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【步步高】届高三数学大一轮复习 函数的奇偶性与周期性学案 理 新人教A版


学案 6

函数的奇偶性与周期性

导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3. 会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.

自主梳理 1.函数奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有______________,则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数

f(x)定义域内任意一个 x,都有____________,则称 f(x)为偶函数. 2.奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=____; f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)-f(-x)=____. (2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于____轴对称; f(x)是奇函数?f(x)的图象关于_____ ___ 对称. (3) 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有 ________的单调性. 3.函数的周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= ________,则称 f(x)为________函数,其中 T 称作 f(x)的周期.若 T 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x)的________________. (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ )=f(x- ). 2 2 ②如果 T 是函数 y=f(x)的周期, 则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期, 即 f(x+kT) =f(x). ③若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0), 则 f(x)是以______为一个周期的周期函数. f? x? f? x? 自我检测 2 2 1. 已知函数 f(x)=(m-1)x +(m-2)x+(m -7m+12)为偶函数, 则 m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 4 2. (2011·茂名月考)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5, 那么 f(x) 在 区 间 [ - 7 , - 3] 上 是 ( ) A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 1 3 . 函 数 y = x - 的 图 象

T

T

x

(

) A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 4.(2009·江西改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 012)+f(2 011)的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D. 2
1

? x+1? ? x+a? 5.(2011·开封模拟)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________.

x

探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性. 1-x 1 1 (1)f(x)=(x+1) ;(2)f(x)=x( x + ); 1+x 2 -1 2 (3)f(x)=log2(x+ x
2

?x +x, x<0, ? +1);(4)f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. ?

2

变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性. 2 3 (1)f(x)=x -x ; 2 2 (2)f(x)= x -1+ 1-x ; 2 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3

探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 例 2 函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求 1 不等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2

变式迁移 2 (2011·承德模拟)已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx- 2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为________. 探究点三 函数性质的综合应用 例 3 (2009·山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区 间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3, x4,则 x1+x2+x3+x4=________. 变式迁移 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 且 f(x)=f(2-x). 若 f(x)在区间[1,2] 上是减函数,则 f(x)( ) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

3

转化与化归思想的应用 例 (12 分)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1·x2) =f(x1)+f(x2).
2

(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的 取值范围. 【答题模板】 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0.[2 分] (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0.[4 分] 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.[6 分] (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3,[7 分] ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即 f((3x+1)(2x-6))≤f(64)[8 分] ∵f(x)为偶函数, ∴f(|(3x+1)(2x-6|)≤f(64).[10 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)的定义域为 D. ∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64.[11 分] 7 1 1 解上式,得 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}.[12 分] 3 3 3 【突破思维障碍】 在(3)中,通过变换已知条件,能变形出 f(g(x))≤f(a)的形式,但思维障碍在于 f(x) 在(0,+∞)上是增函数,g(x)是否大于 0 不可而知,这样就无法脱掉“f”,若能结合(2) 中 f(x) 是偶函数的结论,则有 f(g(x)) = f(|g(x)|) ,又若能注意到 f(x) 的定义域为 {x|x≠0},这才能有|g(x)|>0,从而得出 0<|g(x)|≤a,解之得 x 的范围. 【易错点剖析】 在(3)中,由 f(|(3x+1)·(2x-6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中,如果思维不缜密, 不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0},易出现 0≤|(3x+1)(2x-6)|≤64,导 致结果错误. 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:①定义域在数轴上关于原 点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; ②f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x) 是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时 需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f( -x)=±f(x) ?f(- x)±f(x) =0 ? f? -x? =±1(f(x)≠0). f? x? 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也真.利用这一性 质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性. 4.关于函数周期性常用的结论:对于函数 f(x),若有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- (a 为常数且 a≠0),则 f(x)的一个周期为 2a f? x? f? x?

(满分:75 分)
3

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 2 1.(2011·吉林模拟)已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的 值 为 ( ) 1 1 A.- B. 3 3 1 1 C. D.- 2 2 2.(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数 f(x)为偶函 f? x? 数 , 且 f(x) 在 区 间 ( - ∞ , 0) 上 是 增 函 数 , 若 f( - 3) = 0 , 则 <0 的 解 集 为

x

(

) A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞) 3.(2011·鞍山月考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=- 1

f? x?



