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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测:第九章 解析几何


第九章

章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5 2.(2010· 安徽)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+

1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 3.直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E、F 两点,则△ECF 的面积为 ( ) 3 3 3 5 A. B. C.2 5 D. 2 4 5 x2 2 4.(2011· 咸宁调研)已知抛物线 y =4x 的准线与双曲线 2 -y2=1 (a>0)交于 A、B 两点, a 点 F 为抛物线的焦点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 6 C.2 D.3 5.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 6.(2011· 福建)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 Γ 上存在点 P 满足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于( ) 1 3 2 A. 或 B. 或 2 2 2 3 1 2 3 C. 或 2 D. 或 2 3 2 5 x2 y2 7.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线 2 - 2=1 的 2 a b 离心率 e 等于( ) 3 15 13 A. B. C. 13 D. 2 2 3 8.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围 为( ) A.[- 3, 3] B.(- 3, 3) 3 3 3 3 C.?- , ? D.?- , ? ? 3 3? ? 3 3? x2 y2 9.(2011· 商丘模拟)设双曲线 2 - 2=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共 a b 点,则双曲线的离心率为( ) 5 5 A. B.5 C. D. 5 4 2 10.“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心,F 为左焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m km, 远地点 B 距离地面 n km, 地球的半径为 k km, 关于椭圆有以下三种说法: n-m ①焦距长为 n-m;②短轴长为 ?m+k??n+k?;③离心率 e= . m+n+2k 以上正确的说法有( ) A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ x2 y2 → → 11.设 F1、F2 是双曲线 2 - 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点,P 在双曲线上,若PF1· PF2=0, a b → → |PF1|· |PF2|=2ac (c 为半焦距),则双曲线的离心率为( )

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A.

x2 y2 12.(2010· 浙江)设 F1、F2 分别为双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线 a b 右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲 线的渐近线方程为( ) A.3x± 4y=0 B.3x± 5y=0 C.4x± 3y=0 D.5x± 4y=0 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2011· 安庆模拟)若一个圆的圆心在抛物线 y2=4x 的焦点处,且此圆与直线 3x+4y +7=0 相切,则这个圆的方程为________________. x2 y2 14. 过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线, 与椭圆的另一个交点为 M, a b 与 y 轴的交点为 B.若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. x2 y2 1 15.(2011· 江西)若椭圆 2 + 2=1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x2+y2=1 的切线, a b 2 切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. x2 y2 16.若方程 + =1 所表示的曲线 C,给出下列四个命题: 4-t t-1 ①若 C 为椭圆,则 1<t<4; ②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ③曲线 C 不可能是圆; 3 ④若 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上,则 1<t< . 2 其中正确的命题是________.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)

3-1 2

B.

3+1 2

C.2

D.

5+1 2

如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(-2,0),直角顶点 B(0,-2 2),顶点 C 在 x 轴 上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程.

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18.(12 分)已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A、B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值.

19.(12 分)(2011· 陕西)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投 4 影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5

20. (12 分)设直线 l: y=k(x+1) (k≠0)与椭圆 x2+3y2=a2 (a>0)相交于两个不同的点 A、 B,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.

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21.(12 分)(2011· 福建)已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程. (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明 理由.

x2 y2 22.(12 分)(2011· 山东)已知动直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两不 3 2 6 同点,且△OPQ 的面积 S△OPQ= ,其中 O 为坐标原点. 2 2 2 2 (1)证明:x1 +x2 和 y + y 均为定值. 2 1 2 (2)设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|· |PQ|的最大值. 6 (3)椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= ?若存在,判断 2 △DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

第九章

章末检测

1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.A [由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,可设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,若圆锥 c 1 曲线为椭圆,则 2a=6k,2c=3k,e= = . a 2 若圆锥曲线为双曲线, c 3 则 2a=4k-2k=2k,2c=3k,e= = .] a 2 7.D 8.C 9.D
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10.A 11.D

