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江苏省连云港市赣榆高中2016届高三(上)10月调研数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省连云港市赣榆高中高三(上)10 月调研数学试 卷

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上.) 1.函数 f(x)= sin( ﹣ ),x∈R 的最小正周期为 .

2.设集合 A={x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B 为函数 y=l

g(x﹣1)的定义域,则 A∩B=



3.若幂函数 y=f(x)的图象经过点(9, ),则 f(25)的值是



4.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则复数 z 的虚部为



5.设函数 f(x)=log2x,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的

条件.

6.已知函数 f(x)=

,则 f(f(1))=



7.甲、乙两个同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2,甲、乙下和棋的概率为 0.5,则甲不输的概率 为 .

8.函数 f(x) =2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<

)的部分图象如图所示, 则 f(0)的值是



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9.已知函数 y=log2(ax﹣1)在(1,2)单调递增,则 a 的取值范围为



10.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 上的动点,则 的最小值为 .

11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时,有 xf′(x)﹣f(x)<0 恒成立, 则不等式 x2f(x)>0 的解集是 .

12.设定义域为 R 的函数 有 7 个不同的实数根,则实数 m= .

若关于 x 的方程 f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0

13.对于正项数列{an},定义 值为 ,则数列{an}的通项公式为 .

为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”

14.已知 a,b∈R,a≠0,曲线 y= 则 a2+b2 的最小值为 .

,y=ax+2b+1,若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点,

二、解答题:(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内.) 15.已知函数 f(x)=sin( +x)sin( ﹣x)+ sinxcosx(x∈R).

(1)若 f(α)= ,且 α∈(﹣

,0),求 sin(2α)的值;

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(2)在△ ABC 中,若 f( )=1,求 sinB+sinC 的取值范围.

16.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明 BC1∥平面 A1CD (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三菱锥 C﹣A1DE 的体积.

17. C, D 是两个小区的所在地, C, D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA=1km, DB=2km, 如图所示, AB 两地之间的距离为 4km (1)如图一所示,某移动公司将在 AB 之间找一点 M,在 M 处建造一个信号塔,使得 M 对 C,D 的张角与 M 对 C,A 的张角相等,试确定点 M 到点 A 的距离; (2)如图二所示,某公交公司将在 AB 之间找一点 N,在 N 处建造一个公交站台,使得 N 对 C,D 两个小区的视角∠CND 最大,试确定点 N 到点 A 的距离.

18.已知椭圆 C: 为

+

=1(a>b>0)的一个焦点 F(

,0)其短轴上的一个端点到 F 的距离

(1)求椭圆 C 的;离心率及其标准方程 (2)点 P(x0,y0)是圆 G:x2+y2=4 上的动点,过点 P 作椭圆 C 的切线 l1,l2 交圆 G 于点 M,N, 求证:线段 MN 的长为定值.
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19.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表: a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9 … 已知表中的第一列数 a1,a2,a5,…构成一个等差数列,记为{bn},且 b2=4,b5=10.表中每一行正 中间一个数 a1,a3,a7,…构成数列{cn},其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2) 若上表中, 从第二行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 公比为同一个正数, 且 a13=1.①求 Sn;②记 M={n|(n+1)cn≥λ,n∈N*},若集合 M 的元素个数为 3,求实数 λ 的取值 范围.

20.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=ax2﹣x(a≠0). (1)若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象在公共点 P 处有相同的切线,求实数 a 的值并求点 P 的坐 标; (2)若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个不同的交点 M、N,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过线段 MN 的中点作 x 轴的垂线分别与 y=f(x)的图象和 y=g(x)的图象 交于 S、T 点,以 S 为切点作 y=f(x)的切线 l1,以 T 为切点作 y=g(x)的切线 l2,是否存在实数 a 使得 l1∥l2,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.

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2015-2016 学年江苏省连云港市赣榆高中高三(上)10 月调研 数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上.) 1.函数 f(x)= sin( ﹣ ),x∈R 的最小正周期为 4π .

