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重庆市重点中学05-06年度高二、上期期末数学测试题及答案


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重庆市重点中学05-06年度高二、上期期末数学测试题及答案
(满分150分,120钟完成) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若a,b为实数,则a>b>0是 a 2

? b 2 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.(2005 全国卷 II 文第 6 题) x2 y 2 双曲线 ? ? 1 的渐近线方程是( 4 9 2 4 (A) y ? ? x (B) y ? ? x 3 9

)
3 (C) y ? ? x 2 9 (D) y ? ? x 4

3..以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是( ) A. x2 ? y 2 ? 5 B x 2 ? y 2 =25 C. x 2 ? y 2 =4 D. x 2 ? y 2 =16
)

4..(2005 江苏卷第 6 题) 2 抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是(

17 (A) 16

(B)

15 16

7 (C) 8

(D)0

5.. 设a,b,c分别是△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C所对边的边长, 则直线sinA· x+ay+c =0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是( A.平行 C.垂直 B.重合 D.相交但不垂直 )

6.(2005 全国卷 III 理第 10 题,文第 10 题) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) (A)

2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

7.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足 f(1-x)=f(1+x),则 f(2x)与 f(3x)的大

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小关系是(

) B.f(3x)<f(2x) D.f(3x)≤f(2x)

A.f(3x)>f(2x) C.f(3x)≥f(2x)

8.已知集合 M ? ?( x, y ) y ? k ( x ? 1) ? 1, x, y ? R? ,集合
N ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, x, y ? R 那么 M

?

?

N 中(



A.不可能有两个元素 C.不可能只有一个元素
9.(2005 江苏卷第 11 题) 点 P(-3,1)在椭圆

B.至多有一个元素 D.必含无数个元素

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的光线, a 2 b2
) (D)

经直线 y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( (A)

3 3

(B)

1 3

(C)

2 2

1 2

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) .若方程 1 ? (2 ? kx) ? ? ? x2 ? 4 x ? 3 有 解,则 k 的取值范围是(
? 4? A. ?0, ? ? 3?


? 1? C﹒ ?0, ? ? 3? ?1 4 ? D﹒ ? , ? ?3 3?

B﹒ ?0,1?

二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分.)
11.(2005 上海理第 5 题) 若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ( 10,0) ,则双曲线的方程是 __________。

12.若函数 f ( x) ?

x , ( x ? 1) 能用均值定理求最大值,则需要补 x ? 2(a ? 2) x ? 3a
2

充 a 的取值范围是

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?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知 ? 2 x ? y ? 0 则 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 15 的最大值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?

14.给出下列命题:①若 a ? b, n ? 2k ? 1,(k ? N ?) ,则 a n ? b n ;

②若ab≥0,
2 m?2

则 a ?b ? a ? b ; ③设A(m,m+1), B(2,m-1), 则直线AB的倾斜角 ? ? arctan

④如果曲线 C上的点的坐标 ( x, y ) 满足方程 F ( x, y) ? 0 ,则方程, F ( x, y) ? 0 的 曲线是C其中真命题的序号是 15.(2005 重庆卷文第 16 题) .

1? ? 1 ? ? 已知 A? ? ,0 ? ,B 是圆 F: ? x ? ? ? y 2 ? 4 (F 为圆心)上一动点,线段 AB 的 2? ? 2 ? ?
垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为_____________ 16.(2005 重庆卷理第 16 题)
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 ①菱形 ②有 3 条边相等的四边形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 (填写所有正确选项的序号). ③梯形

2

三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
(a ? 1) x 2 ? 2 ? x (其中 a ? 0) 17.(13 分)解不等式:解关于 x 的不等式: ax ? 1

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18、 (2005 广东卷第 17 题) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x2 上异于坐标原点O的两不同动点A、B满 足 AO ? BO (如图4所示) . (Ⅰ)求 ?AOB 得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

19. (12分)某人上午7:00时,乘摩托车以匀速V千米/时(4≤V≤20)从A港出 发到相距50千米的B港去,然后乘汽车以匀速W千米/时(30≤W≤100)自 B港向距300千米的C市驶去,要求在当天16:00时至21:00时这段时间到 达C市.设汽车所需要的时间为X小时,摩托车所需要的时间为Y小时. (1)作图表示满足上述条件的X,Y的范围; (2)如果已知所要的经费: p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) (元) ,那么V,W分别 是多少时所要的经费最少?此时需花费多少元?

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20.(2005 重庆卷文第 21 题,满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

21. ( 12 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) ,当 x ? [?1,1] 时,
| f ( x) |? 1 .

(1)求证: | b |? 1 ; (2)若 f (0) ? ?1, f (1) ? 1 ,求 f ( x) 的表达式.

