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高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:数列 第8课时等差数列的前n项和(3)(教师版)


第 8 课时等差数列的前 n 项和(3) 【学习导航】

知识网络

学习要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; 3.利用等差数列解决相关的实际问题。

【自学评价】
等差数列的性质: 1.当公差 d ? 0 时,等差数

列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率 为公差 d ;前 n 和 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

d 2 d n ? (a1 ? )n 是关于 n 的常数项为 0 的二次函数. 2 2 2.若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则 ?
为常数列。 3.当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq , 特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p 4.在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列是等差数列. 5.若 {an } 、是等差数列,

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也成等差数列 6.在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶-S奇 ? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? S偶 ? a中 , S2n?1 ? (2n ?1) ? a中
(这里 a中 即 an ) ; S奇 : S


? k ( ) 1 :? k



听课随笔

7. 若等差数列 {an } 、 且 {bn } 的前 n 和分别为 An 、Bn ,

An a (2n ? 1)an A2 n ?1 ? f ( n) , ? 则 n ? Bn bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

? f (2n ? 1) .
8.如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等 差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .

【精典范例】
【例 1】某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,这个剧 场共有多少个座位? 【解】 这个剧场各排的座位数组成等差数列,其中公差d=2,项数n=20,且第20 项是a20=60?

-1-

由等差数列的通项公式,得 所以 a1 ? 22 由等差数列的求和公式,得

答 这个剧场共有 820 个座位. 【例 2】某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm已知卫 生纸的厚度为0.1mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1m)?

【解】卫生纸的厚度为0.1mm,可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆,然 后分别计算各圆的周长,再求总和.由内向外各圈的半径分别为 20.05,20.15,…,59.95. 因此,各圈的周长分别为

因为各圈半径组成首项为 20.05,公差为 0.1 的等差数列,设圈数为n,则 59.95=20.05+(n-1)×0.1, 所以n=400. 显然, 各圈的周长组成一个首项为40. 1π , 公差为0. 2π , 项数为400的等差数列. 根 据等差数列的求和公式,得

答 满盘时卫生纸的长度约为100m. 【例 3】 )教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储 蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利 率为 2.1‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约存入多少元? (2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元?此时3年后本息合计约为多少?(精 确到1元) 【解】 (1)设每月存A元,则有 A(1+2.1‰)+A(1+2×2.1‰)+…+A(1+36×2.1‰)=20000 利用等差数列求和公式,得

-2-

解得 A≈535(元) (2) 由于教育储蓄的存款总额不超过2万元, 所以3年期教育储蓄每月至多可存入 555(元) .这样,3年后的本息和为

20000 ≈ 36

答 欲在3年后一次支取本息2万元,每月大约存入 535 元.3年期教育储蓄每月至多存入 555 元,3年后本息合计约 20756 元.

追踪训练一
1. 已知 an = A.第 12 项 C.第 12 项或第 13 项
n n ? 156
2

(n∈N*), 则数列{an}的最大项是( C ) B.第 13 项 D.不存在

2. 已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a101=0,则有( C ) . A. a1 ? a101 >0 B. a1 ? a101 <0 C. a1 ? a101 =0 D. a51 ? 51 3. 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为5°的等差数列,且最小角为120°,问它是 听课随笔 几边形.

【答案】9 边形 4.某钢材库新到200根相同的圆钢,要把它们堆放成正三角形垛(如图) ,并使剩余的圆 钢尽可能地少,那么将剩余多少根圆钢?

【答案】将剩余 10 根圆钢 5.时钟在1点钟的时候敲一下,在2点钟的时候敲2下……在12点钟的时候敲12下,中 间每半点钟也敲一下.一昼夜内它一共敲多少下?

【答案】一昼夜内它一共敲 180 下

【选修延伸】
【例 4】已知数列 ?an ? 的通项公式为 an =

1 ,求它的前 n 项和. (2n ? 1)(2n ? 1)

-3-

分析:我们先看通项 an = 【解】 ∵

1 1? 1 1 ? ,然后将其分裂成 ? ? ? ,再求和. (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2 n ? 1 2n ? 1 ?

1 1? 1 1 ? = ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=

n 2n ? 1

点评: 如果数列的通项公式可转化为 f ?n ? 1? ? f (n) 形式,常采用裂项求和的方法.特别地, 当数列形如 ?

?

1 ? ? ,其中 ?an ? 是等差数列,可尝试采用此法. ? a n a n?1 ?
1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ?, n( n ? k ) k ? n n ? k ? n?k ? n k
2 n a n ,求 an . , a n ?1 ? 3 n ?1

常用裂项技巧如:

?

n ? k ? n 等.

?

【例 5】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 【解】由条件知

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式 ? an n ?1

累乘之,即
a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n

又? a1 ?
? an ?

2 , 3

2 3n 追踪训练二
1. 在等差数列中, 前 n 项的和为 Sn,若 Sm=2n,Sn=2m,(m、 n∈N 且 m≠n), 则公差 d 的值为 ( A ) A.-

4(m ? n) mn 2(m ? n) mn

B.-

mn 4(m ? n) mn 2(m ? n)

C.-

D. -

2. 三角形三个边长组成等差数列, 周长为 36, 内切圆周长为 6π , 则此三角形是 ( D ) A. 正 三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形,但不是直角三角形

D.直角三角形,但不是等腰三角形

-4-

?1? ,利用课本中推导等差数列前 n 项和方法,求 f ? ? ? ? 11 ? 4 ?2 的值为 5 .
3.设 f ? x ? ?
4x
x

f?

?2? ??…? f ? 11 ?

? 10 ? ? ? ? 11 ?

4.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an . 2 n ?n

【解】由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1听课随笔 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之,即
(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 ) ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(

1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 1 ? ) 所以 n ?1 n

a n ? a1 ? 1 ? ? a1 ?

1 n

1 1 1 3 1 ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an . 5.已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2
【解】 a ? 3(n ? 1) ? 1 ? 3(n ? 2) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 a n 1
3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2

?

3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

-5-


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