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01.与内接三角形相关的竞赛题


2  

中 等 数 学 

●数学活动课程讲座● 

与 内接 三角 形相 关 的竞 赛题 
刘 清 泉 
( 浙江省宁波市镇海蛟川书院,12 0  35 0 )
中 图分 类 号 :O 2 .  13 1 文 献标 识 码 :   A 文章 编 号 :10 6 1 ( 02 0 0 0

0   0 5— 4 6 2 1 ) 6— 0 2— 4

( 本讲 适合初 中)  

事实 上 , 由 
C 上 A A  - C F  .J j B   D
j  AFC =   ADC =9   0。

若一个 三角 形 的三 个顶点 均在一个 图形  的边界 上 , 称此 三 角 形为 该 图形 的 内接 三  则 角形. 内接 三角 形 有 关 的 问题 大多 存 在 于  与 平面几何 的三 大 内容—— 三 角形 、 四边 形 及  圆—— 之 中. 解题 过程 中 , 在 广泛 地运用 到 了  与三 角形 、 四边形及 圆等诸 多知识 , 同时还涉  及 到 了代数 中 函数 、 方程 等重要 的思想 方法 .  
1 三角形 的 内接 三角形 

A F、 C四点共 圆  、 D、
j  BDF =   BAC.  

同理 , C E= B C    D   A.
于是 , B F= C E    D   D .

同理 , C D= A F, A E= B D    E   E   F   F.

() 2 将命 题用 几何语 言表述 为 :   如图 1在锐角△ A C中, , B 记  B F = D  
CDE = ,     C ED =   A EF = ,     AFE =  

例 1 ( ) 角三 角 形 的 垂 足三 角 形 是  1锐
“ 路三 角形 ”  光 ;

( ) 角三角 形 的“ 2锐 光路 三角 形 ” 是垂 足 
三角形 ;  

B D= 证 明 :D、 E、 F是 △ A C的三  F  . A B C B

条高.  

() 3 已知锐角三角形, 求其 内接三角形  中周长 最小 者.   证明 () 1 将命题用几何语言表述为:  
如图 1 ,已 

【 分析】 利用三角形 的内角 和与 已知条 
件得 “ 四边 形 的 外 角 等 于 内对 角 ” 从 而 , . 在 

四点共圆的基础上使问题得以证 明.  
事实上 ,   A C+ +a=10 , 由 B   8。  
C +0 + =1 0。, A f  8  

知 锐 角 △ AC B  的三 条 高 A   D、 B C 交 于 点  E、 F
H 证明 :  
BDF  
=  

/  


C B+B+ :10 , A J   8。  

得 ( A C+ B A+ C B + ( /+ )   B   C   A ) 2 +3    
5 0。 4 .  

又  A C+ B A+ C B= 8 。则  B   C   A 10 ,
图l  

C DE .   CED :  

a+   = 1 0 . 卢+ 8 。 
BFD.  

AEF. AFE :    

故  C B=   A B=   A  , C  .
因此 , F、 C和 A  、   和  、 E、  、 D、 、 D、 C、  

【 分析】 利用三角形 的垂直条件, 借助 四  
点共 圆 , 过 “ 内接 四边 形 的外 角 等 于 内  通 圆 对 角 ” 使 问题 得 以证 明. ,  
收稿 日期 :0 2—0 0  2 1 2— 2

F分别 四点共 圆.  
则  A F= A F= A E= A E  D   C   B   D . 又  B F= C E, D   D 则 
删 =   C   =9 . 0。  

万方数据

21 0 2年第 6 期 

3  

所 以 ,D_ B   A 上 C _

“ 光路 三角形 ” 即是△ A C的垂 足三 角形. , B   例 2 已知 △ X Z是直角 边长 为 1的等  Y 腰直 角三 角形 ( Z= 0 )其 三个顶 点分 别    9。 ,

同理 , E上 C C B A, F上 A . B 

() 3 将命题用几何语言表述为 :   已知点 D、 ,分 别 在 锐角 △ A C的三  E、 B
条 边 B 、A A C C 、B上 运 动. 确 定 周长 最 小 的  试
△ D F  E .

在等腰 R △ A C  C= 0 ) t B( 9 。 的三边上. 求  △ A C直角边 长 的最大 可能值. B   (0 2上 海市 初 中数 学竞 赛 ) 20 ,  

【 分析】 利用轴对称变换 , 内接△ D F 将 E 
三边形成 的封 闭折线 段转 化为开 放 的两点之   间 的折线 段 , 此基 础 上 确认 其 中周 长 最 小  在 的是锐 角△ A C的垂 足三 角形. B   如 图 2 首先 , , 在边 B C上任 取一 点 D, 固  定 D 作  关   .
于A A B、 C的对 

【 分析 】 显然 , 本题应该分点 z在△ A C B  的斜边上和直角边上两种情形进行讨论 , 借 
助几何方法和代数方法 ( 引入变量 , 借助方  程、 函数 的知识 ) 解. 求  
解  ( ) 图 3 若 顶 点 z 在 斜 边 A   1如 , B 上, X 取 Y的 中点  , 联结 C Z C 并 作  M、M、 Z, 边A B上 的高 C   N.
则C Ⅳ≤C Z≤C +   M MZ
1  
=  

