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【数学】3.4-反证法-课件(北师大版选修1-2)zx


第三章 推理与证明
3.4 反证法

复习
综合法特点:由因导果
由已知 结论

分析法特点:执果索因 即: 由结果
倒推

找条件

思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、 B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么? 分析: 假设C没有撒谎, 则C真; 由假设 那么A假且B假; 由A 假, 知B 真. 这与B假矛盾. 则C必定是在撒谎. 推出矛盾. 那么假设“C没有撒谎”不成立; 推翻假设.

原命题成立.

反证法: ①假设原命题不成立,

反证法的基本步骤:

②经过正确的推理,得出矛盾,
③因此说明假设错误, ④从而证明原命题成立, 这样的的证明方法叫反证法 得出矛盾的方法:

四步

(1)与已知条件矛盾;
(2)与已有公理、定理、定义矛盾;

(3)自相矛盾。

应用反证法的情形:
1.直接证明比较困难; 2.直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少; 3.结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个” 之类字样

4.结论为 “唯一”之类的命题;

例1、已知a是整数,2能整除 a ,求证: 2能整除a.
证明:假设命题的结论不成立, 即“2不能整除a”。 因为a是整数,故a是奇数, a可表示为2m+1(m为整数),则 a 2 ? (2m ? 1) 2 ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 2(2m2 ? 2m) ? 1 即 a 是奇数。所以,2不能整除 a
2
2

2

.

a ”相矛盾。 这与已知“2 能整除
于是,“2不能整除a”,这个假设错误, 故2能整除a.

2

例2、在同一平面内,两条直线a,b都和直 线c垂直。求证:a与b平行。
证明:假设命题的结论不成立,即“直线a与b 相交”。设直线a,b的交点为M,a,c的交点 0 为P,b,c的交点为Q,如图所示,则 ?PMQ ? 0
这样 △MPQ 的内角和 ? ?PMQ ? ?MPQ ? ?PQM
? ?PMQ ? 900 ? 900 ? 1800 。

180 这与定理“三角形的内角和等于

0

”相矛盾,这说明假设是错误的。 所以直线a与b不相交,即a与b平行。

解题反思:
证明以上题时,你是怎么想到反证法的? 反设时应注意什么? 反证法中归谬是核心步骤,本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类?

例3、 求证: 2 是无理数。 证明:假设是 2有理数,那么它就可以表示
q 成两个整数之比,设 2 = ,(p ? 0), 且p, p q互素,则p 2 =q.
所以,2p2=q2,故q2是偶数,q也必然为偶数. 不妨设q=2k,代入上式,则有2p2=4k2, 即p2=2k2,所以,p也为偶数.

P和q都是偶数,他们有公约数2,这与p与q互
素相矛盾. 这样, 2 不是有理数,而是无理数.

例4: 如图所示,直线 a 平行于平面 ? , ? 是经过直线 a 的平面,平面 ? 与 ? 相交 于直线 b .求证:直线 a 平行于直线 b . 证明 假设命题的结论不成立, ? 即“直线a不平行于直线b”. a 由于直线a,b在同一平面 b β 中,且直线a,b不平行, 故直线a,b相交,设交点 ? 为A,A在直线b上,故A在平 面α 内. 所以,直线a与平面α 相交于A. 这与条件“直线a平行于平面α ”矛盾. 因此,假设不成立,即“直线a平行于直线b”.

感受反证法:

尝试解决问题

练习1.求证: 在一个三角形中,如果两条边 不等,那么它们所对的角也不等. 已知:在△ABC中,AB≠AC。 求证:∠B ≠ ∠C 证明:假设∠B = ∠C。 所以AB=AC(等角对等边) 这与已知条件AB≠AC相矛盾,假设错误。 所以∠B ≠ ∠C。

练习2.已知:如图△ABC中,D、E两点分别在 AB和AC上求证:CD、BE不能互相平分
A

证明:假设CD、BE互相平分
连结DE, 故四边形BCED是平行四边形

D E B C

∴BD∥CE(平行四边形对边平行)

这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误, ∴CD、BE不能互相平分.

练习3 .已知直线 a , b 和平面 ? ,如果 a ? ? , b ? ? 且 a // b ,求证: a // ? .
?

证明:因为a∥b 证明:因为a∥b,所以经过 a 直线 a , b确定一个平面 ? . b 因为 a ? ? ,而 a ? ? P 综合 ? 法 所以 ? 与 ? 是两个不同的平面. ? ?? ?b . 因为 b ? ? , 且b ? ? ,所以 下面用反证法证明直线 a 与平面 ? 没有 公共点.假设直线 a 与平面? 有公共点P, 反证 则 P ? ? ? ? ? b ,即点P是直线a与b的公共 法 点,这与 a // b 矛盾,所以 a // ? .

归纳总结:
1.哪些命题适宜用反证法加以证明?
笼统地说,正面证明繁琐或困难时宜用反证法;
具体地讲,当所证命题的结论为否定形式或 含有“至多”、“至少”等不确定 词,此外, “存在性”、“唯一性” 问题.

归纳总结:
2.归谬是“反证法”的核心步骤,归谬得到的 逻辑矛盾,常见的类型有哪些?
归谬包括推出的结果与已知定义、公理、 定理、公式矛盾,或与已知条件、临时 假设矛盾,以及自相矛盾等各种情形.

归纳总结:
3. 准确地作出反设 ( 即否定结论 ) 是非常重要 的,下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语 等于 否定词 不等于 原词语 任意的 否定词
某个

是 都是
大于 小于

不是
不都是 不大于

至少有一个 至多有一个

一个也没有
至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立

至少有n个 大于或等于 至多有n个

对所有x, 存在某x, 对任意x, 不成立 成立 不成立


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