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湖北省鄂州二中2012届高三11月阶段性检测(数学文)


湖北省鄂州二中 2012 届高三数学十一月份阶段性检测题(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合 M∩N 等于( C ) A.{x|x<-2} B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} 2.已知 a、 b ? R, 那么“ a 2 ? b 2 ? 1 ”是“ ab ?1 ? a ? b ”的 (B ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若关于 x 的不等式 log 2 ( x ? 1 ? x ? 7 ) ? a 恒成立,则 a 的取值范围是( A ) A. a ? 3 B. a ? 3 C. a ? 3 D. a ? 3 ( C )

a c 4. 已知 a, c 成等比数列, m, 和 b, c 分别成两个等差数列, m+n等于 b, a, b n, 则 A.4 B.3 C.2 D.1

5. 已知 ?ABC中, ? a, CA ? b, a ? b ? 0, S ?ABC ? CB
(D ) A. ?

15 , a ? 3, b ? 5 ,则 a与b 的夹角为 4
5? 6

5? 6

B.

? 6

C.

? 5? 或 6 6

D.

6.若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值是( D ) A. ?1 B. 2 C. ?

1 ? 2 2

D.

1 ? 2 2

7. 已知函数 f (x) 是 (??,??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当

x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1), 则f (2009 ) ? f (?2010 ) 的值为
A.-2 B.-1 C.1 D.2



C



8.已知向量 a , b 满足| a |=3| b |≠0,且关于 x 的函数 f(x)= 上单调递增,则 a , b 的夹角的取值范围是(B A.[0,

?

?

?

?

1 3 1 ? 2 ? ? x + | a |x + a · b x 在 R 2 2

?

?



? ? ) B. [0, ] 2 3

C.(

? ? , ] 3 2

D.(

? 2? , ] 3 3

an+2 an+1 * 9、定义:在数列{an}中,若满足an+1- an =d(n∈N ,d 为常数),我们称{an}为“比等差数 a2009 列”.已知在“比等差数列”{an}中,a1=a2=1,a3=2,则a2006的个位数字是( C ) A.3 B.4 C.6 D.8

10、某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物 的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A ) A、5km 处 B、4km 处 C、3km 处 D、2km 处

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在题中横线上) 11、 在△ABC 中, ∠B=45°, ∠C=60°, a=2( 3 +1), 那么△ABC 的面积为__6+2 3 ______

12 . 设 函 数 f ( x) ? x x ? a , 若 对 于 任 意 x1 , x 2 ? [3,??), x1 ? x2 , 不 等 式

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x1 ? x 2
2

a?3



13. 已知函数 f(x)=ax -1 的图像在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 8x-y+2=0 平行, ? 1 ? 2011 ?的前 n 项和为 Sn,则 S2011 的值为 若数列? f?n?? ? 4023 14. 已知 x ? 2 y ? z ? 4 则 x ? 2 y ? 2 z 的最小值为
2 2 2

15. 已知等差数列 ?an ? 中,若 am ? a, an ? b 则有 am? n

2 7 am ? bn ,则在等比数列 ?bn ? 中,若 ? m?n

bm ? p, bn ? q 则会有类似的结论为: bm ? n ? (

p m m1 n ) ? ______. qn

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

16. (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得: 此不等式化为不等式组: ?

x ? a ? 3x ? 0
或?

?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0

?x ? a 。 ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?

a 2

? ,由题设可得 ?

a = ?1 ,故 a ? 2 。 2

17. (本题满分 12 分 12 分)设 a,b∈R+,a+b=1. (1)证明:ab+错误!未找到引用源。≥4+错误!未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。 ; (2)探索、猜想,将结果填在括号内; a2b2+ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ≥ ( _________ ) a3b3+ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ≥ ; ( _________ ) ; (3)由(1) (2)你能归纳出更一般的结论吗?请证明你得出的结论.

17、解: (2) 16

1 1 , 64 16 64
1 1 ? 4n n n a b 4
n

(3)a n b n +

1 证明:令a n b n ? m由( )知,m ? (0, )n ) 1 ( 4 ,.. ,.. ,.. 1 1 1 n 令y = a n b n + n n = m + , m ? (0, ) ) ( a b m 4 1 由( )知当m ? ( )n时,函数有最小值 1 4
18. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sin C=2sinA. (1)求 AB 的值; π? ? (2)求 sin 2A-4 的值. ? ? AB BC 18.解析: (1)在△ABC 中,根据正弦定理,sin C=sin A. sin C 于是 AB=sin ABC=2BC=2 5. (2)在△ABC 中,根据余弦定理, AB2+AC2-BC2 2 5 得 cos A= = 5 . 2AB· AC 5 于是 sin A= 1-cos2A= 5 . 4 从而 sin 2A=2sin A· A=5, cos 3 cos 2A=cos2 A-sin2 A=5. π? π π 2 ? 所以 sin 2A-4 =sin 2Acos4-cos 2Asin4= 10 . ? ? 19. (本题满分12分) 在数列{an}中,a1=1, 3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N).

