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江苏省2014届一轮复习数学试题选编9:正余弦定理(学生版)


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 9:正余弦定理

填空题 1 . 徐 州 、 宿 迁 市 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 O 为 △ ABC 的 外 心 , 若 (

??? ? ??? ? ???? 5OA ? 12OB ? 13OC ? 0 ,则 ? C 等于_____.<

br />2 . (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,设

A(?1, ,B,C 是函数 y ? 1 ( x ? 0) 图象上的两点,且△ABC 为正三角形,则△ABC 的高为____. 1) x
3 .江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷) ( 若点 G 为 ?ABC 的重心,且 AG⊥BG,则 sin C 的

最大值为________.
4 . (江苏省苏州市五市三区 2013 届高三期中考试数学试题 ) 在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则

a 的取值范围是 b

____________.
5 . (江苏省苏州市五市三区 2013 届高三期中考试数学试题 )若已知 a, b, c ? 0 ,则

a2 ? b2 ? c2 的最小值为 ab ? 2bc

____________.
6 . 镇 江 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 题 ) 在 △ABC 中 , sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 , 则 (

cos C =______.
7 (江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题 . (数学) WORD 版) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

已知 a=1,A=60°,c=

3 , 3

则△ABC 的面积为_______.
8 . (江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 )已知 ?ABC 的三边长 a,b,c 成等差数列,且

a2 ? b2 ? c2 ? 84 ,则实数 b 的取值范围是_______
9 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上一

点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为________.
A

B

D (第 9 题)

C

10. (江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) )在△ ABC 中,内角 A 、 B 、C

的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?

? 5 2 , A ? ,则 cos B ? ______. 4 3

11. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为
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a, b, c ,且 a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A ,则 sin A ? ____.
12. (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试(数学) (选修历史) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 )

a,b,c,且 b ? c ? a ? bc ? 0 ,则∠A=_________.__
2 2 2

13 . 江 苏 省 连 云 港 市 2013 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 ) 选 修 物 理 ) 在 △ABC 中 , 若 ( ( )

sin A cos B ? , 则?B ___________________. a b
14. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) 在△ABC 中,∠A=45 ,∠C=105 ,BC=
o o

2 ,则 AC 的长

度为____________.
15. (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题)已知三角形的一边长为 5,所对角为 60? ,则另

两边长之和的取值范围是________.
16. (2010 年高考(江苏) 在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, )

b a ? ? 6 cos C ,则 a b

tan C tan C ? ? __________ tan A tan B
解答题 17. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、

b、c,且 ccosB+bcosC=3acosB.
(1)求 cosB 的值; ?? (2)若BA?BC=2,求 b 的最小值.

18. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知 △ ABC 的面积为 S ,角 A, B, C 的对边分

别为 a , b, c , AB?AC ? S . ⑴求 cos A 的值; ⑵若 a , b, c 成等差数列,求 sin C 的值.
19 . 江 苏 省 2013 届 高 三 高 考 压 轴 数 学 试 题 ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 (

??? ??? ? ?

3 2

a=5,b=4,cos(A-B)=

31 . 32

(Ⅰ) 求 sin B 的值; (Ⅱ) 求 cos C 的值.

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[来源:学|科|网]
20. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)如图,在 ?ABC 中, B ?

?
4

,角 A 的

平分线 AD 交 BC 于点 D ,设 ?BAD ? ? , sin ? ?

5 . 5

(1)求 sin ?BAC 和 sin C ;(2)若 BA?BC ? 28 ,求 AC 的长.

??? ??? ? ?

A

B

D

C

21. (扬州、 南通、 泰州、 宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,

面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;
uuu uuu r r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.
22 . 苏 北 三 市 ( 徐 州 、 淮 安 、 宿 迁 ) 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 考 试 数 学 试 卷 ) 在 △ ABC , 已 知 ( ( s i n ? s i n ? s i n ) ( s i n ? s i n ? s i nA) ? 3 s i n s i n . A B C B C B C

(1) 求角 A 值;
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(2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值.
23. (2011 年高考(江苏卷) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a, b, c )

(1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
24. (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .已知

?

a ? 1 , b ? 2 , CA? ? CB

??? ??? ? ?

1 . 2

⑴求边 c 的长; ⑵求 cos? A ? C ? 的值 .
25. (江苏省泰州、 南通、 扬州、 宿迁、 淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷) 在△ABC 中,角 A , B , C

所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小;

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

(2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.
26. (江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题) 在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若

b2 ? c2 ? a2 ? bc .
(1)求角 A 的大小; (2)若 AC ? AB ? ?8 ,求 ?ABC 的面积.

