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02关于平面向量数量积运算的三类经典题型


关于平面向量数量积运算的三类经典题型

题型一 平面向量数量积的基本运算 →→ 例 1 已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为切点,那么PA· PB的最小值 为( ) B.-3+ 2 D.-3+2 2

A.-4+ 2 C.-4+2 2

破题切入点 对于四边形 OAPB 中变化的量,可以是切

线的长度、也可以是∠APB,这两个 →→ 变化的量都可以独立地控制四边形 OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示PA· PB;还可 以建立平面直角坐标系,使问题数量化. 答案 D → → 解析 方法一 设|PA|=|PB|=x,∠APB=θ, θ 1 则 tan = , 2 x θ 1-tan2 2 x2-1 从而 cos θ= = . θ x2+1 1+tan2 2 →→ → → PA· PB=|PA|· |PB|· cos θ x2-1 x4-x2 =x ·2 = 2 x +1 x +1
2



?x2+1?2-3?x2+1?+2 x2+1

2 =x2+1+ 2 -3≥2 2-3, x +1 当且仅当 x2+1= 2, 即 x2= 2-1 时取等号, →→ 故PA· PB的最小值为 2 2-3. 方法二 设∠APB=θ,0<θ<π, 1 → → 则|PA|=|PB|= . θ tan 2 →→ → → PA· PB=|PA||PB|cos θ

=(

)2cos θ θ tan 2

1

θ 2 θ = · (1-2sin2 ) θ 2 sin2 2 cos2 θ θ ?1-sin2 ??1-2sin2 ? 2 2 = . 2θ sin 2 θ 令 x=sin2 ,0<x≤1, 2 → → ?1-x??1-2x? 则PA· PB= x 1 =2x+ -3≥2 2-3, x 1 2 当且仅当 2x= ,即 x= 时取等号. x 2 →→ 故PA· PB的最小值为 2 2-3. 方法三 以 O 为坐标原点,建立平面直角坐标系 xOy, 则圆 O 的方程为 x2+y2=1, 设 A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0), →→ 2 2 则PA· PB=(x1-x0,y1)· (x1-x0,-y1)=x2 1-2x1x0+x0-y1. → → 由 OA⊥PA?OA· PA=(x1,y1)· (x1-x0,y1)=0
2 2 ?x1 -x1x0+y1 =0, 2 又 x2 1+y1=1,

所以 x1x0=1. →→ 2 2 从而PA· PB=x2 1-2x1x0+x0-y1
2 2 =x1 -2+x2 0-(1-x1) 2 =2x2 1+x0-3≥2 2-3.

→→ 故PA· PB的最小值为 2 2-3. 练习: 1.(2014· 课标全国Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b 等于( A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A 解析 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2=10, )

|a-b|2=(a-b)2=a2-2a· b+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减,得 4a· b=4, ∴a· b=1. 2.(2014· 四川)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m 等于( A.-2 C.1 答案 D 解析 因为 a=(1,2),b=(4,2),所以 c=ma+b=(m,2m)+(4,2)=(m+4,2m+2).根据题意可 得 5m+8 8m+20 c· a c· b = ,所以 = ,解得 m=2. |c||a| |c||b| 5 20 ) B.-1 D.2

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 b 与 a+b 的夹角为( π 5π π 2π A. B. C. D. 6 6 3 3 破题切入点 先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系,然后分别求出 所求向量的数量积与模,代入公式求解即可;也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问 题求解. 答案 A 解析 方法一 由已知,得|a+b|=|a-b|,将等式两边分别平方, 整理可得 a· b=0.① 由已知,得|a+b|=2|a|,将等式两边分别平方, 可得 a2+b2+2a· b=4a2.② 将①代入②,得 b2=3a2, 即|b|= 3|a|. 而 b· (a+b)=a· b+b2=b2, b· ?a+b? 故 cos〈b,a+b〉= |b|· |a+b| = b2 3a2 3 = = . 2 3|a|· 2|a| 3|a|· 2|a| )

