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2.3.1直线和平面垂直判定第一课时


2.3.1 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定

a

b

思 考 ?

一条直线 与一个平面垂直 的意义是什么?
A

C C1

α

B
B1

(一)直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l和一个平面内的任意一条 直线都垂直,我们就说直线 l 和平面 α互相垂直.

记作l ⊥α
l叫做α的垂线,

α叫做 l的垂面,

l

l与α的交点P叫做垂足

α

P

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线 都垂直,则直线 l和平面 α互相垂直( 错误 )

2.b是平面α内任一直线,a⊥α,则a⊥b (性质定理)

容易发现,当且仅当折痕AD是BC边上的高 时,AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
A A

a
B D C

B

D

C

(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平 面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平 面α,你同意他的说法吗?

(2)折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即 AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论?

判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交

直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

m ?a? ? n ?a ? ? m ? n ? B? ? l ? a ? l?m ? l?n ? ?

l

m

n
B

α α

例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有一条

长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放
在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条 直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的
A

距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么?

a

C

B

D

解 : 如图, 旗杆PO ? 8m, 两绳长PA ? PB ? 10m OA ? OB ? 6m ? A, O, B三点不共线 ? A, O, B三点确定平面 a 又 ? PO ? OA ? PA , PO ? OB ? PB P ? OP ? OA, OP ? OB ? OA ? OB ? O ? OP ? a O B A
2 2 2 2 2 2

因此, 旗杆OP与地面垂直 .

a

练习题
2.如图, 在三棱锥V ? ABC中,VA ? VC , AB ? BC 求证VB ? AC
V

A

.

D

C

B

例2、求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面
a b

a

m ,

n

a ??

b

a ?a

?b ? a

证明 : 在平面a内作两条相交直线 , n. m 因为直线a ? a , 根据直线与平面垂直的 定义知 a ? m, a ? n 又因为b ? a, 所以b ? a 所以 b ? m, b ? n 又m ? a , n ? a , m, n是两条相交直线 ,

练习题
1.已知 : a ? ? = CD, EA ? a , EB ? ? . 求证 : CD ? AB .
E A

a

D

B

?

C

1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定与性质 m ?a ? ? n ?a ? ? (1) m ? n ? B ? ? l ? a l?m ? ? ? l?n ?
(2)a ? a , b ? a ? a ? a

a (3) ?? b , a ? a

?

b ?a

练习题
1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等,则这条直线和平面的位置关系是( C )

A.平行

B.相交

C.平行或相交

2、在空间,下列命题 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行; (2)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (3)平行于同一平面的两条直线互相平行; (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是( B) A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。

探究:
2.过?ABC 所在平面a外一点P, 作PO ? a , 垂足 为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA ? PB ? PC , ?C ? 90 , 则O是AB边的 __ 点.
0

2).若PA ? PB ? PC , 则O是?ABC 的 _____ 心. 3).若PA ? PB, PB ? PC , PC ? PA, 则O是?ABC 的 _____ 心.


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