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广东省深圳市2015届高三第二次调研考试数学(文)试卷 Word版含答


绝密★启用前

试卷类型:A

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否 正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、

姓 名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区, 请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答 案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答 案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.

2015.4

b? 参考公式: 用最小二乘法求线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a 的系数公式: $

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n


2

$ a ? y ?$ bx ,其中 x , y 是数据的平均数.
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 1 ? 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1 i

2.平面向量 a ? (1, ? 2) , b ? (?2 , n) ,若 a // b ,则 n 等于 A. 4 B. ? 4 C. ? 1 D. 2

x 3.已知集合 A ? x 1 ? x ? 0 , B ? x 2 ? 1 ,则 A I B ?

?

?

?

?

-1-

A. ? 4.命题 p : ?x0 ? 0 , x0 ? A . ?x ? 0 , x ?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. x x ? 0

?

?

D. x x ? 1

?

?

1 ? 2 ,则 ? p 为 x0

1 1 ?2 B . ?x ? 0 , x ? ? 2 x x 1 1 C . ?x ? 0 , x ? ? 2 D. ?x ? 0 , x ? ? 2 x x ? , ? , ? ? // ? 5.已知直线 l ,平面 ,则下列能推出 的条件是
A. l ? ? , l // ? B. l // ? , l // ? C. ? ? ? , ? ? ? D. ? // ? , ? // ?

6.已知某路口最高限速 50km / h ,电子监控测得连续 6 辆汽车的速 度如图 1 的茎叶图(单位: km / h ) .若从中任取 2 辆, 则恰好有 1 辆汽车超速的概率为 A.

3 8

44 1 3 6
5 5 8
(图 1)

4 15

B.

2 5

C.

8 15

D.

3 5

7.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? 最小正值为 A.

π ) 的图象向右平移 ? 个单位,得到的图象关于原点对称,则 ? 的 3 π 3 5π 12 7π 12

π 6

B.

C.

D.

8.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 相切,则 此双曲线的离心率等于 A.

1 2

B. 2

C. 3

D. 2

9.如图 2 所示的程序框图的功能是求 2+ 2+ 2+ 2+ 2 的值,则框图中的①、②两处应 分别填写 A. i ? 5? , S ? 2 ? S B. i ? 5? , S ? 2 ? S C. i ? 5? , S ? 2 ? S D. i ? 5? , S ? 2 ? S ① 否 输出 S 结束 开始
S ? 2, i ? 1
i ? i ?1

② 是
(图 2)

+?) 10.定义在 [t, 上的函数 f ( x ) , g ( x) 单调递增, f (t ) ? g (t ) ? M ,若对任意 k ? M ,存

-2-

+?) 在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? k 成立,则称 g ( x) 是 f ( x) 在 [t, 上的“追逐函数”.已
知 f ( x) ? x2 , 下 列 四 个 函 数 : ① g ( x) ? x ; ② g ( x) ? ln x ? 1 ; ③ g ( x) ? 2 x ? 1 ; ④ g ( x) ? 2 ? A. 1 个

1 .其中是 f ( x) 在 [1 , +?) 上的“追逐函数”的有 x
B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为 必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答. 11.等差数列 {an } 中, a4 ? 4 ,则 2a1 ? a5 ? a9 ? .

?x ? 2 y ? 2 ? 12.若实数 x , y 满足 ? x ? 2 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 ?y ?1 ?



13.某几何体的三视图如图 3 所示,其中俯视图为半径为 2 的四分之一个圆弧,则该几何体的 体积为 .
2 2 主视图 2 2 左视图

俯视图 图3

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得 分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,已知直线 l : ?

俯视图

?x ? 1? s ( s 为参数)与曲 ?y ? 2 ? s

线C :?

