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2对数基本性质T


教学内容

【知识精要】
1、定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N ,那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的
b

对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数

探究:(1)负数与零没有对数(∵在指数式中 N >

0 ) (2) loga 1 ? 0 , loga a ? 1 (3)对数恒等式 如果把 a ? N 中的 b 写成 log a N ,
b

则有 a

loga N

?N

(4)常用对数:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数 log10 N 简记作 lgN (5)自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对 数,为了简便,N 的自然对数 loge N 简记作 lnN (6)底数的取值范围 (0,1) ? (1,??) ;真数的取值范围 (0,??) 2.运算性质:

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R )
复习指数运算法则 (a ) ? a
m n mn

(m, n ? R)

(ab) n ? a n ? b n (n ? R)
如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则: (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a

M ? log a M ? log a N ; N
n

(3) loga M ? n loga M (n ?R). 3.换底公式:

loga N =

logm N (a > 0, a ≠ 0, m > 0, m ≠ 1, N > 0) logm a

(1) loga b ? logb a ? 1 ; (2) log a m b ?
n

n log a b. m

【例题精讲】
例 1、将下列指数式写成对数式: (1) 5 =625
4

(2) 2 =

?6

1 64

(3) 3 =27

a

(4)( ) =5.73
m

1 3

解:(1) log5 625=4; (3) log3 27=a;

(2) log2

1 =-6; 64 (4) log1 5.73 ? m
3

变式练习:1、 将下列对数式写成指数式: (1) log 1 16 ? ?4 ;
2

(2) log2 128=7; (2) 2 =128; (4) e
2.303
7

(3)lg0.01=-2;

(4)ln10=2.303

解:(1) ( )
?2

1 2

?4

? 16

(3) 10 =0.01;

=10

2、若 3a=2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为( A ) A.a-2
a

B.3a-(1+a)2

C.5a-2 A )
2

D.3a-a2

3、 已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用表示是( A、 a ? 2 B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a

2

例 2、计算: ⑴ log9 27 ,⑵ log4 3 81,⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,⑷ log3 4 625 5 解:⑴设 x ? log9 27 ⑵设 x ? log4 3 81 则 9 ? 27,
x

?

?

32 x ? 33 , ∴ x ?
x 4 4

3 2



⑶令 x ? log ?2? 3 ? 2 ?

?

? 3 ? ? 81 , 3 ? 3 , ∴ x ? 16 3 ?= log? ? ?2 ? 3 ? ,
4 x

?1

2? 3

∴ 2? 3

?

? ? ?2 ? 3 ?
x

?1

, ∴ x ? ?1

⑷令 x ? log3

5

4

625, ∴ 3 5 4

? ? ? 625 ,
x

4

5 3 ? 54 , ∴ x ? 3

x

变式练习:1、计算(1) log5 25, (2) log0.4 1, (3) log2 ( 4 × 2 ), (4)lg 5 100 解:(1) log5 25= log5 5 =2
7 7

7

5

2

(2) log0.4 1=0
5 2?7

(3) log2 ( 4 ×25)= log2 4 + log2 2 = log2 2 (4)lg 5 100 = 2、

+ log2 2

5

= 2×7+5=19

1 2 2 log10 2 ? lg10 ? 5 5 5

5

log5 ( ? a ) 2

(a≠0)化简得结果是( C ) B、a
2

A、-a 3、 log A、1
n?1? n

C、|a|

D、a

( n+ - n )等于( B ) 1 B、-1 C、2 D、-2 ( D 2<b<4 或 4<b<5 )

4、在 N ? log(5?b) (b ? 2) 中,实数 b 的取值范围是 A b<2 或 b>5 B 2<b<5 C 4<b<5

例 3、 用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式:

xy (1)loga ; z
解:(1) log a

(2) loga

x2 y
3

z

xy = loga (xy)- loga z= loga x+ loga y- loga z z
= loga ( x
2

(2) loga

x2 y
3

z
2

y ) ? loga 3 z

= loga x + loga . 变式练习: 1、计算: (1)lg14-2lg

1 1 y ? loga 3 z =2 loga x+ log a y ? log a z 2 3

7 +lg7-lg18 3

(2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg1.2

解:(1)解法一:lg14-2lg

7 2 +lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( 3 ×2) 3

=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 ? 解法二:lg14-2lg

14 ? 7 7 7 2 ? lg 1 ? 0 +lg7-lg18=lg14-lg ( ) +lg7-lg18 ?=lg 7 2 3 3 ( ) ? 18 3

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 (2) ? ? ? lg 9 lg 32 2 lg 3 2
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 2 ? 3 lg(10) ? lg1.2 3 ? 22 lg 10
3 1 3 2 1 2