【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的求值. 【分析】找出函数解析式中 ω 的值,代入周期公式即可求出最小正周期. 【解答】解:函数 f(x)= ∵ω= ,∴T=4π. 故答案为:4π 【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. sin( ﹣ ),

2.设集合 A={x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B 为函数 y=lg(x﹣1)的定义域,则 A∩B= (1,2] . 【考点】对数函数的定义域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由对数式的真数大于 0 求得 B,然后直接利用交集运算得答案. 【解答】解:由 x﹣1>0,得 x>1, ∴B=(1,+∞), 又 A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}=[﹣1,2], ∴A∩B=(1,2]. 故答案为:(1,2]. 【点评】本题考查交集及其运算,考查了函数定义域的求法,是基础题.

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3.若幂函数 y=f(x)的图象经过点(9, ),则 f(25)的值是 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 【专题】计算题;待定系数法.



【分析】设出幂函数 f(x)=xα,α 为常数,把点(9, )代入,求出待定系数 α 的值,得到幂函数 的解析式,进而可 求 f(25)的值. 【解答】解:∵幂函数 y=f(x)的图象经过点(9, ),设幂函数 f(x)=xα,α 为常数, ∴9α= ,∴α=﹣ ,故 f(x)= 故答案为: . 【点评】本题考查幂函数的定义,用待定系数法求函数的解析式,以及求函数值的方法. ,∴f(25)= = ,

4.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则复数 z 的虚部为 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】数系的扩充和复数.

﹣4 .

【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,则答案可求. 【解答】解:∵(3+4i)z=25, ∴z= = =3﹣4i.

∴复数 z 的虚部为﹣4. 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

5.设函数 f(x)=log2x,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的 必要非充分 条件. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据函数 f(x)=log2x,在 x∈(0,+∞)上单调递增.可得“a>b”?“f(a)>f(b)”,反 之不成立. 【解答】解:∵函数 f(x)=log2x,在 x∈(0,+∞)上单调递增. ∴“a>b”?“f(a)>f(b)”,而反之不成立.
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∴“a>b”是“f(a)>f(b)”的必要非充分条件. 故答案为:必要非充分. 【点评】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法,属于基础题.

6.已知函数 f(x)= 【考点】函数的值;分段函数的应用.

,则 f(f(1))=

0 .

【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由已知中函数 f(x)= ,将 x=1 代入可得:则 f(f(1))值.

【解答】解:∵函数 f(x)= ∴f(f(1))=f(﹣1)=0. 故答案为:0.



【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题.

7. 甲、 乙两个同学下棋, 若甲获胜的概率为 0.2, 甲、 乙下和棋的概率为 0.5, 则甲不输的概率为 0.7 . 【考点】互斥事件的概率加法公式. 【专题】概率与统计. 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出 【解答】解:∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件. ∴根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率 P=0.2+0.5=0.7. 故答案:0.7. 【点评】正确理解互斥事件及其概率加法公式是解题的关键

8.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<

)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是 ﹣



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【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题;图表型;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值,求出函数的周期 T= ω=2.由函数当 x= 时取得最大值 2,得到 +φ= =π,解得 .求得

+kπ(k∈Z),取 k=0 得到 φ=﹣

函数解析式,代入即可得到本题的答案. 【解答】解:∵在同一周期内,函数在 x= ∴函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= ﹣ = , 时取得最大值,x= 时取得最小值,

=π,解得 ω=2,

得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ), 又∵当 x= ∴2sin(2? ∵﹣ <φ< 时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z), . )= ﹣ .

,∴取 k=0,得 φ=﹣

∴可得 f(x)=2sin(2x﹣ 故答案为:﹣ .

),f(0)=2sin(﹣

【点评】本题给出 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图象与性 质、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识,属于基础题.

9.已知函数 y=log2(ax﹣1)在(1,2)单调递增,则 a 的取值范围为 [1,+∞) . 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意可得 a×1﹣1≥0,由此解得 a 的取值范围. 【解答】解:∵函数 y=log2(ax﹣1)在(1,2)上单调递增,∴a×1﹣1≥0,解得 a≥1,
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故 a 的取值范围为[1,+∞), 故答案为[1,+∞). 【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,对数函数的定义域,属于基础题.

