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《不等关系与不等式》课件


一.生活中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第 一宇宙速度 ,且小于第二宇宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品 ------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩

问题:上面的不等关系是用什么不等词表示的? 请你举出生活中的一些不等关系的例子

r /> 二.用不等式(组)表示不等关系
(1)右图是限速40km/h的路标,指示司 机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v不超过40km/h . 0<v≤40

40

(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 宙速度(记作 1 ),且小于第二宇宙速度(记v2 ).

v

v

v1 ? v ? v2

(3)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含 量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.

? f ? 2 .5 % ? ? p ? 2 .3 %

思考一下什么是不等式?
我们用数学符号“≠”, “>”,“<”,“≥”,“≤”
连接两个数或代数式,以表示它 们之间的不等关系.含有这些不

等号的式子叫做不等式.

课堂练习1:用不等式表示下面的不等关系:
1.a与b的和是非负数;
a+b≥0

2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 4m” 0<h≤4 3.在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L 大于宽W的4倍.写出L与W的关系
5m 5m 5m

5m

?( L ? 10)(W ? 10) ? 350, ? L ? 4W ? ? ?L ? 0 ? ?W ? 0

问题1. 设点A与平面 ? 的距离为d,B为平面 ? 上的任意一点,则 d≤|AB|.
A

d B B

?

o

B

问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售, 可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢? 思考:(1)销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1
x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1

x ? 2.5 8? ? 0 .2 0 .1
(8 ? x ? 2.5 ? 0.2)x万 元 0.1

解:若杂志的定价为x元,则销售量减少:
x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1

x ? 2.5 因此,销售总收入为: (8 ? ? 0.2)x万 元 0.1

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 用不等式表示为: (8 ? 0.1

问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求, 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等 关系. (2)用不等式(组)表示上述不等关系. 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢 管y根。根据题意,应当有什么样的不等关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.

上面三个不等关系,是“且”的关系,要同 时满足的话,可以用下面的不等式组来表示:

?500x ? 600y ? 4000 ? 3x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? x,y ∈ N ? ?
考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N

课堂练习2

1.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系
1.分析:设个位数字为

?50 ? 10b ? a ? 60 ?a ? b ? 2 ? ? ?0 ? a ? 9 ? ?0 ? b ? 9 ?a ? N ? ? ? ?b ? N

a

, 十位数字为

b

,则

2. 2008年春节前夕,我国南方大部分地区遭受特 大雪冻天气.灾区学生小李家中经济发生困难,为帮 助小李解决开学费用问题,小李所在班级学生(小李 除外)决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币, 则多余84元;若每人承担10元,则不够;若每人承担 11元,又多出40元以上.若该班除小李外共有x人,这 笔开学费用共用y元,用不等式(组)表示上述不等关系. 分析:该班除小 李外共有x人, 这笔开学费用共 y元,则:

?12 x ? y ? 84 ?10 x ? y ? ? ?11x ? y ? 40 ? ?x ? N *

我们用数学符号“≠”,“>”,“<”, “≥”,“≤”连接两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式. 数轴上的任意两点中,右边点对应的 实数比左边点对应的实数大.
x A O B

在数轴上,如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B,则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种: (1)点A和点B重合; (2)点A在点B的右侧; (3)点A在点B的左侧. 在这三种位置关系中,有且仅有一种成立,由 此可得到结论: 对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立.

如果a-b是正数,则a>b;如果a>b, 则a-b为正数;
如果a-b是负数,则a<b;如果a<b, 则a-b为负数; 如果a-b等于零,则a=b;如果a=b, 则a-b等于零.

通常,“如果p,则q”为正确命题,则
简记为 p?q ,读作“p推出q”.

如果 p ? q且q ? p 都是正确的命题,记为

p ? q 读作“p等价于q或q等价于p”.
上述结论可以写成:

a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b

a ?b ? 0 ? a ? b

判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0

a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.

比较两个数(式)的大小的方法:
例1.比较x2-x与x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2

=(x-1)2+1, 因为(x-1)2≥0,
所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2.

作差,与零比较大小.

练习 1.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8) ? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0
∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

1 例3 设a ? 0, 且a ? 1, t ? 0.比较 loga t 2 t ?1 与 loga 的大小. 2 t ? 1 t ?1 ( t ? 1) 2 解: ? t? ?0 ? ? t , 2 2 2 1 t ?1 ?当a ? 1时, log a t ? log a ; 2 2 1 t ?1 当0 ? a ? 1时, log a t ? log a ; 2 2

b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 4 已知 a 、 a?m a

b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b 证明: ∵ ? ? a?m a (a ? m)a ab ? ma ? ab ? bm 若b>a,结论 ? 又会怎样呢? (a ? m)a m(a ? b) ? (a ? m)a

∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0
b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a

课堂练习: 1 在下列各题的横线中填入适当的不等号. < 6 ? 2 6; ⑴ ( 3 ? 2) 2 _____
⑵ ( 3 ? 2) 2 ____( < 6 ? 1) 2 ; 1 1 < ⑶ ______ ; 5?2 6? 5

> log 1 b. ⑷若0 ? a ? b , log 1 a ____
2 2

2. 比较

x 3 与 x 2 ? x ? 1 的大小.

解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1), ∵ x2+1>0, ∴ 当x>1时,x3>x2-x+1; 当x=1时,x3=x2-x+1,

当x<1时,x3<x2-x+1.

思考:当p,q都是正数且p+q=1时,试 比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小. 解:(px+qy)2-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p, 因此(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2,

因为p,q为正数,因此(px+qy)2≤px2+qy2. 当且仅当x=y时,不等式中等号成立.

1.不等关系是现实世界和日常 生活中客观存在的广泛的数量 关系,不等式是研究不等关系 的数学工具,用不等式或不等 式组表示实际问题中的不等关 系时,思维要严密、规范. 2.判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0

小 结

a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

? 知识上,本节课我们主要学习了如何将 实际问题中的不等关系表示成不等式. ? 方法上,用不等式(组)表示实际问题 中的不等关系时,(1)要先读懂题,设出 未知量(2)抓关键词,找到不等关系 (3)用不等式表示不等关系. 思维要严 密、规范.


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