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2013年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题详细解析


2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 理科数学试题详细解析 一、选择题: 1.若复数 z ? 2i ? A.

2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( 1? i

)

2 B. 2 C. 3 D. 2 2 2. a?R, “ a ? 4 ” “直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 2 x ? y ? a ? 0 平行” 设 则 是 的(
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 3.设函数 f ( x ) ? 2 ,则下列结论中正确的是(
x

)

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1)

4.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和是 Sn ,若 ?am ? a1 ? ?am ?1 ( m?N*,且 m ? 2 ),则必定有 ( ) B. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,
开始

A. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 C. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 且 S m ?1 ? 0

5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( A. 4 C. 6 B. 5 D. 7

)

n=5,k=0 n 为偶数



否 n=3n+1

6 . 设 函 数 f ( x) ? log a x (0 ? a ? 1) 的 定 义 域 为

n?

1 [m, n](m ? n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 ,则实 3
数 a 的值为( A. )

n 2

k=k+1

1 4

B.

1 2 或 4 3

C.

2 3

D.

2 3 或 3 4

否 n =1? 是 输出 k 结束

7. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 4 3
)

交双曲线左支于 A, B 两点,则 BF2 ? AF2 的最小值为( A.

19 2

B. 11

C. 12

D. 16

8. 已知集合 A ? ( x, y ) x( x ? 1) ? y ( y ? 1) ? r , 集合 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 , A ? B , 若

?

?

?

?

则实数 r 可以取的一个值是( A.

) C. 2 D. 1 ?

2 ?1

B.

3

2 2

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 9 . 设 函 数 f ( x) ? ? 1 , 则 函 数 F ( x) ? xf ( x) ?1 的 零 点 的 个 数 为 ? f ( x ? 2), x ? [2, ??) ?2
( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

10.设等差数列 ?a n ? 满足:

sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ? 1 ,公差 sin(a4 ? a5 )

d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取
值范围是( A. ? ) B. ?

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6
5

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

D.

? 4? 3? ? ? 3 , 2 ? ? ?

二、填空题:

2 11.二项式 ? 1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? ? ? x?
偶数的个数是 (用数字回答).



12.从 0,1,2,3 中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中, y
(0,7)

13.无穷数列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 的首项是 1 ,随后两 项都是 2 ,接下来 3 项都是 3 ,再接下来 4 项都是 4 ,?,以 此 类 推 . 记 该 数 列 为 ?a n ? , 若 an ?1 ? 20 , an ? 21 , 则

? 3, 4 ?
? 3,3?
O

n?



?7 7? ? , ? ?2 2?

x ? 2y 14 . 若 正 数 x, y 满 足 2 x ? y ? 3 ? 0 , 则 的最小值 xy
为 . 15 . 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 a,b,c, 若

(7,0)

x

a 2 ? b2 ?

1 2 2 c .则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 x ? y 2 ? 9 所截得的弦长为 2



?y ? x ? 0 16.若整数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 7 ? 0 , .. ? ?x ? 0 ?
则 2x ? y 的最大值为 .

A

C

O
(第 17 题)

B

17.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? ,C 为弧 AB 上的一个动点.若 OC ? x OA? y OB ,则

??

??

??

x ? 3 y 的取值范围是
三、解答题:



18.(本题满分 14 分)设 f ( x) ? 6cos 2 x ? 3 sin 2 x( x ? R). . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,锐角 A 满足 f ( A) ? 3 ? 2 3 , B ? 求

?
12



a 的值. c

19.(本题满分 14 分)已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱 中只放有 2 个红球、 个白球与 1 个黑球(球除颜色外, 1 无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) .

20.(本题满分 14 分)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ?

1 ,其中 n? N*. 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ? 的通项公式 an ;

( Ⅱ ) 设 cn ?

4an , 数 列 ?cn cn ? 2 ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 是 否 存 在 正 整 数 m , 使 得 n ?1

Tn ?
由.

1 对于 n? N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理 cm cm ?1

21.(本题满分 15 分)已知椭圆 C:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点到直线 2 2 a b

l1 : 3 x ? 4 y ? 0 的距离为 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y ? k x m k m 0 )与椭圆 C 交于 A、B 两点,且线段 AB 中点恰好在 ? ( ? 直线 l1 上,求△OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).

3 5

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,设切点为 P(m, n) ,求实数 m 的 值; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x), 当

x ? x0 时,若

g ( x ) ? h( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? g ( x) 的“转点” a ? 8 .当 x ? x0

时,试问函数 y ? f ( x) 是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请 说明理由.

【参考答案】 1.B【解析】由题意,得: z ? 2i ?