10.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 上的动点,则 的最小值为 5﹣2 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. AD 分别为 x, y 轴, sinθ) 【分析】 首先以 A 为原点, 直线 AB, 建立平面直角坐标系, 可设 P (cosθ, , 从而可表示出 2 sin(θ+φ),从而可求出 的最小值. ,根据两角和的正弦公式即可得到 =5﹣

【解答】解:如图,以 A 为原点,边 AB,AD 所在直线为 x,y 轴建立平面直角坐标系,则:

A(0,0),C(2,2),D(0,2),设 P(cosθ,

sinθ); ∴ =(2﹣cosθ)(﹣cosθ)+(2﹣sinθ)2 =5﹣2(cosθ+2sinθ)= ∴sin(θ+φ)=1 时, sin(θ+φ),tanφ= ; 取最小值 .
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?(﹣cosθ,2﹣sinθ)

故答案为:5﹣2



【点评】考查建立平面直角坐标系,利用向量的坐标解决向量问题的方法,由点的坐标求向量坐标, 以及数量积的坐标运算,两角和的正弦公式.

11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时,有 xf′(x)﹣f(x)<0 恒成立, 则不等式 x2f(x)>0 的解集是 (﹣∞,﹣2)∪(0,2). . 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 【专题】导数的综合应用. 【分析】根据条件构造函数 g(x)= ,利用函数的单调性和导数之间的关系,判断函数 g(x)

的单调性,然后根据函数 f(x)的奇偶性判断函数 f(x)的取值情况,即可求得不等式的解集. 【解答】解:构造函数 g(x)= ,g′(x)= ,

因为当 x>0 时,有 xf′(x)﹣f(x)<0 恒成立,即 g′(x)= 所以在(0,+∞)内 g(x)单调递减.

<0 恒成立,

因为 f(2)=0,所以 f(x)在(0,2)内恒有 f(x)>0;在(2,+∞)内恒有 f(x)<0. 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以在(﹣∞,﹣2)内恒有 f(x)>0;在(﹣2,0)内恒有 f(x)<0. 又不等式 x2f(x)>0 的解集等价为不等式 f(x)>0 的解集. 所以不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,2). 故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(0,2). 【点评】本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系,同时考查了奇偶函数的图象特 征.构造函数是解决本题的关键.

12.设定义域为 R 的函数 +m2=0 有 7 个不同的实数根,则实数 m= 2 .

若关于 x 的方程 f2(x)﹣(2m+1)f(x)

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数与方程的综合运用. 【专题】压轴题;数形结合.
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【分析】题中原方程 f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0 有 7 个不同的实数根,即要求对应于 f(x)= 某个常数有 3 个不同实数解, 故先根据题意作出 f(x)的简图,由图可知,只有当 f(x)=4 时,它有三个根.故关于 x 的方程 f2 (x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0 有 7 个不同的实数根. 【解答】解:∵题中原方程 f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0 有 7 个不同的实数根, ∴即要求对应于 f(x)等于某个常数有 3 个不同实数解, ∴故先根据题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有当 f(x)=4 时,它有三个根. 故关于 x 的方程 f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0 有一个实数根 4. ∴42﹣4(2m+1)+m2=0, ∴m=2,或 m=6, m=6 时,方程 f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0 有 5 个不同的实数根,所以 m=2. 故答案为:2.

【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问 题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.

13.对于正项数列{an},定义 值为 ,则数列{an}的通项公式为 .

为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”

【考点】数列递推式. 【专题】综合题.

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【分析】根据“光阴”值的定义,及 即可得到结论. 【解答】解:∵ ∴a1+2a2+…+nan= ∵ ∴a1+2a2+…+nan= ∴a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1= ①﹣②得 ∴ 故答案为: ﹣ ①

,可得 a1+2a2+…+nan=

,再写一式,两式相减,

② =

【点评】本题考查新定义,考查数列的通项,解题的关键是理解新定义,通过再写一式,两式相减 得到结论.

14.已知 a,b∈R,a≠0,曲线 y= 则 a2+b2 的最小值为 .

,y=ax+2b+1,若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点,

【考点】基本不等式;函数的图象. 【专题】不等式. 【分析】由题意两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点,得到 =x+2b+1 有解,转化为关于 a,

b 的直线方程(x2﹣1)a+2bx+x﹣2=0,得到 a2+b2 表示原点到直线的距离的平方,转化为 a2+b2=d2= ( )2,巧换元,构造函数,利用函数的单调性质,求出最值.

