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高一数学必修(1)复习:第二章函数知识点总结


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第二章 函数知识点归纳
总论:

知识网络结构图 一、函数的概念与图像
设 D 是一个非空的实数集,如果有一个对应规则 f ,对每一个 x ? D ,都能对应唯一的一个实数 y ,则这 个对应规则 f 称为定义在 D 上的一个函数,记以 y ? f ?x ? ,称

x 为函数的自变量, y 为函数的因变量或函数 值, D 称为函数的定义域,并把实数集 Z ? y y ? f ?x?, x ? D

?

? 称为函数的值域。

注意点:①定义域 ②对应规则 ③所谓同一函数必须要定义域和对应规则完全一致。 1、求定义域的主要依据: (1)若函数 y ? f ?x ? 为整式,则定义域为实数集 R; (2)分式的分母不为零; (3)偶次方根的被开方数不小于零; (4)对数函数的真数必须大于零; (5)若函数 f (6)如果函数由解决实际问题列出,定义域为符合实际意义的实数集。 例 1、下列各对函数中,相同的是( ) A、 f ( x) ? lg x , g ( x) ? 2 lg x
2

? x ? 由几个部分的数学式子构成的,定义域为使各个式子有意义的实数的集合的交集;
B、 f ( x) ? lg

x ?1 , g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1) x ?1

C、 f (u ) ?

例 2、M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系 的有( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

x2

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

例 3、(05 江苏卷)函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为________________________

2、求函数值域的主要方法: (1)直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
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(2)换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; (3)利用对勾函数; (4)分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图) ; (5)单调性法:利用函数的单调性求值域; (6)几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例 1、 y ?

1 ; x ? 2x ? 3
2

f ( x) ? 2 ? 24 ? 2 x ? x 2

例 2、 y ? ? x ? 2x ? 1

8 ( x ? 4) x x 3x ? 1 (?2 ? x ? 4) 例 4、 y ? ;y? x ?1 2x ?1 3 (x ? [?1,3]) 例 5、 y ? 2x
例 3、 y ? 2 x ? 例 6、 y ? x ? 2 ? x ?1 3、重要函数图像 (1)一次函数(正比例函数)图像及其性质:

(2)反比函数图像及其性质:

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(3)二次函数图像及其性质: ①二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ? ②二次函数与一元二次方程关系:

?b b 4ac ? b2 , ) ,顶点坐标 (? 2a 2a 4a

③闭区间上二次函数的最值问题: 是分类讨论,数形结合,函数方程,转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问 题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。 设 f ( x ) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x ) 在 x ?[m,n] 上的最大值与最小值。将 f ( x ) 配方,得顶点为
2

(?

b 4ac ? b2 b , ) 、对称轴为 x ? ? 2a 2a 4a

当 a ? 0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x ) 的最值: 最小值:对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论 (1)当 ? 当?

b b 4ac ? b 2 ? m,n 时, f ( x ) 的最小值是 f (? ) ? 2a 4a 2a

?

?

b ? m,n 时, 2a b ? m ,由 f ( x ) 在 m,n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f ( m) ; (2)若 ? 2a b ? m ,由 f ( x ) 在 m,n 上是减函数则 f ( x ) 的最小值是 f ( n) 。 (3)若 ? 2a

?

?

? ?

? ?

最大值:对称轴与区间中点比较进行分类讨论

b m?n ? 时, f ( x ) 的最大值是 f ( n) ; 2a 2 b m?n ? (2)当 ? 时, f ( x ) 的最大值是 f ( m) ; 2a 2 当 a ? 0 时,可类比得结论。
(1)当 ?
2 例 1、设 f ( x) ? x ? 4x ? 4, x ? [t , t ? 1](t ? R), 求函数 f ( x) 的最小值 g (t ) 的解析式。

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例 2、已知二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ?

? 3 ? ,2 上的最大值为 3,求实数 a 的值。 ? 2 ? ?

例 3、已知函数 f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值 2

④二次方程根分布问题: 点拨:从三个方面进行分析: (1) ? ? 0 (有不等实数根) ; (2)对称轴; (3)端点的函数值 例 1、已知方程 2x2 ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围. 例 2、方程 mx ? 2mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,求实根 m 的取值范围是
2

例 3、已知关于 x 的方程 (m ? 2) x 2 ? 2 x ? 2m ? 1 ? 0 至少有一个根在区间(1, 2)内,求实数 m 的取值范围. (4)对勾函数图像:

二、函数的表示方法与表达形式
1、函数表示的三大方法:列表法、解析法、图像法 例 1、购买某种笔 x 支,所需花 y 元,若每支笔需 2 元,试分别用解析法、列表法、图像法将 y 表示成 x ( x ? 1,2,3,4? )的函数,并指出函数的值域。 2、函数的表达形式: (1)一般表达形式: y ? f ?x ? (2)分段函数:如果自变量在定义域内不同的值,函数不能用同一个表达式表示,而要用两个或两个以上的 表达式来表示。这类函数称为分段函数。

?

x ? ?1 ?x ? 1 ? 2 ?1 ? x ? 1 例如 y ? f ? x ? ? ? x ? 5x x ?1 ?
(3) 复合函数: 设 y ? f ?u ? 定义域 U , u ? g ?x ? 定义域 X , 值域 U * 。 如果 U * ? U , 则 y ? f ?g ?x ??

是定义在 X 上的一个复合函数。其中 u 称为中间变量。 例 2、已知 f ? x ? ?

x ,求 x ?1

? 1 ? f? ? ? f ? x ? ? 1?

例 3、已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

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练习:①已知f(2 x- 1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域 。

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为__________ 2? x 2 x 三、函数的简单性质
②设 f ( x) ? lg 1、函数表示法的“无关性” : 函数的表示法只与定义域和对应规则有关,而与用什么字母表示无关,即 , 简称函数表示法的“无关性” 。 例 1、 y ? 2x ? 5 与 y ? 2u ? 5 是否为同一函数? 2、函数的单调性: 如果对于某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)<f(x2).那么就说 f(x)在 这个区 间上是增函数。 如果对于某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 x2, 当 x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2).那么就是 f(x) 在这个区间上是减函数。 注意点:设 y ? f ?g ?x ?? 是定义在 M 上的函数,若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是减 函数;若 f(x)与 g(x)的单调性相同,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是增函数。 例 1、证明函数 f ( x) ? ? x 3 ( x ? R) 的单调性 例 2、函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是________ 例 3、已知 f ( x) ? ? (A) (0,1)

?(3a ?1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( ? loga x, x ? 1
1 3
(C) [ , )



(B) (0, )

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

3、函数的奇偶性: 设区间 X 关于原点对称,若对 x ? X ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,则称 f ?x ? 在 X 上是奇函数;若对 x ? X , 都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,则称 f ?x ? 在 X 上是偶函数。 重要性质: (1)奇函数的图象关于原点对称;偶函数图象关于 y 轴对称; (2)若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f(0)=0 (3)奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇 判断函数奇偶性的主要方法:①看定义域是否关于原点对称 ②看 f(x)与 f(-x)的关系 例 1、已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a
2 2

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围; 例 2、 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 , 则当 x ? ( 0, ? ? ) 时,

f ( x) ?

.

习题:若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______
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