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人教a版必修一:第二章《基本初等函数(ⅰ)》章末总结(含答案)


章末复习课
知识概览

对点讲练 比较大小的问题 比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用,常用的方法有:单调性法、 搭桥法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等. 【例 1】 比较三个数 0.32,log20.3,20.3 的大小.

规律方法 比较幂函数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意:(1)若指 数相同,底数不同,则利用幂函数的单调性;(2)若底数相同,指数不同,则利用指数函数的 单调性;(3)若底数不同,指数也不同,以及一些对数函数型数值等,应寻找媒介数(常用 0,1) 进行比较;(4)作差比较和作商比较是常用技巧. 1 1 1 变式迁移 1 设 a=log 3,b=( )0.2,c=2 ,则( ) 2 3 3 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 求函数最值问题 1 【例 2】 f(x)=9x+ -3x+a,x∈[1,2]的最大值为 5,求其最小值. 2

规律方法 利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域. 1 变式迁移 2 已知函数 y=ax2-3x+3,当 x∈[1,3]时有最小值 ,求 a 的值. 8

函数性质的综合应用 1 【例 3】 已知偶函数 f(x)在 x∈[0, +∞)上是增函数, 且 f( )=0, 求不等式 f(logax)>0(a>0 2 且 a≠1)的解集.

规律方法 关于指数函数、对数函数的综合性问题主要是对常用的函数思想方法的深入 理解、综合思考和灵活应用,这些问题往往要综合利用同步等价转化、数形结合和分类讨论 等数学思想才能解决.这是提高分析问题、解决问题能力的重要途径. 2 变式迁移 3 若-1<loga <1,求 a 的取值范围. 3

指、对数函数的图象与性质是高考考查的重点之一.一要注意它的定义域,二要注意底 数的范围;对数函数与指数函数互为反函数,要注意以它们为载体,考查利用单调性比较大 小及有关应用,考查函数性质的综合应用. 课时作业 一、选择题 1?x ? ? ? 则 A∩B 等于( 1. 已知集合 A={y|y=logax, x>0, a>0 且 a≠1}, B=?x|y=? ?2? ,y≥2 ,
? ?

)

A.{x|x≥-1} C.{x|x≥0} 2.设 a>b>1,0<x<1,则有( A.xa>xb

B.{x|x≤-1} D.{x|x>0} ) B.bx>ax

C.logax>logbx D.logxa>logxb 3.若 logm2<logn2<0,则实数 m、n 的大小关系是( ) A.1<n<m B.0<n<m<1 C.1<m<n D.0<m<n<1 1 4.函数 y=(|x|) 的图象可能是下列四个图中的( ) 2

5.函数 y=2+log2x (x≥1)的值域为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.[2,+∞) D.[3,+∞) 二、填空题 - ?3 x x∈?-∞,1] ? 1 6.设 f(x)=? ,则满足 f(x)= 的 x 值为________. 4 ?log81x x∈?1,+∞? ? 7.已知 a>1,0<x<1 且 alogb(1-x)>1,那么 b 的取值范围是______________. 8.对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2)有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)· f(x2);②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2); f?x1?-f?x2? x1+x2 f?x1?+f?x2? ③ >0;④f( )< . 2 2 x1-x2 当 f(x)=lg x 时,上述结论中正确的结论的序号是________. 三、解答题 1 1 9.已知函数 f(x)=(log x)2-log x+5,x∈[2,4],求 f(x)的最小值. 4 4

10.若 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较 f(x)与 g(x)的大小.