【解答】解:∵曲线 y= ∴ =ax+2b+1,

,y=ax+2b+1,

∴a+2=ax2+2bx+x, ∴(x2﹣1)a+2bx+x﹣2=0,
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于是可以看作关于 a,b 的直线方程,则(a,b)是该直线上的点, 则 a2+b2 表示原点到直线的距离的平方, 设原点到直线的距离为 d,根据到点直线的距离公式得到 d= ,

∴a2+b2=d2=

=(



令 t=x﹣2,x∈[3,4],则 t∈[1,2],则 x=t+2, ∴a2+b2=d2=( )2=( =( )2,

设 f(t)=t+ +4,t∈[1,2], ∴f′(t)=1﹣ <0 在∈[1,2]恒成立,

∴函数 f(t)在∈[1,2]为减函数, ∴当 t=1 时,f(t)max=f(1)=1+5+4=10, ∴当 t=1 时,a2+b2 最小值为 故答案为: . .

【点评】本题考查二次函数的性质、函数的单调性及不等式知识,考查学生灵活运用知识解决问题 的能力,能力要求较高.

二、解答题:(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内.) 15.已知函数 f(x)=sin( +x)sin( ﹣x)+ sinxcosx(x∈R).

(1)若 f(α)= ,且 α∈(﹣

,0),求 sin(2α)的值;

(2)在△ ABC 中,若 f( )=1,求 sinB+sinC 的取值范围. 【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;整体思想;综合法;三角函数的求值.

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【分析】 (1) 由条件利用两角和差的正弦公式求得 sin (2x+ ﹣ ]的值. )=1,可得 A=

=sin[ ) 的值, 从而求得 sin (2α) (2α+



(2)由条件求得 sin(A+ <

.化简 sinB+sinC 为

sin(B+

),结合

<B+

,利用正弦函数的定义域和值域,求得 sinB+sinC 的取值范围. +x) sin ( + ﹣x) sinxcosx= cos2x+ )= , )sin = . sin2x=sin (2x+ ) ,

=sin 【解答】 解: (1) 函数 f (x) ( ∵f(α)=sin(2x+

)= ,且 α∈(﹣ )﹣

,0),∴sin(2x+ )cos

∴sin(2α)=sin[(2α+

]=sin(2α+

﹣cos(2α+

(2)△ ABC 中,若 f( )=1,所以 sin(A+ 因为 0<A<π,所以 A+ sinB+sinC=sinB+sin( 因为 0<B< 所以 <sin(B+ ,所以 )≤1, = ,即 A= .

)=1.

﹣B)= sinB+ <B+ < < ,

cosB=

sin(B+

),

sin(B+ , ].

)≤



所以 sinB+sinC 的取值范围为(

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.

16.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明 BC1∥平面 A1CD (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三菱锥 C﹣A1DE 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
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【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,连结 DF,则 BC1∥DF,由此能证明 BC1∥平面 A1CD. (2)由已知得 AA1⊥CD,CD⊥AB,从而 CD⊥平面 ABB1A1.由此能求出三菱锥 C﹣A1DE 的体 积. 【解答】(1)证明:连结 AC1 交 A1C 于点 F, 则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点, 连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 不包含于平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解:因为 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2, , , 得∠ACB=90°, ,A1E=3,

故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 所以三菱锥 C﹣A1DE 的体积为: = =1.

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查三菱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意空间思维能力的培养.

17. C, D 是两个小区的所在地, C, D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA=1km, DB=2km, 如图所示, AB 两地之间的距离为 4km

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(1)如图一所示,某移动公司将在 AB 之间找一点 M,在 M 处建造一个信号塔,使得 M 对 C,D 的张角与 M 对 C,A 的张角相等,试确定点 M 到点 A 的距离; (2)如图二所示,某公交公司将在 AB 之间找一点 N,在 N 处建造一个公交站台,使得 N 对 C,D 两个小区的视角∠CND 最大,试确定点 N 到点 A 的距离.

【考点】二倍角的正切;两角和与差的正切函数. 【专题】应用题;解三角形. 【分析】(1)设 MA=x,∠CMA=α,则∠CMD=α,∠BMD=π﹣2α.依题意,可用 x 表示出 tanα, tan2α,由二倍角的正切可解得 x 的值,即求出点 M 到点 A 的距离; (2)设∠CNA=α,∠DNB=β,则∠CND=π﹣(α+β),设 NB=4﹣x,所以 tanα,tanβ, tan∠CND= ,即可求出最大的角∠CND,确定点 N 到点 A 的距离.

