 2 ? 1
2 , 3

?

k 2 ?1 2 2 ? ? k ? 1. …………………………10 分 2k 2 ? 1 3

所以 b 2 ? 2,? b ? 0,?b ?

2,

?l : y ? x ? 2或y ? ? x ? 2 ……………………12 分
2 an ?2 a n ?1 ? 2 2a n ? 2 a ?2 2 a ?2 ? log 1 ? log 1 ? log 1 ( n ) ? 2 log 1 ( n ) ? 2bn , 2 a n ?1 an an an 3 3 3 3 2a n ? 2

22. (I)证明:∵ bn ?1

…………(2 分) ∵ b1 ? log 1
3

a1 ? 2 ? 2 ,∴数列 {bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, a1
…………(4 分)

∴ bn ? 2 n ,即 log 1
3

an ? 2 a ?2 1 2 ? 2 n ,得 n ? ( ) ,所以 a n ? an an 3
n

2 . 1 1 ? ( )2 3
n

…………(6 分) (II)证明: (i)当 n ? 2 时,∵ a1 ? 2 ,∴ a2 ? 2 ?

a12 (a ? 2) 2 ?2? 1 ?0, 2a1 ? 2 2a1 ? 2

∴ a2 ? 2 ?

a1 ? 2 (a1 ? 2) 2 a1 ? 2 2 ? a1 ? ? ? ?0, 2 2a1 ? 2 2 2(a1 ? 1)

∴ 2 ? a2 ? 2 ?

a1 ? 2 ,不等式成立; 21
a1 ? 2 成立, 2k ?1

…………(8 分)

(ii)假设当 n ? k (k ? 2) 时, 2 ? ak ? 2 ?

那么,当 n ? k ? 1 时,去证明 2 ? ak ?1 ? 2 ? ∵ a k ?1 ? 2 ? ∵ a k ?1 ? 2 ?

a1 ? 2 2k

ak (a ? 2) 2 ?2? k ? 0 ,∴ a k ?1 ? 2 ; 2a k ? 2 2(a k ? 1) a1 ? 2 (a k ? 2) 2 a1 ? 2 (a k ? 2) 2 a1 ? 2 a k ? 2 a1 ? 2 ? ? ? ? ? ? , 2k 2(a k ? 1) 2k 2(a k ? 2) 2k 2 2k

a k ? 2 a1 ? 2 ? ? 2 2k
∴ ak ?1 ? 2 ?

2?

a1 ? 2 ?2 a ?2 2 k ?1 ? 1 k ?0 2 2

a1 ? 2 a ?2 ;∴ 2 ? ak ?1 ? 2 ? 1 k , k 2 2
…………(12 分)

所以 n ? k ? 1 不等式也成立, 由(i) (ii)可知,不等式成立.


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