又〈b,a+b〉∈[0,π], π 所以〈b,a+b〉= . 6 故选 A. → → 方法二 如图,作OA=a,OB=b,

以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB, → → 则OC=a+b,BA=a-b. 由|a+b|=|a-b|=2|a|, → → → 可得|OC|=|BA|=2|OA|, 所以平行四边形 OACB 是矩形, → → BC=OA=a. → → 从而|OC|=2|BC|. → 在 Rt△BOC 中,|OB|= → |OB| 3 故 cos∠BOC= = , 2 → |OC| π 所以∠BOC= . 6 π 从而〈b,a+b〉=∠BOC= ,故选 A. 6 练习: 1、设非零向量 a,b 的夹角为 θ,记 f(a,b)=acos θ-bsin θ.若 e1,e2 均为单位向量,且 e1· e2 = 3 ,则向量 f(e1,e2)与 f(e2,-e1)的夹角为________. 2 π 2 3 e1· e2 3 ,可得 cos〈e1,e2〉= = , 2 |e1||e2| 2 → → → |OC|2-|BC|2= 3|BC|,

答案

解析 由 e1· e2=

π 5π 故〈e1,e2〉= , 〈e2,-e1〉=π-〈e2,e1〉= . 6 6 π π 3 1 f(e1,e2)=e1cos -e2sin = e1- e2, 6 6 2 2 f(e2,-e1)=e2cos 5π 5π 1 3 -(-e1)sin = e- e. 6 6 2 1 2 2 3 1 1 3 3 e - e )· ( e - e )= -e1· e2=0, 2 1 2 2 2 1 2 2 2

f(e1,e2)· f(e2,-e1)=(

所以 f(e1,e2)⊥f(e2,-e1). π 故向量 f(e1,e2)与 f(e2,-e1)的夹角为 . 2

题型三 利用数量积求向量的模

例 3 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动 → → 点,则|PA+3PB|的最小值为________. 破题切入点 建立平面直角坐标系,利用点坐标表示出各向量,或用向量的关系一一代换得 出最简式,从而求出最小值. 答案 5 解析 方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系,设 DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. → → 方法二 设DP=xDC(0<x<1), → → ∴PC=(1-x)DC, → → → → → PA=DA-DP=DA-xDC, → → → → 1→ PB=PC+CB=(1-x)DC+ DA, 2 → → 5→ → ∴PA+3PB= DA+(3-4x)DC, 2 25 → 5 → → → → → → |PA+3PB|2= DA2+2× ×(3-4x)DA· DC+(3-4x)2· DC2=25+(3-4x)2DC2≥25, 4 2 → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. 练习: → → → → → → → → 1 → 1. 在平面上, AB1⊥AB2, |OB1|=|OB2|=1, AP=AB1+AB2.若|OP|< , 则|OA|的取值范围是( 2 A.(0, C.( 5 ] 2 B.( D.( 5 7 , ] 2 2 7 , 2] 2 )

5 , 2] 2

答案 D 1 解析 由题意,知 B1,B2 在以 O 为圆心的单位圆上,点 P 在以 O 为圆心, 为半径的圆的内 2 部. → → → → → 又AB1⊥AB2,AP=AB1+AB2,

所以点 A 在以 B1B2 为直径的圆上, → 当 P 与 O 点重合时,|OA|取得最大值 2, 1 当 P 在半径为 的圆周上时, 2 7 → |OA|取得最小值 ,故选 D. 2

总结提高 (1)平面向量数量积的运算有两种形式: 一是依据长度和夹角, 二是利用坐标运算, 具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择,注意两向量 a,b 的数量积 a· b 与代数中 a,b 的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“· ”. (2)求向量的夹角时要注意:①向量的数量积不满足结合律,②数量积大于 0 说明不共线的两 向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角,数量积小于 0 且两向量不能共 线时两向量的夹角为钝角.


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