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2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答修正


2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答修正
第三题解答的修正: 三、给定正整数k ≥ 2,a,b 是非零整数,且 a+b 为奇数,假定方程ak x ? bk y = a ? b 有整 数解 x,y, 其中. 0 < | ? | ≤ 2,证明:|a-b|是某个整数的 k 次幂 解: 因0 < | ? | ≤ 2, ∴ ?2 ≤ x ? y ≤ 2 且 x

≠ y,x, y 是整数。 ∴ x ? y = ±1 或 x ? y = ±2. a + b 是奇数,a, b 一奇一偶。 k 当a 为奇数, x = y + 1 时:a x ? bk y = a ? b。 ak y + ak ? bk y = a ? b.
a k ?b k y a ?b

+ a ?b = 1

ak

a ? b (ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 )y ak + =1 a?b a?b a + b 为奇数, ∴ ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 为奇数 y 为整数 ∴
ak a ?b

也为整数, a ? b 是ak 的约数。

当|a ? b| = ak 这时:y = 0, x = 1是方程的解。 t r 当|a ? b| ≠ ak 时,只能 a ? b = c1 c2 , 这里 t, r ≤ k, c1, c2 是 a 的约数, 可设 a = c1 c2 c3 c1, c2 至少有一个 ≠ 1 t r t r k t r k t ?1 r ?1 k k 于是b = a ± c1 c2 , b = [a ± c1 c2 ] = [c1 c2 c3 ± c1 c2 ] = (c1 c2 )k (c3± c1 c2 ) ak ? bk y ak + =1 a?b a?b t ?1 r ?1 k [ c1 c2 c3 )k ? c1 c2 k (c3± c1 c2 ) ]y (c1 c2 c3 )k + =1 t r t r ±c1 c2 ±c1 c2 k ?t k ?r k k ?t k ?r t ?1 r ?1 k k ?t k ?r k [±c1 c2 c3 ? c1 c2 c3± c1 c2 ) y ± c1 c2 c3 =1
k ?t k ?r t ?1 r ?1 k k ±c1 c2 [2c3 ? (c3± c1 c2 ) ]y=1,

因为 c1, c2 至少有一个 ≠ 1, ∴ 这是不可能的。 ∴ a ? b 只能 = ak 当b 为奇数时:ak x ? bk y = a ? b。 a ? b (ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 )y ak ? bk + bk + =1 a?b a?b a ? b ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 (y + 1) bk + =1 a?b a?b ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 y + 1 + bk =1 a?b

同理: a ? b = bk 时,y = ?1, x = 0 是解。 k a ? b ≠ b 时,同理可证,方程无整数解。 当x = y ± 2 时:
a k ?b k y a ?b

±

2a k a ?b

= 1,同理可证,方程无整数解。

∴ 方程有整数解时,|a ? b||是 ak 或bk


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