??? ??? ? ?

27. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)在△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,已知

a cos C ? b cos C ? c cos B ? c cos A ,

且 C=120 °. (1)求角 A; (2)若 a=2,求 c.
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28. (江苏海门市 2013 届高三上学期期中考试模拟数学试卷)某观测站 C 在城 A 的南偏西 25°的方向上,由 A

城出发有一条公路,走向是南偏东 50°,在 C 处测得距 C 为 12 3 km 的公路上 B 处,有一人正沿公路向 A 城走去,走了 12 km 后,到达 D 处,此时 C、D 间距离为 12 km,问这人还需走多少千米到达 A 城? A 250 500 C B D

29. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.

(1)若 cos(A+)=sinA,求 A 的值; (2)若 cosA=,4b=c,求 sinB 的值.

30. (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)如图,在海岸线一侧 C 处有一个美丽的小

岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了 A、B 两个报名点,满足 A、B、C 中任意两点间的距离为 10 千 米.公司拟按以下思路运作:先将 A、B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A、B 两点),然后乘同一艘游轮前往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千 米耗费 2 元,游轮每千米耗费 12 元.设∠ CDA ? ? ,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元. ⑴写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围;
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⑵问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

31 . 江 苏 省 扬 州 市 2013 届 高 三 下 学 期 5 月 考 前 适 应 性 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? 2 3 sin x ? sin( ? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2 . 2
(1)求 f (x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ? A、 B、 C 的对边,若 f ( A) ? 4 , b ? 1 , ?ABC 的面积为 ? ? 的值.

?

3 ,求 a 2

32. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是

a , b , c ,且 A , B , C 成等差数列. ??? ??? 3 ? ? (1)若 BA?BC ? , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2 (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.
33 . 2013 届 江 苏 省 高 考 压 轴 卷 数 学 试 题 ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 (

a=5,b=4,cos(A-B)=

31 . 32 (Ⅰ) 求 sin B 的值; (Ⅱ) 求 cos C 的值.

34. (江苏省 2013 届高三高考模拟卷(二) (数学) )已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且

acosC+ccosA=2bcosB.
(1)求角 B 的大小; (2)求 sinA+sinC 的取值范围.

35. (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题) ?ABC 中, AC ? 3 ,三个内角 A, B, C 成等差

数列. (1)若 cos C ?

6 ,求 AB ; 3
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(2)求 BA ? BC 的最大值.
36 . 南 通 市 2013 届 高 三 第 一 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 (

??? ??? ? ?

a,b,c, tan C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

37. (江苏省 2013 届高三高考模拟卷(二) (数学) )如图,现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半

径的扇形湖面 AOB.现欲在弧 AB 上取不同于 A、 的点 C,用渔网沿着弧 AC(弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上)、 B 半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若

OA=1km,∠AOB= .求所需渔网长度(即图中弧 AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.
B B

π 3

D
养殖区域Ⅱ 养殖区域Ⅰ

C

O

A O

A

38. (江苏省海门市四校 2013 届高三 11 月联考数学试卷 )设

?? ? ? ?? a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ? ? x ? 满足 f ? ? ? ? f ? 0 ? , ?2 ? ? 3? (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间;
(Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且 域.

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ?0, B ? 上的值 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

39. 江苏省无锡市 2013 届高三上学期期中考试数学试题) ( 已知 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,
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且 b ? a ? c ? ac , b ? 1 .
2 2 2

(1)若 tan A ? tanC ?

3 (1 ? tan A tanC ) ,求 c ; 3

(2)若 a ? 2c ,求 ?ABC 的面积.

40.南京市、 ( 淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷) ?ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 在



cos C 2a ? c ? , cos B b
(2)若 tan( A ?

(1)求 B;

?
4

) ? 7 ,求 cos C 的值.

41. (江苏省泰兴市 2013 届高三上学期期中调研考试数学试题)已知 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边分别为

a, b, c ,且满足下列三个条件:① a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ; ③ a ? b ? 13 . 求 (1) 内角 C 和边长 c 的大小; (2) ?ABC 的面积.

② 3 c ? 14sin C ;

42. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S .

??? ???? ?