称点 D 、 ,   联    结 D n A   t 与 B、 I ) A 分 别 交 于  C 点 ,、 , 结    联
F E . 时, D、 D 此  
图2  

1  

一 

y+ Y X = 2.   = Y 4  

故 C 4 C <2 A: 2 N .  ̄  

内接 △ D F 的周 长 转 化 为 两 定 点 D 、 之  E    间的一 条折线 段.   显 然 , D 、 E、 , 当  F、 D, 共线 时值 最小 , 四点   即△ D F为 固定 点 D后 周长 最 小 的 内接 三  E
角形.  
图3   图4  

其次 , 当点 D在 B C上 运动 时 , 联结 A   D、
A  A ” 如 图 2 . D 、D ( )   则 A A   A  且  D= D = D ,
D  AB =   DAB , D,   , =/DAC. AC  

() 2 如图 4 若顶 点 z在 直角边 c ( , A 或 
C B上 ) 由对称 性 , , 不妨 设 点 z在  上 , 且  C  ,Z= , 过 y作 Yt X= C Y并 I 上  于 点 H  易证 , Z H— △ X C  △ Y C / 3 Z.
则H Z=C  , X= HY=C Y Z= .  

故  D A   2 B C  D =   A .  

因此 , 当点 D在 B C上 运 动 时 , A     △ DD” 是一个 顶角不 变 的等腰三 角形.   所以 , 当点 D为边 B C上 高的垂 足时 ,D A 
最小.  

故△ A Y为等腰直 角三角形 , A = H 有 H  
设A b . C= ≥0 则 
2 ,+ =b = ,     =b一2 . y 

在△ X C中 , Z 由勾股定 理得 
Y +( 一2 )   b    =1  
AD"   E. ADF =   AD    ADE = F。  

最后 , 图 2知  如

5  一 b y 4 y+b  一1=0  .

在 △ A    , D D 中 有  A     A ". D F= DE 
故  B F= C E  D   D.

由 A=1 b 一 0 b 一1 I0 得 b   . 6   2 (  ) , ≤ >  

易得  B D = B D = A E, F   F    F  
CED :  CEDI=  AEF.     

当: 时,  譬  6 ,竽, .   , : :
综合 ( ) ( ) 知 △ A C直角 边 长 的最  1 、2 , B
大 可能值 为  .  

故 所求 的周长 最 小 △ D F是 △ A C的  E B

万方数据

4  

中 等 数 学 

2 四边形 的 内接三 角形 

中心 旋转 9 。 到△ A E . 0得 D,  
从而 ,E =A 】 E E =9 。 A E , A 1 0.     又E B D F: E+ F:E D+ F= 1 贝  l D E  0 F,
△A   △A  E
1  

例 3 如 图 5 E是等边 △ A C边 B , B C上  的一 点, A  以 E 为 边 作 等 边  /  E X F, 联 结  A
C . C 的 延  F在 F 长 线 上 取 一 点 
D 

故  E F= EA    E E =4 。 A   1F= , A 1 5. I t  

E 

C  

() A   2 在 E上取 点 M。使 A = A , , M  M 联  结 肘】  】 . D、 Ⅳ 则 
△ A M  △ A M】△ A M  I A M1 B D , N X N .  

D, 使  D F = A   E C 试 判 断  F.

图5  

于是 , A M = A M    B   D ,  
BM = DM  , N = M     M M

四边形 A C B D的形状 , 并证 明你 的结 论.   (03 重 庆市初 中数学 竞赛 ) 20 ,   证 明 四边形 A C B D是菱形.   由  B E=6 。   E C, A 0 一 A  
C AF =6 0。一   EAC.  

又  N M  0 , D =9 。则 
1   =gl D  + ND   .

掇 M = M2   B +DN . 2  

得 

B E= C   A   A 因为 A A A A 所 以 , B= C,E= F,  
△   E  △ c F A  =/C A. F  
E AC=   E AC +6 。  0, C FE +6   O ̄

例 5 如 图 7 正方 形 A C , B D的边长 为 l  , 点 E F、 、 G分 别 在 边  A A B 上 ( 与  B、D、 C 可 顶 点重合 ) 若 / F   . xE G 是 等 边 三 角 形, 求  △E G F 面积 的最 大值  和最小 值.   (00 武 汉 市初  21, 图7   中数学 竞赛 )   解 如图 7 作 E _ F . K是 边 F   , K l G则 - G
的中点. 联结 A B . K、 K 
由 E G= E G= E F   K   B   K 
= 

注意 到 ,  
B EA=   CF   A= EC + A   CF + E   EF = A  

于是 。 E C= C .   A   朋   从 而 。 D F= E C= E C    A   F   A.