?x ? t ? 3 ?y ? t
2

( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 AB ? _________.
B A

O 的两条 15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 、 AC 是⊙
切线,切点分别为 B 、 C .若 ?BAC ? 60? , BC ? 6 ,

?
C

O

O 的半径为 则⊙



(图 4)

-3-

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 sin(

1 π 11 ? A) ? , cos( π ? B) ? ? . 2 2 14

(1)求 sin A 与 B 的值; (2)若角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a ? 5 ,求 b , c 的值.

17. (本小题满分 12 分)

PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车
流量与 PM2.5 的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的 数据如下表: 时间 车流量 x (万辆) 周一 周二 周三 周四 周五

50 69

51
70

54 74

57 78

58 79

PM2.5 的浓度 y (微克/立方米)
y
80 78 76 74 72 70

(1)根据上表数据,请在下列坐标系中画出散点图;

x
O
50 52 54 56 58

(2)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a; (3)若周六同一时间段车流量是 25 万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此时

PM2.5 的浓度为多少(保留整数)?

-4-

18. (本小题满分 14 分) 如图 5, ?ABC 是边长为 4 的等边三角形, ?ABD 是等腰直角三角形, AD ? BD ,平 面 ABC ? 平面 ABD ,且 EC ? 平面 ABC , EC ? 2 . (1)证明: DE // 平面 ABC ; (2)证明: AD ? BE .
D
E

B

A
(图 5)

C

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? ?2 , an?1 ? 3Sn ? 2 ? 0 ( n ? N ).
*

(1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在整数对 (m, n) ,使得等式 an2 ? m ? an ? 4m ? 8 成立?若存在,请求出所有 满足条件的 (m, n) ;若不存在,请说明理由.

-5-

20. (本小题满分 14 分) 已知平面上的动点 P 与点 N ( 0,1) 连线的斜率为 k1 ,线段 PN 的中点与原点连线的斜率 为 k 2 , k 1k 2 ? ?

1 ( m ? 1 ),动点 P 的轨迹为 C . m2 (1)求曲线 C 的方程;

(2)恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆:①以曲线 C 的弦 AB 为直径; ②过点 N ;③直径 AB ? 2 NB .求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)求 a , b 的关系式; (2)若 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求出 a 的取值范围并证明 f ( (3)在(2)的条件下,判断 y ? f ( x) 零点的个数,并说明理由.

b 1 (a, b ? R) ,且对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( ) ? 0 . x x

a2 ) ? 0; 2

-6-

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 文科数学参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 D 2 A 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题 的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 16 . 12.

4 . 5

13. 8 ? 2 π

14. 2 .

15. 2 3 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤.
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 sin(

1 π 11 ? A) ? , cos( π ? B) ? ? . 2 2 14

(1)求 sin A 与 B 的值; (2)若角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a ? 5 ,求 b , c 的值. 解:(1) Q sin( ? A) ? cos A ,

π 2

? cos A ?

11 ,…………………………………………………………………………………2 分 14 又 Q 0 ? A ? π ,………………………………………………………………………………3 分

? sin A ?

5 3 .………………………………………………………………………………4 分 14

1 Q cos( π ? B ) ? ? cos B ? ? ,且 0 ? B ? π , 2 π ? B ? .………………………………………………………………………………………6 分 3 a b ? (2)法一:由正弦定理得 , sin A sin B
-7-

?b ?

a ? sin B ? 7 ,…………………………………………………………………………8 分 sin A
2 2 2 2

另由 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 49 ? 25 ? c ? 5c , 解得 c ? 8 或 c ? ?3 (舍去) ,………………………………………………………………11 分

? b ? 7 , c ? 8 .………………………………………………………………………………12 分
法二:由正弦定理得

a b ? , sin A sin B

?b ?

a ? sin B ? 7 ,…………………………………………………………………………8 分 sin A

又 Q cos C ? cos ?? ? A ? B ? ? ? cos( A ? B) ,

? sin A sin B ? cos A cos B ?

