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公开课2.3幂函数


例子:

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克, 那么她需要支付p= w 元,这里p是w的函数; (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面 a2 , 这里S是a的函数; 积为S= (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体 积为v = a3 , 这里V是a的函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么 这个正方形的边长a= S1/2 , 这里a是

S的函数;
(5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑 车的平均速度v= t-1 km/s,这里v是t的函数 .

以上问题中的函数具有什么共同特征? (1) y=x p=w (1)都是函数; (2) (3)
(4) (5)

上述问题中涉及的函数,都是形如 y ? x? 的函 数.

y=x S=a2 y=x33 V=a y=x1/2 a=S y=x -1 v=t -1

(2)均是以自变量为底的 幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1; (5)幂前的系数也为1.

一、幂函数定义:
一般地, 函数 y ? x 叫做幂函数, 其中 是自变量, 是常数. ? x 幂函数与指数函数的区别:
?

y? x
y ?a

?

自变量在底数位置;指数为常数. 自变量在指数位置;底数为常数.

x

练习1:
(1) y ?

下列哪些是幂函数?

1 x
2

(是)

(2)

y ? 2 x (不是)
3

(3)

(不是) (4) y ? x (不是) y? x ?x
2

x

(5) y ?

x (是)

(6)

y ? 1 (不是)

练习2: m 已知函数 f ( x ) ?1( m ? 1) x 数,则 f (2) ? 2 .
解:因为 f ( x ) ? ( m ? 1) x 数,所以 m ? 1 ? 1 解,得: m ? 2 ?1 ?   f ( x) ? x
?   f (2) ? 1 2

2

?4m ?3

是幂函
是幂函

m ?4m ?3

2

二、幂函数的图象和性质
首先研究幂函数 y ? x ,? 的图像.即
?

? 1, 2 , 3,

1 2

, ?1.

?1 ? y

? x
1

?2? y ?
?5? y ?

x
x

2

?3? y ?

x

3

?4? y ?

x

2

?1

函数y=x的图象和性质

定义域: R

8 7 6 5 4 3 2 1

y

y ? x

值 域: R

奇偶性: R 上 是 奇 函 数 在
在 单调性: R 上 是 增 函 数

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

x

函数y=x2的图象和 性质

定义域:

R

值 域: [0,+ ? )
在 奇偶性: R 上 是 偶 函 数

在 单调性: [0,+ ? )上 是 增 函 数

在 (- ? ,0]上 是 减 函 数

函数y=x-1的图象和性质

4 3 2

y
?1

y? x

定义域: { x | x ? 0} 值 域: { y | y ? 0}
-4 -3 -2 -1

1 o -1 1 2 3 4

x

在 奇偶性: {x|x ? 0}上 是 奇 函 数

-2
-3 -4

在 单调性: (0,+ ? )上 是 减 函 数
在 (- ? ,0)上 是 减 函 数

函数y=x3的图象和 性质
x

y 8 7 6

?

y? x

3

… -2 -1 0 1 2 … 5 4 3 … -8 -1 0 1 8 … y=x 3

定义域: R

2 1 -4 -3 -2 ? 2 3 4 5 6 7 8 x ? -1 o 1 ?-1 -2

值 域: R

-8 -7 -6 -5

在 奇偶性: R 上 是 奇 函 数

-3 -4
-5

单调性: R 上 是 增 函 数 在
?

-6 -7 -8

1

函数 y ? x 的图象和性质
2

4 3

y

1

X
1 2

0 1 2 3
3

4

y ? x2
?
? o ? ? ?

y? x 01 2

2

2 1

定义域:[0,+ ? )
值 域:[0,+ ? )
-4 -3 -2 -1

1

2

3

4

x

-1

非 奇偶性: 奇 非 偶 函 数

-2

在 单调性: [0,+ ? )上 是 增 函 数 -3
-4

y ? x

2

y

6

y ? x

3

y ? x
1

4

2

y ? x2
5

-10

-5

1 0 1
-2 -4

x y ? x
y=x3 y=x
1 2

?1

y=x
定义域 值 域 奇偶性 单调性

y=x2
-6

y=x-1

公共点

(1)函数在 (0,﹢∞) 上都有意义; R {x |x≠0} R R [0,﹢∞) ?1 3 (2)函数 y ? xR, ? [0,﹢∞)y {y |y≠0} , ? x 是奇函数, y x R [0,﹢∞) 2 函数 y ? x 是偶函数; 非奇 奇 偶 奇 奇 2 非偶 (0,﹢∞) 上,函数 y ? x, ? x , y (3)在区间 1 ?1 3 [0,﹢∞) (0,﹢∞) y ? x 和 y ? x ,y ? x 2 是增函数,函数 (﹣∞,0) (﹣∞,0) 是减函数; (1,1) (4)函数都过公共点(1,1).