2 2(1 ? i) ? 2i ? ? 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i)

复数 z 的模 z ? 12 ? (?1) 2 ? 2 2.C【解析】由题意, a ? 4 ? ? 1

?l : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 ? l1 // l2 ,即充分。 ?l2 : 2 x ? y ? 4 ? 0
x ?x

又 l1 / / l2 ? A1 B2? A2 B1 0 ? a ,注意到此时 l1 , l2 不重合,即必要。 ? ?4 3.D【解析】由题意, f ( x) ? 2 ? 2

? f (? x) ,即 f ( x) 为偶函数。

? f (? 1 ) f ( 1 ) ? ? 故 ? f (? 2 ) f ( 2 ) . 显然 x ? 0时,f ( x) ? 2 x 单调递增。 ? ? ? ? f (? 2 ) f ( 2 )
所以 f (? 1 )? f ( 1? f ? ) (

2? f )

( 2 f ? ( ?f ) ?) 2
?a1 +am ? 0 。 ?a1 ? am ?1 ? 0

(2)

4.C【解析】由题意,得: ? am ? a1 ? ? am ?1 ? ? 显然,易得 Sm ? 5.B【解析】由题意,得:

a1 ? am a ? am?1 ? m ? 0 , Sm?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 0 2 2

n?5, k ? 0 ? n ? 1 6 ,k ? 1 ?n?8, k ? 2 ?n?4, k ? 3 ?n?2, k ? 4 ? n ? 1 , k ? 5 终止 ?
当 n ? 2 时,执行最后一次循环; 当 n ? 1 时,循环终止,这是关键。输出 k ? 5 。 6.D【解析】由题意,分 n ? 1 或 m ? 1 两种情况:

2 ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递减 3 2 故 f ( m)? l oag m ? ? a ? 1 3 4 (2) m ? 1时, n ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递增 3 3 故 f ( n)? l oag n ? ? a ? 1 4
(1) n ? 1 时, m ?

7.B【解析】由题意,得:

? AF2 ? AF1 ? 2a ? 4 ? ? BF2 ? AF2 ? 8 ? AF1 ? BF1 ? 8 ? AB ? ? BF2 ? BF1 ? 2a ? 4 ? b2 显然,AB 最短即通径, AB min ? 2 ? ? 3 ,故 ? BF2 ? AF2 ?min ? 11 a ? 1 1 1? 8.A【解析】 A ? ?( x, y ) ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? r ? ? 、 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 2 2 2? ?

?

?

不难分析,A、B 分别表示两个圆,要满足 A ? B ,即两圆内切或内含。 故圆心距 O1 O2 ?

2 ,即: ? r1 ? r2 2

2 1 1 1 ? r ? r ? ? r2 ? 2? r ? r ? ? r ? ? 2 2 2 2

1 2

? 1 ? 1 1 ? r ? r ? 2 r ? ? 1 ? 0 r ? 2 r ? ? ? ? r ? ? 1 r2 . ? 1 0 ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ?
显然, r ?

1? 6 2

1? 6 ? 2 ,故只有(A)项满足。 2

9.C【解析】由题意, F ( x) ? xf ( x) ?1 的零点,即 f ( x)与 的交点。 易绘 x ? ( ? ? 2的函数图象,且 f ( 0 ) f ( 2? , ) ? ) 当 x ? [ 2 ,? ? 时, f (4) ? )

1 x

0 f,

1 3 ?1 ) f 1 , ? ( f ) ( 2 2

1 ?( ) 2

1 1 f (2) ? 0, f (6) ? f (4) ? 0, ? 2 2 依次类推,易得 f ( 4 ) f ( 6? f ( ? ) ? f n 2 ) 0 ? ) 8 ? ( ? 1 1 1 1 1 1 又 f (3) ? f (1) ? , 同理 f (5) ? f (3) ? , f (7) ? f (5) ? 2 2 2 4 2 8 不难绘出 x ? [ 2 ,? ? 的函数图象如右,显然零点共 6 个,其中左边 1 个,右边 5 )
个。 y

?1,1?
O

? 1? ? 3, ? ? 2?

? 1? ? 5, ? ? 4?

? 1? ? 7, ? ? 8?

(2, 0)

(4, 0)

(6, 0)

(8, 0)

x

10.B【解析】先化简:

= = =

2 (sin 2 a3 ? sin 2a 3sin 2 ) ? (cos a ? cos a2 cos a 2) 6 a 6 3 3 ?1 sin( a4 ? a5 )

(sin a3 cos a6 ) 2 ? (cos a3 sin a6 ) 2 ?1 sin( a4 ? a5 ) sin( a3 ? a6 ) sin( a3 ? a6 ) ?1 sin( a4 ? a5 )

? sin( a3 ? a6 ) ? 1? ? ?? d ? ? a3 ? a6 ? ?3d ? 6
又当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,即:

?a9 ? a1 ? 8d ? 0 4? 3? a9 ? 0, a10 ? 0 ? ? ? ? a1 ? 3 2 ?a10 ? a1 ? 9d ? 0
2 3 11. ?80 【解析】第四项 T4 ? C5 ? ? ? ? ? ?80 x ?3 ,系数为 ?80 ? ? ? x?
12. 10 【解析】考虑三位数“没 0”和“有 0”两种情况。 【1】没 0:2 必填个位, A2 种填法; 【2】有 0:0 填个位, A3 种填法;0 填十位,2 必填个位, A2 种填法; 所以,偶数的个数一共有 A2 + A3 + A2 =10 种填法。
2 2 1 2 1 2
3

13.