5 3 3 11 1 1 ? ? ? ? ,……………………10 分 14 2 14 2 7
1 ? 64 , 7

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos A 得 c 2 ? 25 ? 49 ? 2 ? 5 ? 7 ?

即 c ? 8 ,………………………………………………………………………………………11 分

? b ? 7 , c ? 8 .………………………………………………………………………………12 分
【说明】本题主要考查解三角形的基础知识,正、余弦定理,诱导公式,同角三角函数的基 本关系,两角和与差的余弦公式等知识,考查了考生运算求解的能力.

17. (本小题满分 12 分)

PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车
流量与 PM2.5 的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的 数据如下表: 时间 车流量 x (万辆) 周一 周二 周三 周四 周五

50

51

54

57

58

PM2.5 的浓度 y (微克/立方米)
y

69

70

74

78

79

(1)根据上表数据,请在下列坐标系中画出散点图;
80 78 76 74 72 70

x
O 50 -852 54 56 58

(2)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a; (3)若周六同一时间段的车流量是 25 万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此 时 PM2.5 的浓度为多少(保留整数)? 解: (1)散点图如下图所示. ………………………………………………………………2 分 y
80 78 76 74 72 70

? ? ?

?

?
50

x
52 54 56 58

O

(2) Q x ?
5

50 ? 51 ? 54 ? 57 ? 58 69 ? 70 ? 74 ? 78 ? 79 ? 54 , y ? ? 74 ,………6 分 5 5
i

? ( x ? x)( y ? y) ? 4 ? 5 ? 3? 4 ? 3? 4 ? 4 ? 5 ? 64 ,
i ?1 5 i

? ( x ? x)
i ?1 i
5

2

? (?4)2 ? (?3)2 ? 32 ? 42 ? 50 ,

$ b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

? ( x ? x)
i ?1 i

5

?

2

64 ? 1.28 , 50

$ a ? y ? bx ? 74 ?1.28? 54 ? 4.88 , …………………………………………………9 分
? ? 1.28 x ? 4.88 .…………………………………10 分 故 y 关于 x 的线性回归方程是: y
(3)当 x ? 25 时, y ? 1.28 ? 25 ? 4.88 ? 36.88 ? 37 所以可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37 .…………………………………………12 分 【说明】本题主要考查了线性回归分析的方法,包括散点图,用最小二乘法求参数,以及用 回归方程进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力.

-9-

18. (本小题满分 14 分) 如图, ?ABC 是边长为 4 的等边三角形, ?ABD 是等腰直角三角形, AD ? BD ,平面

ABC ? 平面 ABD ,且 EC ? 平面 ABC , EC ? 2 .
(1)证明: DE // 平面 ABC ; (2)证明: AD ? BE .
D
E

B

A
(第 18 题图)

C

证明: (1)取 AB 的中点 O ,连结 DO 、 CO ,…………1 分

D
E

Q ?ABD 是等腰直角三角形, AD ? BD ,
1 ? DO ? AB , DO ? AB ? 2 ,………………2 分 2
又 Q 平面 ABD ? 平面 ABC ,平面 ABD I 平面 ABC ? AB ,
B

? DO ? 平面 ABC ,………………………………3 分
由已知得 EC ? 平面 ABC ,

O
A
C

? DO // EC ,…………………………………………………………………………………4 分
又 EC ? 2 ? DO ,

? 四边形 DOCE 为平行四边形,……………………………………………………………5 分 ? DE // OC ,…………………………………………………………………………………6 分
而 DE ? 平面 ABC , OC ? 平面 ABC ,

? DE // 平面 ABC .……………………………………………………………………………7 分
(2) Q O 为 AB 的中点, ?ABC 为等边三角形,

? OC ? AB ,…………………………………………………………………………………8 分
由(1)知 DO ? 平面 ABC ,而 OC ? 平面 ABC , 可得 DO ? OC ,………………………………………………………………………………9 分