1≤x≤2 时 , f(x) = x - 2 , 则 f(6.5) 等 于 ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 x 4.(2010·山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常 数 ) , 则 f( - 1) 等 于 ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 5.设函数 f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则 f(-1) 与 f(2) 大 小 关 系 是 ( ) A.f(-1)>f(2) B.f(-1)<f(2) C.f(-1)=f(2) D.无法确定 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 当 (

x-1,x>0, ? ? 6.(2010·辽宁部分重点中学 5 月联考)若函数 f(x)=?a, x=0, ? ?x+b,x<0

是奇函数,

则 a+b=________. 7. (2011·咸阳月考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若 f(x)满足 f(x+3)=f(x), 2m-3 且 f(1)>1,f(2)= ,则 m 的取值范围是________. m+1 8.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(2) =2,则 f(2 010)的值为________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011·汕头模拟)已知 f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且 f(x)在[0,3] 上是 x 的一次式,在[3,6]上是 x 的二次式,且当 3≤x≤6 时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,
4

求 f(x)的表达式.

10.(12 分)设函数 f(x)=x -2|x|-1(-3≤x≤3) (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域.

2

11.(14 分)(2011·舟山调研)已知函数 f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围.

2

a x

答案 自主梳理 1.f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测 1.B [因为 f(x)为偶函数,所以奇次项系数为 0,即 m-2=0,m=2.] 2.A [奇函数的图象关于原点对称,对称区间上有相同的单调性.] 3.A [由 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称.] 4.C [f(-2 012)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+ 1)=1.] 5.-1 解析 ∵f(-1)=0,∴f(1)=2(a+1)=0, ∴a=-1.代入检验 f(x)=

x2 ?1 是奇函数,故 a=-1. x

课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数奇偶性的方法. (1)定义法:用函数奇偶性的定义判断.(先看定义域是否关于原点对称). (2)图象法:f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)为奇函数;f(x)的图象关于 y 轴对称, 则 f(x)为偶函数. (3)基本函数法: 把 f(x)变形为 g(x)与 h(x)的和、 差、 积、 商的形式, 通过 g(x)与 h(x) 的奇偶性判定出 f(x)的奇偶性. 解 (1)定义域要求

1? x ≥0 且 x≠-1, 1? x

∴-1<x≤1,∴f(x)定义域不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). ∵f(-x)=-x (

1 2
?x

1 ? ) ?1 2
5

2x 1 2x 1 = ? ) x ( ? ) x x 2 1? 2 2 ?1 2 1 1 = x( x ? ) =f(x). 2 ?1 2
=-x ( ∴f(x)是偶函数. (3)函数定义域为 R. 2 ∵f(-x)=log2(-x+ x +1) 1 2 =log2 =-log2(x+ x +1) 2 x+ x +1 =-f(x), ∴f(x)是奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x). ∴对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有 f(-x)=-f(x). 故 f(x)为奇函数. 变式迁移 1 解 (1)由于 f(-1)=2,f(1)=0,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),从 而函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)= 0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
? ?4-x ≥0 (3)由? ?|x+3|≠3 ?
2

得,f(x)定义域为[-2,0)∪(0,2].

∴定义域关于原点对称, 2 2 4-x 4-x 又 f(x)= ,f(-x)=-

x

x

∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 例 2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式.解题的关键是利用 函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”. 在关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反. 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上单调递增, 且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2

? ?x? 则? ?x? ?

x- ? >0 x- ? <1
1 2

1 2

1 即 0<x(x- )<1, 2

1 1+ 17 1- 17 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4

6

? ?x? 1 若 f[x(x- )]<0=f(-1),则? 2 ? ?x?

x- ? <0 x- ? <-1
1 2

1 2

1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2 ∴原不等式的解集是 1 1+ 17 1- 17 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4 2 变式迁移 2 (-2, ) 3 解析 易知 f(x)在 R 上为单调递增函数,且 f(x)为奇函数,故 f(mx-2)+f(x)<0,等 价于 f(mx-2)<-f(x)=f(-x),此时应用 mx-2<-x,即 mx+x-2<0 对所有 m∈[-2,2] 恒成立,令 h(m)=mx+x-2, ? ?h? -2? <0 2 此时,只需? 即可,解得 x∈(-2, ). 3 ?h? 2? <0 ? 例 3 解题导引 解决此类抽象函数问题,根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性 质,画出函数的一部分简图,使抽象问题变得直观、形象,有利于问题的解决. -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x).因此, 函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0,由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数 是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0] 上也是增函数,如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2, x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12 +4=-8.

变式迁移 3 B [∵f(x)=f(2-x),∴f(x+1)=f(1-x). ∴x=1 为函数 f(x)的一条对称轴.

又 f(x+2)=f[2-(x+2)] =f(-x)=f(x), ∴2 是函数 f(x)的一个周期. 根据已知条件画出函数简图的一部分,如右图: 由图象可以看出,在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.] 课后练习区 1.B
?a-1=-2a ? [依题意得? ?b=0 ?

1 ? ?a= ,∴? 3 ? ?b=0



1 ∴a+b= .] 3
7

2.D

[由已知条件, 可得函数 f(x)的图象大致为右图, 故 +∞).] 3.D [由 f(x+2)=- 得 f(x+4)=- 1 1

f? x ? <0 的解集为(-3,0)∪(3, x

f? x?