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22.(2005 重庆卷理第 21 题,满分 12 分)
x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右 已知椭圆 C1 的方程为 4

顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

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参考答案
一、选择题:1—5 ACBBD 二、填空题:11﹒ x ?
2

6—10 DACAB 12﹒ a ?

y2 ?1 9

1 3

2 13. 26 14.① 15. x ?

4 2 y ? 1 16.②③ 3

⑤ 三、17.解解:

( x ? 1)( x ? 2) (a ? 1) x 2 ? 2 (a ? 1) x 2 ? 2 ?0? ?x? ?x?0? ax ? 1 ax ? 1 ax ? 1

1 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? ) ? 0 a
① 当 0 ? a ? 1 时 , 原不等式的解集为 (?? ,? ) ? (?1,2) ② 当 a ? 1 时 , 解集为 (??,?1) ? (?1,2) ③ 当 a ? 1 时 18. (2005 广东卷第 17 题) 原不等式的解集为

1 a

原不等式的

1 (?? ,?1) ? (? ,2) a

x ? x2 ? x? 1 ? ? 3 解: (I)设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 ?
∵OA⊥OB ∴ kOA ? kOB ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?1 ,……(2)

…(1)

2 2 又点 A,B 在抛物线上,有 y1 ? x1 , y 2 ? x2 ,代入(2)化简得 x1 x2 ? ?1

∴y?

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? [(x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? (3x) 2 ? ? 3x 2 ? 3 3 3 3 3 3
2 3
II )

2 所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3 x ?



S ?AOB

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ? | OA || OB |? ( x12 ? y12 )( x 2 ? y2 )? x12 x 2 ? x12 y 2 ? x2 y1 ? y12 y 2 2 2 2

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由(I)得

S ?AOB ?

1 6 1 1 1 6 6 x1 ? x2 ?2 ? 2 x16 ? x 2 ?2 ? 2 (?1) 6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2

6 6 当且仅当 x1 即 x1 ? ? x2 ? ?1 时,等号成立。 ? x2

所以△AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1; 19 . 解 : (1)依题意得: v?

50 300 ,w ? , 又 4 ? v ? 20,30 ? w ? 100 , 所 以 y x

5 25 3 ? x ? 10, ? y ? ,而 9 ? x ? y ? 14 ,所以满足条件的点的范围是图中阴影部分: 2 2
(2)

p ? 100 ? 3 ? (5 ? x) ? 2 ? (8 ? y),?3x ? 2 y ? 131 ? p 作

出 一 组 平 行 直 线 3x ? 2 y ? t ( t 为 参 数 ) ,由图可知,当直线

3x ? 2 y ? t 经过点 (10, 4) 时,其在 y 轴上截距最大,此时 p 有最小
值,即 x ? 10, y ? 4 当时, p 最小此时 v ? 12.5, w ? 30 , pmin ? 93 元

20. (2005 重庆卷文第 21 题,满分 12 分)
x2 y 2 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 a b
(a ? 0, b ? 0).

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

?1 ? 3k 2 ? 0, ? 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

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2 即k ?

1 且k 2 ? 1. 3

① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

xA ? xB ?

6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 于是 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②得

1 ? k 2 ? 1. 3

故 k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3

21. (1)由已知得 | f (?1) |?| a ? b ? c |? 1, | f (1) |?| a ? b ? c |? 1 ∴ | 2b |?| f (1) ? f (?1) |?| f (1) | ? | f (?1) |? 2 ∴ | b |? 1

b ? ?1 , 则 f ( x) 在 [ ?1,1] 为增函数, ∴ f (?1) ? f (0), f (0) ? ?1 ∴ | f (?1) |? 1 2a b ? 1 ,则 f ( x) 在 [ ?1,1] 为减函数,∴ f (1) ? f (0) 与已知矛 与 | f (?1) |? 1矛盾;若 ? 2a
(2) 若?

? ? f ( 0) ? ?1 ?? 2 ? b ? ? [?1,1] , 盾。 所以 ? 从而由 ? f (1) ? 1 解得 ?b ? 0 . 2a ?c ? ?1 ? b ? ?| f (? ) |? 1 2a ?
22.39. (2005 重庆卷理第 21 题,满分 12 分)

∴ f ( x) ? 2x ? 1
2

2 2 解: (Ⅰ) 设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 , 则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2得b 2 ? 1. 2 2 a b

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x2 ? y 2 ? 1. 故 C2 的方程为 3
(II)将 y ? kx ?

2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 4
1 k2 ? . 4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即
将y ? kx ? 2代入



x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3

由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得

?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 2 即 k ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.
6 2k ?9 , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 由OA ? OB ? 6得x A xB ? y A yB ? 6, 而 设A( x A , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? x A xB ? y A yB ? x A xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? ( k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? ( k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1


?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6, 即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 15 3 3k ? 1 3k ? 1

由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15
故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) (? ,? ) ( , ) ( ,1) 15 3 2 2 3 15

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