Q DO I AB ? O ,
? OC ? 平面 ABD ,…………………………………………………………………………10 分
而 AD ? 平面 ABD ,

? OC ? AD ,………………………………………………………………………………11 分

- 10 -

又 Q DE / / OC ,

? DE ? AD ,………………………………………………………………………………12 分
而 BD ? AD , DE I BD ? D ,

? AD ? 平面 BDE ,…………………………………………………………………………13 分
又 BE ? 平面 BDE ,

? AD ? BE .…………………………………………………………………………………14 分
【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推 理能力.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? ?2 , an?1 ? 3Sn ? 2 ? 0 ( n ? N ).
*

(1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在整数对 (m, n) ,使得等式 an2 ? m ? an ? 4m ? 8 成立?若存在,请求出所有 满足条件的 (m, n) ;若不存在,请说明理由. 解: (1)当 n ? 1 得 a2 ? 3S1 ? 2 ? 0 ,解得 a2 ? 4 ,………………………………………1 分 当 n ? 2 得 a3 ? 3S2 ? 2 ? 0 , S2 ? a1 ? a2 ? 2 , 解得 a3 ? ?8 ,…………………………………………………………………………………3 分 (2)当 n ? 2 时, (an?1 ? an ) ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 0 , 即 (an?1 ? an ) ? 3an ? 0 , an?1 ? ?2an ( n ? 2 ) ,…………………………………………4 分 另由 a2 ? ?2a1 得 an?1 ? ?2an , 所以数列 ?an ? 是首项为 ?2 ,公比为 ?2 的等比数列,……………………………………5 分

? an ? (?2)n .…………………………………………………………………………………6 分
(2)把 an ? (?2) 代入 an ? m ? an ? 4m ? 8 中得 (?2)
n 2
2n

? m ? (?2)n ? 4m ? 8 ,

- 11 -

即m ?

(?2) 2 n ? 8 ,……………………………………………………………………………7 分 (?2) n ? 4 (?2)2 n ? 16 ? 8 8 ,…………………………………………8 分 ? (?2)n ? 4 ? n (?2) ? 4 (?2)n ? 4
8 是整数, (?2)n ? 4

?m ?

要使 m 是整数,则须有

?(?2)n ? 4 能被 8 整除,……………………………………………………………………9 分
当 n ? 1 时, (?2)n ? 4 ? 2 ,

8 ? 4 ,此时 m ? ?2 ,……………………………10 分 (?2) n ? 4 8 ? 1 ,此时 m ? 1 ,………………………………11 分 (?2)n ? 4 8 ? ?2 ,此时 m ? ?14 ,………………………12 分 (?2)n ? 4

当 n ? 2 时, (?2)n ? 4 ? 8 ,

当 n ? 3 时, (?2)n ? 4 ? ?4 ,

n 当 n ? 4 , (?2) ? 4 ? 20 ,

8 不可能是整数,…………………………………13 分 (?2)n ? 4

综上所求,所求满足条件的整数对有 (?2,1) , (1, 2) , (?14,3) .………………………14 分 【说明】本题主要考查等比数列的定义,会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公 式,考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力. 20. (本小题满分 14 分) 已知平面上的动点 P 与点 N ( 0,1) 连线的斜率为 k1 ,线段 PN 的中点与原点连线的斜率 为 k 2 , k 1k 2 ? ?