(3)

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 2 ? ? lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 2

2、求下列各式的值: (1) log2 6- log2 3 (2)lg5+lg2

解:(1) log2 6- log2 3= log2

6 ? log2 2=1 3

(2)lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1 3、 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg(xyz); (2)lg

xy 2 ; z

解:(1) lg(xyz)=lgx+lgy+lgz; (2)lg

xy 2 2 2 =lgx y -lgz=lgx+lg y -lgz=lgx+2lgy-lgz z

例 4、已知 loga x ? logc x ? 2 logb x且x ? 1 ,求证: c ? (ac)
2

loga b

[解析]? loga x ?

loga x 2 loga x ? ,? x ? 1,? loga x ? 0 , loga c loga b

?1 ?

1 2 ? ? 2 loga c ? (loga c ? 1) loga b ? loga c 2 loga c loga b
loga b

= loga (ac) ? loga b ? loga (ac)

? c 2 ? (ac) loga b

变式练习:

1、已知 x2+y2=1,x>0,y>0,且 loga(1+x)=m,loga A.m+n B.m-n
1 2

1 y ? n, 则 log a 等于(D) 1? x 1 1 C. (m+n) D. (m-n) 2 2

2、已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x A.

等于(C) C.

1 3

B.

1 2 3

1 2 2

D.

1 3 3

例 5、若

lg x ? lg y lg x ? lg y [lg(x ? y)]2 ? ? ? 0 ,求 log2 ( xy) 的值. lg x lg y lg x lg y

[解析]去分母得 (lg x ? lg y) 2 ? [lg(x ? y)]2 ? 0

?lg x ? lg y ? 0 ? xy ? 1 , ?? ?? ?lg( x ? y) ? 0 ?x ? y ? 1

? x 、 ? y 是二次方程 t 2 ? t ? 1 ? 0 的两实根,且 x ? 0, y ? 0, x ? 1, y ? 1, x ? y ,解得 t ?
5 ?1 5 ?1 ,y ? ,? log2 ( x ? y) ? 0 2 2

1? 5 , 2

? x ? 0,? x ?
变式练习:

1、如果方程 lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5· lg7=0 的两根是 α、β,则 α·β 的值是(D)

1 35 a 2 2 2、 若 lga、lgb 是方程 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个实根,求 lg( ab ) ? (lg ) 的值。 b
A.lg5· lg7 B.lg35 C.35 D.

?lg a ? lg b ? 2 ? 解: ? 1 , ?lg a ? lg b ? 2 ?
=2(4-4×

a lg( ab ) ? (lg ) 2 =(lga+lgb)(lga-lgb) 2 =2[(lga+lgb)-4lgalgb] 2 b

1 )=4 2

3、 若 f(x)=1+log x 3, g(x)=2log x 2, 试比较 f(x)与 g(x)的大小. 解: f(x)-g(x)=log x (

3 x). 4

? ?x ? 0 ? 4 (1) ? x ? 1 , 即 0<x<1 或 x> 时, f(x)>g(x) 3 ? 3 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 4 ? ? ?x ? 0 ? 4 (2) ? x ? 1 , 即 1<x< 时, f(x)<g(x) 3 ? 3 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 4 ?
(3) x=

4 时, f(x)=g(x). 3

【课后作业】 A组
1 1 logc2, , , 均为不等于 1 的正数, x>0, >0, = ab , xy=__ ______ a b c 且 y c 则 2 2 2 a+ b 2、若 lg2=a,lg3=b,则 log512=___ _____ 1- a
1、 若 logax=logby=- 3、 若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? __12_________________ 4、 lg25+lg2lg50+(lg2) = 5、若 loga2=m,loga3=n,a
2 2m+n 2