211











1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,?







?1? , ?2, 2? , ?3,3,3? , ?4, 4, 4, 4? , ?5,?? ,? 。
第 1组有 1 个数,第 2 组有 2 个数,以此类推... 显然 an ?1 ? 20 在第 20 组, an ? 21 在第 21 组。 易知,前 20 组共 所以, n ? 211 。 14. 3 【解析】由题意: 2 x ? y ? 3 ? 0 ?

(1 ? 20) ? 20 ? 210 个数. 2

2x y ? ?1, 3 3

x ? 2 y 2 1 ? 2 ? ? x2 y ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? xy x y ?x y? ? 3 3?

?2 x? y 5 2 5 ? ? ?? ? ?2? ? 3 3? x y? 3 3 3

15. 2 7 【解析】由题意:设弦长为 l 圆心到直线的距离 d ?

a?0 ?b?0 ? c a 2 ? b2

?

c 1 2 c 2

? 2

16. 10 【解析】由题意,绘出可行性区域如下: 设 z ? 2 x? y ,即求 y ? ? x ? z 的截距的最大值。 2 因为 x, y? Z,不妨找出 ? 7 , 7 ? 附近的“整点” 。 ? ?
?2 2?

有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时, z ? 10 最大. 17. ?1, 3? 【解析】方法(一) :特殊点代入法。 C 与 A 重合时, x ? 1, y ? 0 ,此时 x ? 3 y ? 1 ; C 与 B 重合时, x ? 0, y ? 1 ,此时 x ? 3 y ? 3 . 注意到,C 从 B 点运动至 A 点时,x 逐渐变大,y 逐渐变小。 显然,一开始 x 趋于 0,而 y 趋于 1 , 故 x ? 3 y 的范围受 y 的影响较大。 故猜想, x ? 3 y ? [1, 3] 方法(二) :设扇形的半径为 r 考虑到 C 为弧 AB 上的一个动点, OC ? x OA ? y OB . 显然 x, y ? [0,1]
? ? ? ?? ? ? ?? ? y O?B ? 2 ? x 2 ?r2 ? ? ? ? 2 2 2 消 r : y ? x ? y ? x ? 1 ? 0 ,显然 ? ?4 ?3 2 ?0 x 2 两边平方: ? O C? ? r ? ? x O A ? 2 2
??

??

??

x ? O ? O? B y A 2

? ?

? ?

2

y

r

得: y ?

? x ? 4 ? 3x 2 ( y ? 0) , 2 1 3 4 x2 ? 3 . x? 2 2

故 x ? 3y ? ?

1 3 4 x2 ? 3 x? x? [ 0 , 1] ) ( 2 2 1 9x f '( x) ? ? ? ? 0, 2 2 4 ? 3x 2 所以 f ( x) 在 x ? [ 0 , 1 ] 上单调递减, f ( 0 ) 3 ,f ( 1 ),得 f ( x )? [ 1 , 。] ? ? 1 3
不妨令 f ( x )? ? 18.【解析】 (I) f ( x) ? 2 3 cos(2 x ?

?
6

)?3

故 f (x) 的最大值为 2 3 ? 3 ,最小正周期为 T ? (II)由 f ( A) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos(2 A ? 故 cos(2 A ? 又由 0 ? A ? 再由 B ?

2? ?? . 2

x 6

) ? 3?3? 2 3,

n ) ? ?1 , 6

?

?
12

2

,解得 A ?

?C ?

?
2

5? 。 12



?

a ? ? ? ? s?A ? sin( ? ) ? c 4 6

6? 2 . 4

19.【解析】(I)由题意知 P ?

C 1 ? C rL xy 1 x ? ? 2 3 , ? ? ( ) ? 1. Cx 60 60 2 20

当且仅当 x ? y 时等号成立, 所以,当 P 取得最大值时 x ? y ? 3 . (II)当 x ? 2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球, 所以 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 则 P(? ? 0) ?
2 1 C 4 C1 1 , 2 1 ? C6 C4 5

P(? ? 1) ?

1 1 1 2 1 C2C4C2 ? C4 C2 7 ? , 2C1 C6 4 15

p(? ? 2) ?