12.C 14. 6 3

13.(x-1)2+y2=4

x2 y2 15. + =1 5 4 解析 由题意可得切点 A(1,0). 1 n- 2 m 切点 B(m,n)满足 m-1=- n ,

? ? ?m +n =1,
2 2

3 4 解得 B( , ). 5 5

∴过切点 A,B 的直线方程为 2x+y-2=0. 令 y=0 得 x=1,即 c=1; 令 x=0 得 y=2,即 b=2. x2 y2 ∴a2=b2+c2=5,∴椭圆方程为 + =1. 5 4 16.② 17.解 (1)∵kAB=- 2,AB⊥BC,∴kCB= ∴lBC:y= 2 . 2

2 x-2 2. 2 故 BC 边所在的直线方程为 x- 2y-4=0.(3 分) (2)在上式中,令 y=0,得 C(4,0), ∴圆心 M(1,0).又∵|AM|=3, ∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9.(6 分) (3)∵圆 N 过点 P(-1,0), ∴PN 是该圆的半径.又∵动圆 N 与圆 M 内切, ∴|MN|=3-|PN|, 即|MN|+|PN|=3>2=|MP|.(8 分) ∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆. 3 5 ∴a= ,c=1,b= a2-c2= . 2 4 2 2 x y ∴轨迹方程为 + =1.(10 分) 9 5 4 4 18.解 设 A(x1,y1)、B(x2,y2). 2 ? ?y =-x, (1)由? 得 ky2+y-k=0,(2 分) ?y=k?x+1?, ? 2 ∴y1y2=-1.又-x1=y2 1,-x2=y2, ∴x1x2=(y1y2)2=1,∴x1x2+y1y2=0.(4 分) → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=0, ∴OA⊥OB.(6 分) (2)

1 如图,由(1)知 y1+y2=- , k
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y1y2=-1, ∴|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 1 = +4=2 10,(10 分) k2 1 1 ∴k2= ,∴k=± , 36 6 1 即所求 k 的值为± .(12 分) 6 19.解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP), x =x, ? ? P 由已知得? 5 yP= y, ? 4 ? ∵P 在圆上, 5 x2 y2 ∴x2+( y)2=25,即轨迹 C 的方程为 + =1.(6 分) 4 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 2 x2 ?x-3? + =1,即 x2-3x-8=0.(8 分) 25 25 3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= .(10 分) 2 2 ∴ 线段 AB 的长度为 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 41 .(12 分) 5 1 20.(1)证明 依题意,由 y=k(x+1),得 x= y-1. k 1 2 2 2 将 x= y-1 代入 x +3y =a , k 1 2 ? 2 2 消去 x,得? ?k2+3?y -ky+1-a =0.①(2 分) 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点, 1 4 2 ? 得 Δ= 2-4? ?k2+3?(1-a )>0, k 1 3k2 2 ?2 2+3 a >3,即 a > 整理得? .(5 分) ?k ? 1+3k2 2k (2)解 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由①得 y1+y2= , 1+3k2 -2k → → 由AC=2CB,C(-1,0),得 y1=-2y2,代入上式,得 y2= .(8 分) 1+3k2 1 于是,S△OAB= |OC|· |y1-y2| 2 3 3|k| 3|k| 3 = |y2|= ≤ = ,(10 分) 2 1+3k2 2 3|k| 2 3 其中,上式取等号的条件是 3k2=1,即 k=± , 3 -2k 3 由 y2= ,可得 y2=± , 3 1+3k2
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?1+