【解答】解:(1)设 MA=x,∠CMA=α, 则∠CMD=α,∠BMD=π﹣2α. 依题意, , ,





,解得



故点 M 到点 A 的距离为



(2)设∠CNA=α,∠DNB=β,则∠CND=π﹣(α+β). 设 NB=4﹣x,所以 , ,





,f(x)=

,(0<x<4,且 x≠2

),

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对 x 的范围进行分类讨论: ①当 x 接近这 2 ②当 x≠2 ③当 2﹣ 这两个值时,f(x)趋近于正无穷,此时∠CDN 为 90°; 或 2+ <x<4 时,∠CDN 为锐角;

时,0<x<2﹣ <x<2+

时,∠CDN 为钝角; , ,

令 x+4=t,则 6﹣ 有

<t<6+

故当且仅当

时,

,此时∠CDN 最大,对应地,



【点评】本题主要考察了两角和与差的正切函数公式的应用,解三角形的实际应用,考查了利用基 本不等式求最值,解答的关键是把实际问题转化为数学问题,是中档题.

18.已知椭圆 C: 为

+

=1(a>b>0)的一个焦点 F(

,0)其短轴上的一个端点到 F 的距离

(1)求椭圆 C 的;离心率及其标准方程 (2)点 P(x0,y0)是圆 G:x2+y2=4 上的动点,过点 P 作椭圆 C 的切线 l1,l2 交圆 G 于点 M,N, 求证:线段 MN 的长为定值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)利用椭圆 C: F 的距离为 + =1(a>b>0)的一个焦点 F( ,0)其短轴上的一个端点到

,求出 c,a,可得 b,即可求椭圆 C 的离心率及其标准方程;

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(Ⅱ)分类讨论:l1,l2 经过点 P(x0,y0),又分别交其准圆于点 M,N,无论两条直线中的斜率 是否存在,都有 l1,l2 垂直.即可得出线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径. 【解答】解:(1)由题意,a= ∴b=1, ∴e= = ,椭圆的方程为 ; ,c= ,

(2)证明:①当直线 l1,l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在, 则 l1:x=± 当 l1:x= , 时,l1 与准圆交于点( ,1),( ,﹣1),

此时 l2 为 y=1(或 y=﹣1),显然直线 l1,l2 垂直; 同理可证当 l1:x=﹣ 时,直线 l1,l2 垂直.

②当 l1,l2 斜率存在时,设点 P(x0,y0),其中 x02+y02=4. 设经过点 P(x0,y0)与椭圆相切的直线为 y=t(x﹣x0)+y0, 代入椭圆方程得(1+3t2)x2+6t(y0﹣tx0)x+3(y0﹣tx0)2﹣3=0. 由△ =0 化简整理得(3﹣x02)t2+2x0y0t+1﹣y02=0, ∵x02+y02=4,∴有(3﹣x02)t2+2x0y0t+x02﹣3=0. 设 l1,l2 的斜率分别为 t1,t2, ∵l1,l2 与椭圆相切, ∴t1,t2 满足上述方程(3﹣x02)t2+2x0y0t+x02﹣3=0., ∴t1?t2=﹣1,即 l1,l2 垂直. 综合①②知:∵l1,l2 经过点 P(x0,y0),又分别交其准圆于点 M,N,且 l1,l2 垂直. ∴线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径,|MN|=4, ∴线段 MN 的长为定值. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切?△ =0、直线垂直与斜率 的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

19.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表: a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9
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… 已知表中的第一列数 a1,a2,a5,…构成一个等差数列,记为{bn},且 b2=4,b5=10.表中每一行正 中间一个数 a1,a3,a7,…构成数列{cn},其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2) 若上表中, 从第二行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 公比为同一个正数, 且 a13=1.①求 Sn;②记 M={n|(n+1)cn≥λ,n∈N*},若集合 M 的元素个数为 3,求实数 λ 的取值 范围. 【考点】数列递推式;等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 【专题】综合题. 【分析】(1)设{bn}的公差为 d,则 ,由此能求出数列{bn}的通项公式.