易知 ,E= F, A CI A D  A A   E    F . m 故/ E   △ A D XA C F 
AC=A 且   A D. DC= A E=6 。   C 0 

△ A D和/ B C XA C都是等 边三 角形 
=  AB =BC    m I CD =DA 

EAF =9 0。.  

得 E、 、 、 K G B和 E、 、 A分别 四点共 圆. K F、  
故  K E= E K= 0 , B   G 6 。 
K=   EFK =6 . 0。  

四边形 A C B D是菱形 .   例 4 如 图 6,   在正 方 形 A C 中 ,E、   BD F

所 以 , A K为正 三角形 , △ B 即  为定点.  

因此 , F ∥A 当 G B时 , E G的面积最  △ F 小 , 时, 此  
Sz G=- -   2  ̄y   rc = 4   .  

【 析 】 是 一 道  分 这
非常 典 型 的 “ 方 形 中  正

图6  

当点 F与 D或点 G与 C重 合 时 , E G △ F  的面积最 大 , 此时 ,  

含 4。 5 三角形” 的问题. 通过旋转变换可使 问   题得 以解决.   证明 ()   1 如图 6 将△ A C以点 A为 , B  
万方数据

J , 等c s。     =
=  

(  一 】4 丢   :g 2- 2 

21 0 2年第 6期 

5  

3 构造 内接 三角 形  例 6 已知 a bc  Y 均为 正 实数 , ,、、、、 且 
0+ b+  = y=C  = . 明 : + k证  
+   +c y<k .   

是 MP的中垂线.   2 正方 形 A C 的边 长 为 1 点  、『 . BD , .分  7 、 别在 边 B C 上. △ C C、 D 若 MN 的周 长 为 2  , 求:   ( ) M N 的大小 ; 1  A  

证明

如 图 8 构  ,

造 等边 △ A C 使 A   B , B =B C=C =k 点 D、 A ,   E、 F分 别在 边 A B   B、 C、
c A上 , A =a, 且 D BE= I   : i  
层   C  

( ) M N面积的最小值. 2△ A   (0 3 宇振杯 上海 市初 中数学竞赛 ) 20 ,   提 示 :1 4 0利 用旋转 变换求 解. ( )5.   ( )2— . 2√ 1可设 C = ,N= , N= . M   C YM    
利用 “ 主元 法 ” 助一 元 二 次 方 程 的判 别 式  借 确定 的取 值范 围.  
sn 6 , i   0。 

bC , F=C 则  .

图8  

S 口  1 2 i  0。, 。  1   c:   sn 6 s  ,:  

3 如 图 1 , 正  . 1设 △ E G内接 于 正 方 形  F

s :  n 。△ 导y 。 伽 ÷ s6,聊:cn . i0J  s s6  i0
由 s B >s F   D +s E ,     c  n +s E   F得
O, x+c   . f +b y<  

A C 其 中 , F G分  B D, E、 、 别在 边 A A B B、D、 C上.  

若A 2 历 E=


求 的  器值
图 1  1

例 9 已知 a b . 以  , >0 求
、 h   、 

提 示 : 例 5 得  由 △A ( 刷r 为正三 角形.  

为三边 长 的三角形 的面积.   解  如 图 9 构  ,

作 K J A 得 M 为边 A M - B, B的中点.  
C  

造矩形 A C 使 A   D B D, B  
=C =2 A =B   F D b. D C  

不妨 设 A 6 . B= a 则 
EB =2 ME =0, a, MK =6a i  0。=3 sn 6   .  

=2 , E、 a且 F分 别 为  C A 的 中 点.此  D、 D 时 , △ D F中 , 在 E  
EF =   , BF =  

故E   K=
图9  
,  

=   口  2 ,
=4 T 丁 ̄ f
n ,  

EG _  

B G: ̄ G - E : 0 ̄ E B — 2— 2   -- 14 。
.  

B E:、 丽  

.  

设 s F 鼢 呲D s F s E s F   :s —  —   —    
=4  6=  

所 ,=   以G   学. B
4 如 图 1 , 直 角  . 2在
C  

练 习 题 
1 如图 1 , . 0 在菱形  A C 中 , A =10 , BD   0。   Ⅳ分 别是边 A B   B、 C 的 中 点. 若  上 C  D 于 点 P, 则  N C的度  P 数 为一  


梯形 A C 中, A C BD   B 
D 

=  

BCD =9 . B = 0。 A  
j  I f

B C=1 点  在边 日   . 0, C  

上 , 得 △ A M 是 正  使 D 三角 形.则 △ A M 与  B
图1 0  
△ D M的面积 和是 一 C  

图l 2  

( 0, 2 9全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛) O   提示:0. 5 。过点 Ⅳ作 N G上 P 可证 N   M, G
万方数据

(0 9新 知杯 上海市 初 中数 学竞赛 ) 20 ,  

提示: 仿例 4 答案 : 0 10 . . 3 — 5    0

与内接三角形相关的竞赛题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 刘清泉 浙江省宁波市镇海蛟川书院,315200 中等数学 High-School Mathematics 2012(6)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201206001.aspx


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