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(同步讲解)解读空间构成点线面


解读空间的构成―――点线面 空间点、线、面是学习立体几何基础,要求理解平面概念及画法。掌握四个公理,一个 定理内容,并理解点、线、面之间的关系。 一、基本概念探索 对于平面主要有三个特征: (1)平的; (2)没有大小,无限延展; (3)没有厚度。 掌握点――直线――平面间的相互关系,并会用文字――图形――符号语言正确表示。 特别警示:注意点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形

语言和符号语言之间关 系的转换,集合中“ ? ”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系, “ ? ”和“ ? ”的符 号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法 上仍用几何语言。 a ? ? (平面 ? 外的直线 a)表示 a ? ? ? ? 或 a ? ? ? A. 二、平面基本性质探究 平面的基本性质 1:①说明了平面与曲面的本质区别;②是判定直线是否在平面内的依 据;③也可用于验证一个面是否是平面。 平面的基本性质 2:①确定平面;②证明两个平面重合。 平面的基本性质 3: ①揭示了两个平面相交的主要特征; ②确定两相交平面的交线位置; ③判定点在直线上。 要点扫描: 1、空间两直线的位置关系: (1)相交――有且只有一个公共点; (2)平行――在同一 平面内,没有公共点; (3)异面――不在任何一个平面内,没有公共点。 2、直线和平面的位置关系: (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交 (有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点) 。 3、面与面的位置关系: (1)面与面平行; (2)面与面相交。 三、两条直线位置关系剖析 空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面,重点是平行直线、异面直线。 1、关于平行直线,有①公理 4:若 a//b,a//c,则 b//c;公理 4 可以理解为空间内直线 间的平行关系具有传递性。 ②等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且 方向相同,那么这两个角相等。 2、关于异面直线,要理解相关概念 (a)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 说明:①注意“任何”两字,若两条直线分别在平面 ? , ? 内,这两条直线不一定是异 面直线,这两条直线还可能共面;②异面直线既不相交也不平行。 (b)两条异面直线所成的角(或夹角) 已知两异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a' // a, b' // b ,则相交直线 a ' 与 b ' 所 成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(也称为夹角) 。 如果两条异面直线所成的角是直角, 就称这两条直线互相垂直, 两异面直线所成的角的 范围为 (0,

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说明: ①空间两条直线垂直 , 可能相交, 也可能异面; ②求异面直线所成角的关键是―― 平移直线,通过平移直线,把异面直线所成角问题转化为相交直线所成角问题,再构造可解 的三角形,在三角形中求出所求的角。③此外补形法也是常见求解方法。 四、方法技巧注意点 1、数学语言主要包括文字语言、符号语言和图形语言。文字语言比较生动,能将问题

所研究的对象明白地叙述出来;符号语言简洁严谨,可大大缩短文字语言表达的长度,有利 于推理计算;图形语言能直观形象地表达概念、定理的本质以及相互关系。在研究空间点、 直线、平面等相关知识时,会大量用到这三种数学语言,掌握好这三种语言的互译转化,是 学习立体几何的基本机能之一。 2、明确异面直线的永远不共面性: “不同在任何一个平面内” ,指这两条直线永不具备 确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行。澄清一个误解:不能把异面直线误 解为分别在不同平面内的两条直线。 3、据异面直线所成角的定义可知:求异面直线所成角总的原则是“异面化共面,认 定再计算” 。求异面直线所成角的步骤是:一作,二证,三计算。当异面直线所成角在几何 体的内部不易作出时,我们可以考虑把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、长 方体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 4、在平面几何中,往往把辅助线画成虚线,而在立体几何中则不然,凡是被平面遮住 的线都要画成虚线, 凡是没被遮住的线都要画成实线, 无论是图中固有的线还是后作的辅助 线。


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