(2)①设每一行组成的等比数列的公比为 q,由于前 n 行共有 1+3+5+…+(2n﹣1)=n2 个数,且 32 <13<42,解得 , ,所以 ,由错位相

减法能够求得



②由

,知不等式(n+1)cn≥λ,可化为

,设

,解得

,由此能够推导出 λ 的取值范围. 【解答】解:(1)设{bn}的公差为 d, 则 ,解得 ,∴bn=2n.

(2)①设每一行组成的等比数列的公比为 q, 由于前 n 行共有 1+3+5+…+(2n﹣1)=n2 个数,且 32<13<42, ∴a10=b4=8, ∴a13=a10q3=8q3, 又 a13=1,解得 ∴ ,



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∴ =4﹣ 解得 .

②由①知,

,不等式(n+1)cn≥λ,可化为





,解得



∴n≥3 时,f(n+1)<f(n). ∵集合 M 的元素个数是 3, ∴λ 的取值范围是(4,5]. 【点评】本题考查数列的通项公式的求法、前 n 项和的计算和等比数列性质的应用,解题时要注意 方程思想和错位相减求和法的合理运用,注意合理地进行等价转化.

20.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=ax2﹣x(a≠0). (1)若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象在公共点 P 处有相同的切线,求实数 a 的值并求点 P 的坐 标; (2)若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个不同的交点 M、N,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过线段 MN 的中点作 x 轴的垂线分别与 y=f(x)的图象和 y=g(x)的图象 交于 S、T 点,以 S 为切点作 y=f(x)的切线 l1,以 T 为切点作 y=g(x)的切线 l2,是否存在实数 a 使得 l1∥l2,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数思想;构造法. 【分析】(1)设出公共点,利用切线斜率相等列出方程,求解得出 a 的值; (2)根据(1)知,当 a=1 时,两条曲线切于点 P(1,0),利用数形结合的方法,通过平移图象, 得出 a 的范围;
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(3)不妨设 M(x1,y1),N(x2,y2),且 x1>x2 则 MN 中点的坐标为( 利用平行,斜率相等得出 ,



),

=a(x1+x2)﹣1,有 lnx1=ax12﹣x1,lnx2=ax22﹣x2,联立,利用构造函数 h(t)=lnt﹣ ,≡

判断是否存在零点即可. 【解答】解:(1)设函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象的公共点 P(x0,y0),则有 lnx0=ax02﹣x0, ① 又在点 P 有共同的切线, ∴f'(x0)=g'(x0), ∴ =2ax0﹣1, ,

∴a=

代入①,得 lnx0= ﹣ x0. 设 h(x)=lnx﹣ ∴h'(x)= x,

>0,(x>0),

所以函数 h(x)在(0,+∞)上为增函数,故最多有 1 个零点,观察得 x0=1 是零点. 故有 a=1,此时 P(1,0),. (2)根据(1)知,当 a=1 时,两条曲线切于点 P(1,0), ,此时变化的 y=g(x)的对称轴是 x= ,y=f(x)而是固定不动的,如果继续让对称轴向右移动, 即 x= ,得 a<1.

两条曲线有两个不同的交点,当 a<0 时,开口向下,只有一个交点,显然不合题意. 综上可得,有 0<a<1. (3)不妨设 M(x1,y1),N(x2,y2),且 x1>x2 则 MN 中点的坐标为( 以 S 为切点的切线 l1 的斜率为 , , ),

以 T 为切点的切线 l2 的斜率为 a(x1+x2)﹣1,
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如果存在 a 使得

=a(x1+x2)﹣1,②

而且有 lnx1=ax12﹣x1,lnx2=ax22﹣x2, 如果将②的两边同时乘以 x1﹣x2,得 =a(x12+x22)﹣(x1﹣x2)



=ln

,令 t=

(t>0),

则有 lnt﹣ 令 h(t)=lnt﹣ ∴h'(t)>0,

=0, ,

∴函数 h(t)在[1,+∞)上单调递增,故 h(t)>h(1)=0, 所以不存在实数 a 使得 l1∥l2. 【点评】考查了导数求斜率,数学结合的思想和利用条件,通过导数判断函数的零点是否存在,解 决实际问题,思路不容易想到,属于难题.

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