1 (1)试判断数列{a }是否为等差数列; n 1 (2)设{bn}满足 bn=a ,求数列{bn}的前 n 项为 Sn;
n

1 (3)若 λan+ ≥λ,对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. an+1 1 1 解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得a - =3(n≥2), an-1 n 1 故数列{a }是等差数列. n (2)由(1)的结论可得 bn=1+(n-1)×3,所以 bn=3n-2, ∴Sn= n(1+3n-2) n(3n-1) = . 2 2

1 1 1 1 (3)将 an=b = 代入 λan+ ≥λ 并整理得 λ(1- )≤3n+1, 3n-2 an+1 3n-2 n (3n+1)(3n-2) ∴λ≤ ,原命题等价于该式对任意 n≥2 的整数恒成立. 3n-3 (3n+1)(3n-2) (3n+1)(3n-4) 设 Cn= ,则 Cn+1-Cn= >0,故 Cn+1>Cn, 3n-3 3n(n-1) 28 28 ∴Cn 的最小值为 C2= 3 ,∴λ 的取值范围是(-∞, 3 ]. 20. (本题满分 13 分) 为了提高产品的年产量, 某企业拟在 2010 年进行技术改革. 经 调查测算,产品当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元(m≥0)满足 x=3- k (k 为常数). 如果不搞技术改革, 则该产品当年的产量只能是 1 万件. 已知 2010 m+1 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于 市场行情较好,厂家生产的产品均能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每 件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元(利润=销售金额-生产成本-技术改革费用)表示 为技术改革费用 m 万元的函数; (2)该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 20.解:(1)由题意可知,当 m=0 时,x=1(万件), 2 ∴1=3-k,∴k=2,∴x=3- , m+1 每件产品的销售价格为 1.5× 8+16x (元), x

∴2010 年的利润 y=x· -(8+16x)-m 16 =-[ +(m+1)]+29(元)(m≥0). m+1

(2)∵m≥0,∴

16 +(m+1)≥2 16=8,∴y≤29-8=21, m+1

16 当 =m+1,即 m=3,ymax=21. m+1 ∴该企业 2010 年的技术改革费用投入 3 万元时,厂家的利润最大. 21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

a (a ? 0) ,设 F(x) ? f (x) ? g(x) 。 x
1 2

(Ⅰ)求F(x)的单调区间; (Ⅱ) 若以 y ? F ( x)( x ? ?0,3?) 图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值。 (Ⅲ)是否存在实数 m ,使得函数 y ? g (

2a ) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x 2 ) 的图 x ?1
2

象恰好有四个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由。 21.解:(Ⅰ)

a F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ( x ? 0) x

F ' ( x) ?

1 a x?a ? 2 ? 2 ( x ? 0) ?2分 x x x

? a ? 0,由F ?( x) ? 0 ? x ? (a,??),? F ( x)在(a,??)上单调递增。
由 F ?( x) ? 0 ? x ? (0, a),? F ( x)在(0, a)上单调递减 。

? F ( x)的单调递减区间为( 0, a),单调递增区间为( a,??)
(Ⅱ) F ?( x) ?

x ?a 1 x?a (0 ? x ? 3), k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? (0 ? x0 ? 3)恒成立 2 2 x x0

1 2 1 2 1 a ? (? x0 ? x0 ) max 当 x0 ? 1时, x0 ? x0取得最大值 ? 2 2 2 1 1 ? a ? ,? anmn ? 2 2 2a 1 1 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图象与 (Ⅲ)若 y ? g ( 2 2 2 x ?1

y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1) 的图象恰有四个不同交点,


1 2 1 x ? m ? ? ln(x 2 ? 1) 有四个不同的根,亦即 2 2 1 1 1 1 m ? ln(x 2 ? 1) ? x 2 ? 有四个不同的根。令 G( x) ? ln(x 2 ? 1) ? x 2 ? , 2 2 2 2
2x 2 x ? x 3 ? x ? x( x ? 1)( x ? 1) 。 ?x? ? x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1

则 G?( x) ?

G 当 x 变化时 G?(x). (x) 的变化情况如下表:

x
G?(x) 的符号

( ? ?, 1) ?
+ ↗

(-1,0) ↘

(0,1) + ↗

(1, ? ? ) ↘

G(x) 的单调性

1 , G( x)极大值 ? G(1) ? G(?1) ? ln 2 ? 0 。 2 1 1 1 画出草图和验证 G(2) ? G(?2) ? ln 5 ? 2 ? ? 可知,当 m ? ( , ln 2) 时, 2 2 2
由表格知: G( x)极小值 ? G(0) ?

y ? G( x)与y ? m恰有四个不同的交点,

1 2a 1 1 ?当m ? ( , ln 2)时,y ? g ( 2 ) ? m ? 1 ? x2 ? m ? 的图象与 2 2 2 x ?1

y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1)的图象恰有四个不同的 交点。


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