16 ??x -x ?2= 25 1 2

41 ×41 = 25

3 3 3 3 ,y2=- 及 k=- ,y2= 这两组值分别代入①,均可解出 a2=5,所以, 3 3 3 3 △OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是 x2+3y2=5.(12 分) 21.解 方法一 (1)依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1, 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2).(3 分) 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(6 分) (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m. ?y=-x-m, ? 由? 2 得 x2+4x+4m=0. ?x =4y ? Δ=42-4×4m=16(1-m). 当 m=1 时,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.(10 分) 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.(12 分) 方法二 (1)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2. 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m), 将 k= 4+m =r , ? ? ?m=2, 则?|2-0+m| 解得? (4 分) =r, ?r=2 2. ? 2 ? 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(6 分) (2)同方法一. 22.(1)证明 ①当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2=x1,y2=-y1. 因为 P(x1,y1)在椭圆上, x2 y2 1 1 因此 + =1.① 3 2 6 6 又因为 S△OPQ= ,所以|x1|· |y1|= .② 2 2 6 由①②得|x1|= ,|y1|=1, 2 2 2 2 此时 x2 1+x2=3,y1+y2=2. ②当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=kx+m, x2 y2 由题意知 m≠0,将其代入 + =1,得 3 2 2 2 2 (2+3k )x +6kmx+3(m -2)=0, 其中 Δ=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0, 即 3k2+2>m2.(*) 3?m2-2? 6km 又 x1+x2=- , 2,x1x2= 2+3k 2+3k2 所以|PQ|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 2 6 3k2+2-m2 = 1+k2· . 2+3k2 |m| 因为点 O 到直线 l 的距离为 d= , 1+k2
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2 2

1 所以 S△OPQ= |PQ|· d 2 2 6 3k2+2-m2 |m| 1 = 1+k2· · 2 2+3k2 1+k2 6|m| 3k2+2-m2 6 .又 S△OPQ= , 2 2+3k2 整理得 3k2+2=2m2,且符合(*)式,(2 分) 2 2 此时 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2 3?m2-2? 6km 2 =(- =3, 2) -2× 2+3k 2+3k2 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2, 3 3 3 2 2 2 综上所述,x2 1+x2=3,y1+y2=2,结论成立.(4 分) (2)解 方法一 ①当直线 l 的斜率不存在时, 6 由(1)知|OM|=|x1|= ,|PQ|=2|y1|=2, 2 6 因此|OM|· |PQ|= ×2= 6. 2 ②当直线 l 的斜率存在时,由(1)知: x1+x2 x1+x2 3k y1+y2 3k2 =- , =k( )+m=- +m 2 2m 2 2 2m -3k2+2m2 1 = = , 2m m x + x y1+y2 2 9k2 1 6m2-2 1 1 1 2 2 |OM|2=( ) +( ) = 2+ 2= = (3- 2). 2 2 4m m 4m2 2 m 24?3k2+2-m2? 2?2m2+1? 1 |PQ|2=(1+k2) = =2(2+ 2), m2 m ?2+3k2?2 1 1 1 所以|OM|2· |PQ|2= ×(3- 2)×2×(2+ 2) 2 m m ?3- 12+2+ 12?2 25 1 1 m?= . =(3- 2)(2+ 2)≤? m m m 4 ? 2 ? 5 1 1 所以|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 3- 2=2+ 2, 2 m m 即 m=± 2时,等号成立. 5 综合①②得|OM|· |PQ|的最大值为 .(8 分) 2 2 方法二 因为 4|OM|2+|PQ|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2+(x2-x1)2+(y2-y1)2=2[(x2 1 + x2 ) + 2 2 (y1+y2)]=10. 4|OM|2+|PQ|2 10 所以 2|OM|· |PQ|≤ = =5. 2 2 5 5 即|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 2|OM|=|PQ|= 5时等号成立.因此|OM|· |PQ|的最大值为 . 2 2 6 (3)解 椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= . 2 6 证明:假设存在 D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足 S△ODE=S△ODG=S△OEG= , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由(1)得 u2+x2 1=3,u +x2=3,x1+x2=3;v +y1=2,v +y2=2,y1+y2=2,(10 分) 3 2 2 2 2 解得 u2=x2 1=x2= ;v =y1=y2=1, 2 =

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6 因此 u,x1,x2 只能从± 中选取,v,y1,y2 只能从± 1 中选取. 2 6 因此 D,E,G 只能在(± ,± 1)这四点中选取三个不同点, 2 而这三点的两两连线中必有一条过原点, 6 与 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 矛盾, 2 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. (12 分)

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