1 ( m ? 1 ),动点 P 的轨迹为 C . m2 (1)求曲线 C 的方程;

(2)恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆:①以曲线 C 的弦 AB 为直径; ②过点 N ;③直径 AB ? 2 NB .求 m 的取值范围. 解: (1)设 P ( x , y ) ,记 PN 的中点为 M ,所以 M ( ,

x y ?1 ). 2 2

y ?1 y ?1 由题意 k 1 ? (x ? 0) ,k2 ? 2 (x ? 0) , x x 2

- 12 -

1 由 k 1k 2 ? ? 2 可得: m

? y ? 1? ? ? ?

y ?1 ? ? ? 2 ? ? ? 1 (x ? 0) , 2 x m x? 2

化简整理可得:

x2 ? y2 ? 1 ( x ? 0 ) , m2 x2 ? y2 ? 1 ( x ? 0 ) .……………………………………………6 分 m2

曲线 C 的方程为

(2)由题意 N ? 0,1 ? , 若存在以曲线 C 的弦 AB 为直径的圆过点 N ,则有 NA ? NB , 所以直线 NA 、 NB 的斜率都存在且不为 0 , 设直线 NA 的斜率为 k (不妨设 k ? 0 ) , 所以直线 NA 的方程为 y ? kx ? 1 ,直线 NB 的方程为 y ? ?

1 x ? 1, k

? y ? kx ? 1 ? 将直线 NA 和曲线 C 的方程联立,得 ? x 2 , 2 ? 2 ? y ?1 ?m
2 2 2 2 消 y 整理可得 1 ? m k x ? 2m kx ? 0 ,

?

?

解得 x A ? ?

2m2 k 2m 2 k 2 ,所以 , NA ? 1 ? k ? 1 ? m2 k 2 1 ? m2 k 2

2m 2 k 1 2m 2 1 2 ? 1 ? k ? 以 ? 替换 k ,可得 NB ? 1 ? 2 ? , k m2 k k 2 ? m2 1? 2 k
又因为 AB ? 2 NB ,即有 NA ?
2

AB ? NB ? NB ,

2

2

2m2 所以 1 ? k ? , ? 1? k ? 2 1 ? m2 k 2 k ? m2
2

2m2 k

所以 k ? m k ? 1 ? m k ,
3 2 2 2

即 ? k ? 1? ? k ? 1 ? m

?

2

?

2

? k ? 1? ? ? 0,

- 13 -

(1)当 m ? 3 时, ? k ? 1? ? k ? 1 ? m

?

2

?

2

? k ? 1? ? ? ? k ? 1?
?
3

3

? 0 ,解得 k ? 1 ;

2 2 2 (2)当 1 ? m ? 3 时,方程 k ? 1 ? m k ? 1 ? 0 有 ? ? 1 ? m

?

?

?

2

?4?0,

所以方程 ? k ? 1? ? k ? 1 ? m

?

2

?

2

? k ? 1? ? ? ? k ? 1?
?

? 0 有唯一解 k ? 1 ;

2 2 2 (3)当 m ? 3 时,方程 k ? 1 ? m k ? 1 ? 0 有 ? ? 1 ? m

?

?

?

2

?4?0, ?
3

2 2 2 2 且 1 ? 1 ? m ? 1 ? 1 ? 0 ,所以方程 ? k ? 1? ? k ? 1 ? m k ? 1? ? ? k ? 1? ? 0 有三个不等

?

?

?

?

?

的根. 综上,当 1 ? m ? 3 时,恰有一个圆符合题意.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

b 1 (a, b ? R) ,且对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( ) ? 0 . x x

(1)用含 a 的表达式表示 b ; (2) 若 f ( x) 存在两个极值点 x1 ,x2 , 且 x1 ? x2 , 求出 a 的取值范围, 并证明 f ( (3)在(2)的条件下,判断 y ? f ( x) 零点的个数,并说明理由. 解: (1)法一:根据题意:令 x ? 1 ,可得 f (1) ? f ( ) ? 0 , ∴ f (1) ? ?a ? b ? 0 ,…………………………………………………………………………1 分 经验证,可得当 a ? b 时,对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( ) ? 0 , ∴ b ? a .………………………………………………………………………………………2 分 法二: Q f ( x) ? f ( ) ? ln x ? ax ?

a2 ) ? 0; 2

1 1

1 x

1 x

b a ? ln x ? ? bx x x

? ?ax ?

b a ? ? bx , x x

1 ? (b ? a )( x ? ) ? 0 ,………………………………………………1 分 x
∴要使上式对任意 x ? 0 恒成立,则须有 b ? a ? 0 ,即 b ? a .……………………………2 分 (2)由(1)可知 f ( x ) ? ln x ? ax ?

a ,且 x ? 0 , x

? f '( x) ?