章末复习课
对点讲练 【例 1】 解 方法一

答案

∵0.32<12=1,

log20.3<log21=0,20.3>20=1, ∴log20.3<0.32<20.3. 方法二 作出函数图象如图所示,由图象即可看出 log20.3<0.32<20.3. 1 1 1 变式迁移 1 A [∵a=log 3<0,0<b=( )0.2<1,c=2 >1,∴a<b<c.] 2 3 3 2x+1 x 【例 2】 解 f(x)=3 -3 +a. 设 3x=t,则 t∈[3,9]. ∴f(x)=g(t)=3t2-t+a 1 1 t- ?2+a- ,t∈[3,9]. =3? ? 6? 12 ∴f(x)max=g(9)=3· 92-9+a=5, ∴a=-229, ∴f(x)min=g(3)=24+a=-205. 变式迁移 2 解 令 t=x2-3x+3 3 3 =(x- )2+ , 2 4 3 当 x∈[1,3]时,t∈[ ,3], 4 3 1 ①若 a>1,则 ymin=a = , 4 8 1 解得 a= ,与 a>1 矛盾. 16 1 ②若 0<a<1,则 ymin=a3= , 8 1 解得 a= ,满足题意. 2 1 综合①、②知 a= . 2 【例 3】 解 f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上递增, 1 f( )=0, 2 1 ∴f(x)在(-∞,0)上递减,f(- )=0, 2 1 1 则有 logax> ,或 logax<- . 2 2 1 1 (1)当 a>1 时,logax> 或 logax<- , 2 2 a 可得 x> a,或 0<x< ; a 1 1 (2)当 0<a<1 时,logax> 或 logax<- , 2 2 a 可得 0<x< a,或 x> . a 综上可知,当 a>1 时, a f(logax)>0 的解集为(0, )∪( a,+∞); a a 当 0<a<1 时,f(logax)>0 的解集为(0, a)∪( ,+∞). a 2 变式迁移 3 解 -1<loga <1, 3 1 2 即 loga =-1<loga <1=loga a. a 3

1 2 (1)当 a>1 时,有 logax 为增函数, < <a. a 3 3 3 ∴a> ,结合 a>1,故 a> . 2 2 (2)当 0<a<1 时,有 logax 为减函数, 1 2 > >a. a 3 2 2 ∴a< ,结合 0<a<1,故 0<a< . 3 3 2? ? 3? ? ∴a 的取值范围是?a|0<a<3?∪?a|a>2?. ? ? ? ? 课时作业 1.B [∵A=R,B=(-∞,-1],B A, ∴A∩B=B=(-∞,-1].] 2.C [画图象可知.] 3.B [画图象可知.] 1 4.D [由 y=(|x|) 知函数为偶函数,且 0<x<1 时,y>x.] 2 5.C [x≥1 时,log2x≥0,∴y≥2.] 6.3 1 解析 ∵f(x)= , 4 1 -x 当 3 = 时,x=log34?(-∞,1], 4 1 当 log81x= 时, 4 1 1 即 x=81 =[(± 3)4] =± 3, 4 4 ∵x∈(1,+∞),∴x=3, 1 综上可知,满足 f(x)= 的 x 的值是 3. 4 7.(0,1) 解析 ∵alogb(1-x)>a0,且 a>1, ∴logb(1-x)>0. 又∵0<x<1,∴0<1-x<1.∴0<b<1. 8.②③ 解析 f(x)=lg x,则 lg(x1x2)=lg x1+lg x2,②正确; 又 f(x)为单调增函数,故③正确. 1 9.解 令 log x=t,因为 x∈[2,4], 4 1 所以 t∈[-1,- ]. 2 1 所以原函数?y=t2-t+5,t∈[-1,- ]. 2 1 23 由二次函数性质知当 t=- 时,y 取到最小值,且 ymin= . 2 4 3x 10.解 f(x)-g(x)=logx3x-logx4=logx . 4 3 当 0<x<1 时,logx x>0,f(x)>g(x); 4 4 当 x= 时,f(x)=g(x); 3 4 3 当 1<x< 时,logx x<0,f(x)<g(x). 3 4

4 3 当 x> 时,logx x>0,f(x)>g(x). 3 4 4 ? 综上所述,当 x∈(0,1)∪? ?3,+∞?时, f(x)>g(x); 4 当 x= 时,f(x)=g(x); 3 4? 当 x∈? ?1,3?时,f(x)<g(x).


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