=f(x), 那么 f(x)的周期是 4, 得 f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) f? x+2? 是偶函数,则 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而 1≤x≤2 时,f(x)=x-2, ∴f(1.5)=-0.5.由上知:f(6.5)=-0.5.] 0 4.D [因为奇函数 f(x)在 x=0 有定义,所以 f(0)=2 +2×0+b=b+1=0,b=-1. x ∴f(x)=2 +2x-1,f(1)=3, 从而 f(-1)=-f(1)=-3.] 5.A [由 y=f(x+1)是偶函数,得到 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,∴f(-1) =f(3). 又 f(x)在[1,+∞)上为单调增函数, ∴f(3)>f(2),即 f(-1)>f(2).] 6.1 解析 ∵f(x)是奇函数,且 x∈R,∴f(0)=0,即 a=0.又 f(-1)=-f(1),∴b-1= -(1-1)=0,即 b=1,因此 a+b=1. 2 7.-1<m< 3 解析 ∵f(x+3)=f(x),∴f(2)=f(-1+3)=f(-1). ∵f(x)为奇函数,且 f(1)>1, 2m-3 ∴f(-1)=-f(1)<-1,∴ <-1. m+1 2 解得:-1<m< . 3 8.2 解析 由 g(x)=f(x-1),得 g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)为 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x), ∴f(-x-1)=-f(x-1), 即 f(x-1)=-f(-x-1), 用 x+1 替换 x,得 f(x)=-f(-x-2). 又 f(x)是 R 上的偶函数,∴f(x)=-f(x+2). ∴f(x)=f(x+4),即 f(x)的周期为 4. ∴f(2 010)=f(4×502+2)=f(2)=2. 2 9.解 由题意,当 3≤x≤6 时,设 f(x)=a(x-5) +3, 2 ∵f(6)=2,∴2=a(6-5) +3.∴a=-1. 2 ∴f(x)=-(x-5) +3(3≤x≤6).?????????????????????? (3 分) 2 ∴f(3)=-(3-5) +3=-1. 又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. ∴一次函数图象过(0,0),(3,-1)两点. 1 ∴f(x)=- x(0≤x≤3).?????????????????????????(6 3
8

分) 当-3≤x≤0 时,-x∈[0,3], 1 1 ∴f(-x)=- (-x)= x. 3 3 1 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=- x. 3 1 ∴f(x)=- x(-3≤x≤3).????????????????????????(9 3 分) 当-6≤x≤-3 时,3≤-x≤6, 2 2 ∴f(-x)=-(-x-5) +3=-(x+5) +3. 2 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=(x+5) -3. ∴ f(x) ? x+5? -3, -6≤x≤-3, ? ? 1 ?-3x -3<x<3,??????????????????????? ? ?-? x-5? +3, 3≤x≤6.
2 2 2



12分?

10.解 (1)f(-x)=(-x) -2|-x|-1 2 =x -2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x).∴f(x)是偶函数.????????????????????? (2 分) 2 2 (2)当 x≥0 时,f(x)=x -2x-1=(x-1) -2, 2 2 当 x<0 时,f(x)=x +2x-1=(x+1) -2,
? ?? 即 f(x)=? ?? ?

x-1? x+1?

2 2

-2, x≥0,

-2, x<0. 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如下图.

??????????????(6 分) (3)由(2)中函数图象可知, 函数 f(x)的单调区间为[-3, -1], [-1,0], [0,1], [1,3]. f(x)在区间[-3, -1]和[0,1]上为减函数, 在[-1,0], [1,3]上为增函数. ????? (8 分) 2 (4)当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2; 2 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2; 故函数 f(x)的值域为[-2,2].??????????????????????? (12 分) 2 11.解 (1)当 a=0 时,f(x)=x 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 2 2 有 f(-x)=(-x) =x =f(x), ∴f(x)为偶函数.???????????????????????????? (2 分) 当 a≠0 时,f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R), 若 x=±1 时,则 f(-1)+f(1)=2≠0; ∴f(-1)≠-f(1),又 f(-1)≠f(1) ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.?????????????????(6
9
2

a x

分) 综上所述,当 a=0 时,f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数.?????????????????????(7 分) (2)设 2≤x1<x2,

a a 2 f(x1)-f(x2)=x2 1+ -x2- x1 x2 x1-x2 = [x1x2(x1+x2)-a],????????????????????????(10 x1x2
分) 要使 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须使 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4,即 a<x1x2(x1+x2)恒成立.??????????????? (12 分) 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a 的取值范围为(-∞,16].??????????????????????(14 分)

10


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