2 1 1 1 1 C2 C2 ? C2C4C2 3 ? , 2 1 10 C6 C4

P(? ? 3) ?

1 C2 1 , 2C1 ? C6 4 30

所以红球个数 ? 的分布列为

于是 E? ?

7 . 6

20.【解析】 (I)证明

bn ?1 ? bn ?

2 2a n ?1 ? 1

?

2 2a n ? 1

?

2 ? 1 2?1 ? ? 4a n ? ? ? ?1 ? ?

?

2 2a n ? 1

?

4a n 2 ? ? 2, 2a n ? 1 2a n ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . 2n

(II) c n ?

4 ] ? 2 ?1 , cn cn?2 ? ? 2? ? ?, n?n ? 2? n ?n n? 2? ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? 3, 2 n ?1 n ? 2 ?

所以 Tn ? 2?1 ?

依题意要使 Tn ?

1 m(m ? 1) * 对于 n ? N 恒成立,只需 ? 3, c m c m ?1 4

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 .

c 1 ? , c ? 1, a 2 x2 y2 所以 a ? 2 ,所求椭圆方程为 ? ? 1. 4 3
21.【解析】 (I)由题意得 e ?

x2 y2 (II)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,把直线 l 2 : y ? kx ? m 代入椭圆方程 ? ? 1 得到 4 3
(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,

4m 2 ? 12 ? 8km 因此 x ? x ? , x1 x 2 ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2 1 2 2

? 4km 3m , 2 ), 2 4k ? 3 4k ? 3 ? 4km 3m 又 M 在直线 l1 上,得 3 ? ? 4? 2 ?0, 2 4k ? 3 4k ? 3 m ? 0. ? k ? 1, ?
所以 AB 中点 M ( 故 x1 ? x 2 ?

4m 2 ? 12 ? 8m , x1 x 2 ? , 7 7
2

所以 | AB |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 原点 O 到 AB 的距离为 d ?

4 6 7 ? m2 , 7


|m| 2

得到 S ?

2 3 2 3 m 2 ? (7 ? m 2 ) m 2 (7 ? m 2 ) ? ? ? 3, 7 7 2
2

当且仅当 m ?

7 取到等号,检验 ? ? 0 成立. 2
'

22.【解析】(I)当 a ? 1 时, f 当0 ? x ? 当

?x ? ? 2 x ? 3 ? 1 ? 2 x
x

2

? 3x ? 1 ( x ? 1)( 2 x ? 1) ? , x x

1 ' 时, f ?x ? ? 0 , 2

1 ? x ? 1 时 f ' ?x ? ? 0 , 2
'

当 x ? 1时 f ? x ? ? 0 . 所以当 x ? 1时, f ? x ? 取到极小值 ? 2 。 (II) f ( x) ? 2 x ?

?

1 ( x ? 0) , x
1 m 2 ? m ? ln m ? m m

所以切线的斜率 k ? 2m ? 1 ? 整理得 m ? ln m ? 1 ? 0 ,
2

显然 m ? 1 是这个方程的解, 又因为 y ? x ? ln x ? 1 在 (0,??) 上是增函数,
2

所以方程 x ? ln x ? 1 ? 0 有唯一实数解,故 m ? 1 .
2

(III)当 a ? 8 时,函数 y ? f (x) 在其图象上一点 P?x0 , f ?x0 ?? 处的切线方程为

h? x ? ? ( 2 x 0 ?

8 2 ? 10)( x ? x0 ) ? x0 ? 10 xo ? 8 ln x0 , k
' ' '

设 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,则 F ( x0 ) ? 0 , F ( x) ? f ( x) ? h ( x)

? (2 x ?

? 8 8 2 4? ? 10 ) ? (2 x0 ? ? 10 ) ? ( x ? x0 ).? x ? ? ? x x0 x x0 ? ? ?

若 0 ? x0 ? 2 , F (x) 在 ? x 0 , ?

? ?

4 x0

? ? 上单调递减, ? ?

所以当 x ? ? x 0 , ?

? ?

4 x0

? F ( x) ? 时 F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,此时 ? 0; ? x ? x0 ? ? 4 ? , x 0 ? 上单调递减, ? ? x0 ?

若 x0 ? 2 时, F (x) 在 ? ? 所以当 x ? ? ? 此时

? 4 ? , x0 ? 时, F ( x) ? F ?x0 ? ? 0 , ? ? x0 ?

F ( x) ? 0, x ? x0

所以 y ? f (x) 在 (2,??) 上不存在“转点”.

2 ( x ? 2) 2 ,即 F (x) 在 (0,??) 上是增函数, x 当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,
若 x0 ? 2 时 F ( x) ?
r

当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 , 即点 P?x0 , f ?x0 ?? 为“转点” , 故函数 y ? f (x) 存在“转点” ,且 2 是“转点”的横坐标.

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