(1)求 tan 2 A 的值; ? ? ? ??? ??? (2)若 B ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S . 4

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江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 9:正余弦定理参考答案 填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

3π ; 4
2

3 5
( 2 , 3)
2 5 5 1 ? ; 4
3 6

(2 6, 2 7]
5 6 2

9.

10.

2 2 3
5 5

11.

12. 120? 13. 45 14. 1 15.
?

?5,10?

;

16. 4 解答题 17.解:(1)因为 ccosB+bcosC=3acosB,

由正弦定理,得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB 1 又 sin(B+C)=sinA?0,所以 cosB= 3 ?? (2)由BA?BC=2,得 accosB=2,所以 ac=6 2 2 2 2 由余弦定理,得 b =a +c ?2accosB?2ac? ac=8,当且仅当 a=c 时取等号, 3 故 b 的最小值为 2 2
18. ⑴由 AB?AC ?

??? ??? ? ?

3 1 3 4 S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,即 sin A ? cos A 2 2 2 3
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代入 sin 2 A + cos2 A ? 1 ,化简整理得, cos2 A ? 由 sin A ? cos A ,知 cos A ? 0 ,所以 cos A ?

9 25

4 3

3 5

⑵由 2b ? a + c 及正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C , 即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C , 所以 2sin A cos C + 2cos A sin C ? sin A + sin C .①

3 4 4 及 sin A ? cos A ,得 sin A ? , 5 3 5 4 ? sin C 代入①,整理得 cos C ? . 8 代入 sin 2 C + cos2 C ? 1 ,整理得 65sin 2 C ? 8sin C ? 48 ? 0 , 12 4 解得 sin C ? 或 sin C ? ? . 13 5 12 因为 C ? (0, ?) ,所以 sin C ? 13
由 cos A ?
19.

20.

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21. 【解】(1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,于是 3 ? 1 bc sin A ?

2

3 bc ,所以 bc=4 4
弦 定 理 得





c ? AB ? 2 2

,





b?

? 2 A . C





BC ? a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? 14

(2)由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 ,即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 ,解得 b ? 1 或 4 b2
uuu uuu uuu r r r 设 BC 的中点为 D,则 AO ? AD ? DO ,

uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu r r r r uur uuu uuu uur u r r u 2 2 因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c 2 2 uuu uuu r r uuu uuu r r 2 2 2 2 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? b ? c ? ? 15 ;当 b ? 4 时, c ? 1 , AO ? BC ? b ? c ? 15 2 2 2 2 ) 22. ⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C)(sin B ?sin C ?sin A ?3sin Bsin C , 由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,

?

??

?

所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A? (0, ?) ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

? 3
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? 2? 2? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) , 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? , 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 6 2 3
⑵ 由 A?
23. 【命题立意】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形等基础知识,

考查运算求解能力. 【 解 析 】 (1) 由 题 设 知 , sinA cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A . 从 而 s i A ? 3 c o A , 所 以 n s

c o s ? 0 , tan A ? 3 . 因 为 0 ? A ? ? , 所 以 A ? A

?
3

.(2) 由 cos A ?

1 , b ? 3c 及 3

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 a 2 ? b 2 ? c 2 .
故 ?ABC 是直角三角形,且 B ?

?
2

.所以 sin C ? cos A ?

1 . 3

24. ⑴由 CA? ? CB

1 1 ,得 ab cos C ? 2 2 1 因为 a ? 1 , b ? 2 ,所以 cos C ? , 4 2 2 2 所以 c ? a + b ? 2ab cos C ? 1 + 4 ? 1 ? 4 ,
所以 c ? 2

??? ??? ? ?

1 , C ? (0, ? ) , 4 15 所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? , 4
⑵因为 cos C ?

15 a sin C 15 所以 sin A ? , ? 4 ? c 2 8

7 , 8 7 1 15 15 11 ? ? 所以 cos( A ? C ) ? cos A cos C + sin A sin C ? ? + 8 4 8 4 16 25.解:(1)在△ABC 中,
因为 a ? c ,所以 A ? C ,故 A 为锐角,所以 cos A ? 1 ? sin 2 A ?
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 , 2 因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π 3
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(2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? 4 2 4 2? 3 ? ?

?

?

? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3
因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π , 3 3 故 π ? 2 A ? π ? 5π ,因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 2 所以 3 ? T ≤ 9 2 4

?

?

?

?

?

