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特征方程法求数列的通项公式


特征方程法求数列的通项公式
求数列通项公式的方法很多, 利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通 项公式的一种有效途径. 1.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ?
定义 1:方程 x ?

a ? an ? b * ......① 其中 c ? 0, ad ? bc, n ? N . c ? an ? d

ax

? b 为①的特征方程,该方程的根称为数列 ? an ? 的特征根,记为 ? , ? . cx ? d
an ?1 ? ? a ? c? an ? ? . ? ? an ?1 ? ? a ? c? an ? ?

定理 1:若 ? , ? ? a1 且 ? ? ? ,则 证明: x ?

ax ? b a?d b ? cx 2 ? (d ? a) x ? b ? 0 ? ? ? ? ? , ?? ? ? cx ? d c c

?d ? a ? (? ? ? ) c, b ? ? ?? c

aa n ? a ?? ca ? ? n ?1 ? n an ?1 ? ? a a n ? ca n ?
?

b ?? d ( a na? ) b? ?( c ? ) d ( ?a ? )cn ? a( ?? b )d n a ? ? b ) ?? ( c na ? ) d ( a ? ? c) n a ?( ? b? d) n ? b ?? ( aa d
) )

(a ? c? ) an ? ? [ ?? c ? a ( ? c? ? c? ?) ] a ? ( c? an ? ) a?c (? ? ? (a ? c? )an ? ? [ ?? c ? a ( ? c? ? c? ?) ] a ? ( c? an ? ) a?c (? ?
证毕

?

a ? c? an ? ? ? a ? c ? an ? ?

定理 2: 若 ? ? ? ? a1 且 a ? d ? 0 ,则 证明: ? d ? a ? 2? c, b ? ?? c
2

1 2c 1 ? ? . an ?1 ? ? a ? d an ? ?

?

can ? d can ? d 1 1 ? ? ? an ?1 ? ? aan ? b ? ? (aan ? b) ? ? (can ? d ) (a ? ? c)an ? b ? ? d can ? d

?

can ? a ? 2? c can ? a ? 2? c ca ? a ? 2? c ? ? n 2 2 (a ? ? c)an ? (? c ? a? ? 2? c) (a ? ? c)(an ? ? ) a ? d (a ? ? ) n 2

?

2can ? 2a ? 4? c 2can ? (a ? 2? c) ? d 2c(an ? ? ) ? (a ? d ) ? ? (a ? d )(an ? ? ) (a ? d )(an ? ? ) (a ? d )(an ? ? )

?

2c 1 ? a ? d an ? ?

证毕

例 1: (09· 江西· 理· 22) 各项均为正数的数列 ? an ? , a1 ? a, a2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的正数 m, n, p, q 都有 (1)当 a ? 解:由

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

1 4 , b ? 时,求通项 an ;(2)略. 2 5

a p ? aq am ? an a1 ? an a2 ? an ?1 ? 得 ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq ) (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an ?1 )

将a ?

2a ? 1 1 4 , b ? 代入上式化简得 an ? n ?1 an ?1 ? 2 2 5

考虑特征方程 x ?

2x ?1 得特征根 x ? ?1 x?2

2an ?1 ? 1 ?1 an ? 1 an ?1 ? 2 1 a ?1 ? ? ? n ?1 所以 2 a ? 1 an ? 1 n ?1 ? 1 3 an ?1 ? 1 an ?1 ? 2
所以数列 ?

? an ? 1 ? a1 ? 1 1 1 ? ? 为首项,公比为 的等比数列 ? 是以 a1 ? 1 3 3 ? an ? 1 ?
即 an ?



an ? 1 1 1 1 ? ? ? ( ) n ?1 ? ?( ) n an ? 1 3 3 3

3n ? 1 3n ? 1

例 2:已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, an ? 2 ? 解: 考虑特征方程 x ? 2 ?

1 , n ? N * ,求通项 an . an ?1

1 得特征根 x ? 1 x

a 1 1 1 1 ? ? ? n ?1 ? 1 ? an ? 1 (2 ? 1 ) ? 1 1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 an ?1
所以数列 ?

? 1 ? 1 ? 1 为首项,公差为 1 的等差数列 ? 是以 a1 ? 1 ? an ? 1 ?
即 an ?



1 ?n an ? 1

n ?1 n
其 中 c1 , c2 为 常 数 , 且

? c2 a 2. 已 知 数 列 ? an ? 满 足 an ? 2 ? c1 a n ? 1 n...... ②
c2 ? 0, n ? N * .

定义 2:方程 x ? c1 x ? c2 为②的特征方程,该方程的根称为数列 ? an ? 的特征根,记为 ?1 , ?2 .
2

定理 3:若 ?1 ? ?2 ,则 an ? b1?1 ? b2?2 ,其中 b1 , b2 常数,且满足 ?
n n

? a1 ? b1?1 ? b2 ?2 . 2 2 ? a2 ? b1?1 ? b2 ?2 ? a1 ? (b1 ? b2 )? . 2 ? a2 ? (b1 ? 2b2 )?

定理 4: 若 ?1 ? ?2 ? ? ,则 an ? (b1 ? b2 n)? ,其中 b1 , b2 常数,且满足 ?
n

例 3:已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2cos ? , an ? 2 ? 2cos ? an ?1 ? an ,求通项 an . 解: 考虑特征方程 x ? 2cos ? x ? 1 得特征根 ?1 ? cos ? ? i sin ? , ?2 ? cos ? ? i sin ?
2

则 an ? b1 (cos ? ? i sin ? ) ? b2 (cos ? ? i sin ? ) ? (b1 ? b2 ) cos n? ? i(b1 ? b2 )sin n?
n n

? b1 ? b2 ? 0 1 ? (b1 ? b2 ) cos ? ? i (b1 ? b2 ) sin ? ? sin n? ? ?? 其中 ? 1 ? an ? sin ? ?2 cos ? ? (b1 ? b2 ) cos 2? ? i(b1 ? b2 ) sin 2? ?i (b1 ? b2 ) ? sin ? ?
例 4:已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 8, an ? 2 ? 4an ?1 ? 4an ,求通项 an . 解: 考虑特征方程 x ? 4 x ? 4 得特征根 ? ? 2
2

则 an ? (b1 ? b2 n)2 其中 ?

n

? 2(b1 ? b2 ) ? 2 ?b ? 0 ?? 1 ? an ? n 2n ?4(b1 ? 2b2 ) ? 8 ?b2 ? 1


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