? ?1 (1)函数在 (0,﹢∞) 上都有意义; y ? ?1 2 3 ?1 y y (2)函数 y ? x , ? x , ? x 是奇函数,函数 y ? x 是偶函数;

(3)在区间1 (0,﹢∞) 上,函数 y ? x ,y ? x , y ? x ?1 2 y ? x 是减函数; 和 y ? x 是增函数,函数
2

3

(4)函数都过公共点(1,1).

1

0 ?? ?1

幂函数

y ? x

?

? ?0

的一般性质: o 1

x

(1)当 ? 为奇数时,函数为奇函数,当 ? 为偶数时,函数为偶 函数; (2)在区间 (0,﹢∞)上都有意义, 当 ? ? 0时,函数在 (0,﹢∞)上单调递增, 当 ? ? 0时,函数在 (0,﹢∞)上单调递减; (图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近)

(3)过定点(1,1).

2

练习3:下列函数图象中,表示 y ? x 的是 ( D ) y y B A o x o x
3

y C

y x D o x

o

例1 证明幂函数f(x)= x 在[0, ﹢∞)上是增函数. 证明:任取x1,x2∈[0, ﹢∞),且x1<x2,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

x1 ?

x2

?
?

( x1 ?
x1 ? x 2 x1 ?

x 2 )( x1 ? x1 ? x2

x2 )

x2
x 在

因为 x1 ? x 2 ? 0 ,    x 1 ? x 2 ? 0 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ), 即幂函数 f ( x ) ?

[ 0 , ? ) 上是增函数.

三、性质的应用
例2 比较下列各组数的大小:
1 3 1 3

(1)

( ) ,( )
6 ,( )
2 5

1 2

2 3

(2)

?( ) , ?( )
3 4

?2 5 3 2

2 3

(3)

1 7

5 ?6

(1)

( ) ,( )
1 2

1 2

1 3

2 3

1 3
1

解:

∵幂函数 y ? x 3 在(0, ﹢∞)上单调递增,
且 ∴

? 2, 3
1 1

2 ( 1 )3 ? ( 3)3 2

(2)

?( ) , ?( )
3 4
5 2 ?2 3 2 ? (5) ,
2
2 3

?2 5 3 2

2 3

解:

∵ ( )

又∵幂函数 y ? x 3 在(0, ﹢∞)上单调递增,


∴ ∵

2 5

? ,
3 4
2 2 2 (5)3 ? (3)3 4

?( )

?2 5 3 2

? ?( 3 ) 4

2 3

(3)

6 ,( )

2 5

1 7

5 ?6

解:

∵ 又∵ ∵

( )
2 5

1 7

?

5 6

? 7
5 2
5 6

5 6

6 < 76       65 < 7  

6

2 5

? ( )
1 7

?

5 6

练习4.比较下列各组数的大小:
1 1

(1) 1.5 2 ,1.7 2
(3)

(2)
(4)
1

?8 , ?( )
1 9

?7 8
1 4

7 8

0 .7 , ( 3 )
1

?

2 ?

3 ,5
?7 8

1 2

?8 1 .5 2 ? 1 .7 2 ? 2 ? 0.7 (3) 当 ? ? 0时 ,   ? ( 3 ) (4)
(1)
(2)

解:

? ?( )
1 4

1 9

7 8

3 ?5

1 2

当 ? ? 0时 ,   ? ( ) 0.7

?

2 ? 3

课堂小结: (1)幂函数的定义 (2)幂函数的图象及性质

(3)幂值大小的比较方法

课后作业:

P79 习题2.3 第3题
补充作业:比较各组两数的大小.
(1) 3.14
1 2

,?

1 2

( (2)?  )

8 ?  5 7 6

, ?  ) (
5 4

8 7

7 1.4 (3) 8

( ) ,( )

4 1.5 7


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