?

cos A ?
26.解:(1)由题意,得

b2 ? c 2 ? a 2 ?bc 1 ? ?? 2bc 2bc 2

A?
所以

2? 3

???? ??? ???? ??? ? ? ? 1? AC ? AB ? AC AB cos A ? bc ? ? ? ? ? ?8 ? 2? (2)因为 ,所以 bc ? 16 1 1 3 S?ABC ? bc sin A ? ?16 ? ?4 3 2 2 2 所以
27.解:由余弦定理,得:sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA

sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC sin(A+C)=sin(B+C) sin B=sinA ∴ B=A=30° a=2,则 b=2 c?=a?+b?-2abcosC=4+4-2×2×2×(∴ c=2 3
28.解:根据题意得,BC= 12

1 )=12 2

3 km,BD=12km,CD=12km,∠CAB=75°,

设∠ACD=α ,∠CDB=β 在△CDB 中,由余弦定理得

CD2 ? BD2 ? BC 2 122 ? 122 ? (12 3)2 1 cos ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 120? 2 ? CD ? BD 2 ?12 ?12 2
于是 ? ? 45
?

在△ACD 中,由正弦定理得

AD ?

CD 12 2 ? sin ? ? ? ? 12( 3 ? 1)(km) ? sin A sin 75 2

答:此人还得走 12( 3 ?1) km 到达 A 城
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29.

30.解: (1)由题在 ?ACD 中, ?CAD ?

?
3

, ?ADC ?

?
3

, AC ? 10, ?ACD ?

2? ?? . 3

? 2? ? 10sin ? ?? ? 5 3 CD AD 10 ? 3 ? 由正弦定理知 ,得 CD ? , AD ? ? ? ? 2? sin ? sin ? ? sin ? sin sin ? ?? ? 3 ? 3 ? ? 2? ? 60 3 ? 40sin ? ?? ? ? 3 ? ? 80 ? S ? 4 AD ? 8 BD ? 12CD ? 12CD ? 4 AD ? 80 ? sin ?
? 20 3 3 ? cos ? 2? ? ?? ? 60 ? ? x ? ? sin ? 3 ? ?3

1 ? 3cos ? 1 ,令 S ' ? 0 ,得 cos ? ? 2 sin ? 3 1 1 1 当 cos ? ? 时, S ' ? 0 ;当 cos ? ? 时, S ' ? 0 ,? 当 cos ? ? 时 S 取得最小值 3 3 3
(2) S ' ? 20 3 此时 sin ? ?

2 2 5 3 cos ? ? 5sin ? 5 6 , , AD ? ? 5? 3 sin ? 4 20 ? 5 6 千米时,运输成本 S 最小 4

? 中转站距 A 处
31.解:(1)

f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 6 2? ?T ? ? ?. 2
(2)由 f ( A) ? 4 ,? f ( A) ? 2 sin( 2 A ? 又? A为?ABC 的内角,?

?

?

?

6 5 ? ? 2 A ? ? ? ,? A ? . 6 6 3

? 2A ?

?
6

6

) ? 3 ? 4 ,? sin( 2 A ? 13 ?, 6

?

1 )? . 6 2

?

?

? S ?ABC ?

3 1 3 , b ? 1 ,? bc sin A ? ,? c ? 2 2 2 2
1 ? 3 ,?a ? 3. 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?
32.

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33.

第 15 页,共 22 页

34.解:(1)方法一:由 acosC+ccosA=2bcosB 及余弦定理,得

a2+b2-c2 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a× +c× =2b× 2ab 2bc 2ac
化简,得 a +c -b =ac. 所以 cosB=
2 2 2

a2+c2-b2 1 = 2ac 2

因为 B∈(0,π ), π 所以 B= 3 方法二:由 acosC+ccosA=2bcosB 及正弦定理,得 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB 即 sin(A+C)=2sinBcosB, 因为 A+B+C=π ,所以 sin(A+C)=sinB≠0, 1 所以 cosB= 2 因为 B∈(0,π ), π 所以 B= 3

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2π 3 3 (2)sinA+sinC=sinA+sin( -A)= sinA+ cosA 3 2 2 π = 3sin(A+ ) 6 2π π π 5π 因为 0<A< ,所以 <A+ < , 3 6 6 6 1 π 所以 <sin(A+ )≤1, 2 6 3 , 3] 2

所以 sinA+sinC 的范围是(
35.解:(1)∵

A, B, C 成 等差数列,∴
B?

2B ? A ? C ,

又 A ? B ? C ? ? ,∴ 又 cos C ?