1 a ?ax 2 ? x ? a ,………………………………………………………3 分 ?a? 2 ? x x x2
- 14 -

令 g ( x) ? ?ax2 ? x ? a , 要使 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,则须有 y ? g ( x) 有两个不相等的正数根,

?a ? 0 ?a ? 0 ?1 ?1 ? ? 1 ? ?0 ? ?0 或 ? 2a ,解得 0 ? a ? 或无解,………………………5 分 ? ? 2a 2 ? ? ? 1 ? 4a 2 ? 0 ? ? ? 1 ? 4a 2 ? 0 ? ? ? ? ? g (0) ? ? a ? 0 ? g (0) ? ? a ? 0
2 1 ? a 的取值范围 0 ? a ? ,可得 0 ? a ? 1 ,

2

2

8

由题意知 f (

a2 a2 a3 2 2 a3 ) ? ln ? ? ? 2 ln a ? ? ? ln 2 , 2 2 2 a a 2 2 x3 2 2 3x 2 ?3x 4 ? 4 x ? 4 , ? ? ln 2 ,则 h '( x) ? ? 2 ? ? x 2 x x 2 2x2

令 h( x) ? 2 ln x ? 而当 x ? (0,

1 ) 时, ?3x4 ? 4x ? 4 ? ?3x4 ? 4(1 ? x) ? 0 ,即 h '( x) ? 0 , 2

? h( x) 在 (0,

1 ) 上单调递减, 2
1 63 ? ln 2 ? ? 3ln e ? 0 , 16 16

∴ h( x) ? h( ) ? ?2 ln 2 ? 4 ? 即0 ? a ?

1 2

1 a2 时, f ( ) ? 0 .……………………………………………………………7 分 2 2
1 a ?ax 2 ? x ? a , g ( x) ? ?ax2 ? x ? a , ?a? 2 ? 2 x x x

(3)∵ f '( x) ?

1 ? 1 ? 4a 2 , 1 ? 1 ? 4a 2 ,由(2)知 0 ? a ? 1 时, y ? g ( x) 令 f ' ( x) ? 0 得: x1 ? x2 ? 2a 2a
2
的对称轴 x ?

1 ? (1, ?? ) , ? ? 1 ? 4a2 ? 0 , g (0) ? ?a ? 0 , 2a

∴ x2 ? 1 ,又 x1 x2 ? 1 ,可得 x1 ? 1 , 此时, f ( x) 在 (0, x1 ) 上单调递减, ( x1 , x2 ) 上单调递增, ( x2 , ? ?) 上单调递减, 所以 y ? f ( x) 最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10 分 又∵ f (1) ? 0 , ∴ f ( x ) 在 ( x1 , 1) 上递增,即 x ? [ x1 ,1) 时, f ( x) ? 0 恒成立, 根据(2)可知 f (

a2 a2 1 a2 a2 ) ? 0且0 ? ? 所以 ? ( x1 ,1) ,即 ? (0, x1 ) 2 2 8 2 2
- 15 -

∴ ?x0 ? (

a2 , x1 ) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,……………………………………………………12 分 2
1 1 ? 1 ,又 f ( ) ? ? f ( x0 ) ? 0, f (1) ? 0 , x0 x0

由 0 ? x0 ? x1 ? 1 ,得

∴ f ( x ) 恰有三个不同的零点: x0 , 1,

1 . x0

综上所述, y ? f ( x) 恰有三个不同的零点.………………………………………………14 分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点,二次方程 根的分布等知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、 化归与转化思想.

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