?
3

,

6 3 ,∴ sin C ? , 3 3
AB BC ? , sin C sin A

由正弦定理得: 所以 AB ?

BC 3 3 ? sin C ? ? ? 2; sin A 3 3 2

(2)设角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,由余弦定理得:

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,
即 3 ? a ? c ? ac ,
2 2 2

又 a ? c ? 2ac ,当且仅当 a ? c 时取到等号,
2 2

所以 9 ? a ? c ? ac ? ac
2 2

1 9 ac ? , 2 2 ??? ??? ? ? 9 所以 BA ? BC 的最大值是 2
所以 BA ? BC ?
36.解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

??? ??? ? ?

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).
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即 2C ? A ? B , 得 C ? ? 3 (2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 4 2 2 3 3 3 3

本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等.讲评时, 应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略,同时注意三角形内本身一些关系在解决问 题时的应用,例如两边之和大于第三边,sin(A+B)=sinC,面积公式及等积变换等. (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 4 2 3 3 3 3

法二:由正弦定理得: c ? 2 R sin C ? 3 . 2 由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,故 a 2 ? b 2 ? 3 ? ab . 4 因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ? 3 . 4
2 2 2 2 又 ab ≤ a ? b ,故 a 2 ? b 2 ≤ 3 ? a ? b ,得 a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 2 4 2

因此, 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 4 2
37.解:设∠AOC=θ ,设渔网的长度为 f(θ ).

π 2π π 由 CD∥OA,∠AOB= ,∠AOC=θ ,得∠OCD=θ ,∠ODC= ,∠COD= -θ . 3 3 3 在 Δ OCD 中,由正弦定理,得 CD= 所以,f(θ )=θ +1+ ∵ f ′ (θ )=12 2 2 π π sin( -θ ),θ ∈(0, ) 3 3 3

π sin( -θ ) 3 3

π π π π cos( -θ ),因为 θ ∈(0, ),所以 -θ ∈(0, ), 3 3 3 3 3

π 3 π π π 令 f ′ (θ )=0,得 cos( -θ )= ,所以 -θ = ,所以 θ = . 3 2 3 6 6

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θ

π (0, ) 6 +

π 6 0 极大值

(

π π , ) 6 3 -

f ′
(θ )

f(θ )

π +6+2 3 所以 f(θ )∈(2, ]. 6 π +6+2 3 答:所需渔网长度的取值范围是(2, ] 6
38.解:(Ⅰ)

f ( x) ? a sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

由 f (?

?
3

) ? f (0)得 ?

3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 2 2 2

因此 f ( x) ? 令?

?
2

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6

?

? 2k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? , k ? Z 得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? , k ? Z

故函数 f (x) 的单调递增区间 ?? (Ⅱ)由余弦定理知:

? ? ? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 3 ? 6 ?

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac cos B c cos B c ? ? ? 2 2 2 2ab cosC b cosC 2a ? c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C ,
又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A 即 cos B ?

1 ? ,所以 B ? 2 3

当 x ? ? 0,

? ? ? ?? ? ?? ? 时, 2 x ? 6 ? ? ? 6 , 2 ? , f ?x ? ? ?? 1,2? ? ? ? 3?

故 f (x) 在 ?0, B ?上的值域为 ?? 1,2?
39.

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40.

第 20 页,共 22 页

41.解:(1) 由 a ? b ? c ? ab ,所以 cos C ?
2 2 2

1 , 2

∵0 ? C ? π , ∴C ? ∵ 3 c ? 14sin C , ∴c ?

π , 3

14 π sin ,∴ c ? 7 3 3
1 π ab sin 2 3

(2) S?ABC ?

2 2 2 2 由 a ? b ? c ? ab ,得 49 ? (a ? b) ? 3ab ? ab ? 40 ,

1 π ab sin ? 10 3 [来源:学.科.网 Z.X.X.K] 2 3 42.解:(1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .
故 S ?ABC ?

??? ???? ? 1 ? AB ? AC ? S ,? bc cos A ? bc sin A , 2 2 tan A 4 1 ? tan 2 A ? ?? ? cos A ? sin A , ? tan A ? 2 2 3 2 1 ? tan A ??? ??? ? ? ? (2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 , ? tan A ? 2,0 ? A ? , 2
? sin A ? 2 5 5 , cos A ? 5 5
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? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b? ? sin B ? 5 , sin C sin B sin C ?
1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ?3 2 2 5 【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查运算变形 和求解能力.

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