2 =12

6、 “等式 log3x =2 成立”是“等式 log3x=1 成立”的(B) A.充分不必要条件 C.充要条件 7、已知 log2 3 ? a , log3 7 ? b , 解:因为 log2 3 = a,则 ∴ log 42 56 ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 用 a, b 表示 log42 56 . , 又∵ log3 7 = b,

1 ? log 3 2 a

log3 56 log3 7 ? 3 ? log3 2 ab ? 3 ? ? log3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 ab ? b ? 1

8、设 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 16 ,求 m 的值. 解:∵ log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log3 m , ∴ log3 m ? 2 ,即 m=9.

log4 16 ? 2

9、计算(不用计算器): (1) 5
1?log0.2 3

,

(2)

log27 16 . log3 4
5 5
4
log5 1 3

(3) 2 2 l 2 ? 2 l 1 ( ) gl l g ? ? 5( ) g g l g ?? 2
2 2

解:①原式 =

5 5
log0.2 3

?

?

5 ? 15 . 1 3

②∵ log 27 16 ? log 33 2 ?

2 4 log 3 2 , log3 4 ? log3 22 ? 2 log3 2 , ∴原式= . 3 3
2

(3)原式 ? lg 2 (2 lg 2 ? lg 5) ? (lg 2 ? 1)

?lg 2(lg2?lg5 ? ) |lg 2 ?1 | ?lg 2 ?1?lg 2 ?1

10、已知 loga x= loga c+b,求 x. 解法一: 由对数定义可知: x

? a loga c ?b ? a log c ? a b ? c ? a b .
a

解法二: 由已知移项可得 loga x ? loga c ? b 由对数定义知: 解法三:? b ? loga a
b

,即 log a

x ? b. c

x ? ab c

? x ? c ? ab . ? x ? c ? ab .

? loga x ? loga c ? loga a b ? loga c ? a b

11、用 log a x , log a y , log a z 表示出(1) (2)小题,并求出(3)(4)小题的值. 、

xy (1) log a z

(2) log a

x2 y
3

8

(3) log z (47 ? 25 )

(4) lg 5 100

分析:利用对数运算性质直接计算:

(1) log a (2) log a

xy ? log a xy ? log a z ? log a x ? log a y ? log a z z

x2 y
3

z

? log a x2 y ? log a 3 z ? log a x 2 ? log a
1 1 log a y ? log a z 2 3

y ? log a 3 z

= 2 log a x ?

(3) log2 (47 ? 25 ) ? log2 47 ? log2 25 ? 14 ? 5 ? 19 (4) lg 100 ? lg10 ?
5 2 5

2 5

B组
1、在 b ? loga?2 (5 ? a) 中,实数 a 的范围是( A、 a? 或 a? 5 2 C、 2 a 3 3 a 5 ??或 ?? 2、 若 l 4ol 2) 0 x ol 3o ] ,则 ggg ? [ ( x A、 3、 3
log
3

C )

B、 2 a 5 ?? D、 3 a 4 ??
? 1 2

等于( A ) C、 8 D、 4

1 4
4

2

B、 )

1 2

2

的值是( A B、 2

A、 16

C、 3

D、 4

4、 已知 log5 3 ? a, 5 4 ? b ,则 lo 251 是( B ) g 2 log A、 a?b B、

1 (a ? b) 2

C、 ab ) D、

D、

1 ab 2

5、 已知 2 log 6 x ? 1 ? log 6 3 ,则 x 的值是( B A、

3

B、

2

C、

2 或? 2
A ) D、 0

3或 2

6、 计算 lg 3 2 ? lg 3 5 ? 3 lg 2 lg 5 ? ( A、 1
x

B、 3

C、 2

3 l 4 o 7、 已知 2 ? ,g ?y ,则 x?2y的值为( B )
A、 3 B、 8 C、 4
a b c

8 3

D、 log4 8 ) C、

8、 设 a、b、c 都是正数,且 3 ? 4 ? 6 ,则( B A、

1 1 1 ? ? c a b

B、

2 2 1 ? ? c a b

1 2 2 ? ? c a b

D



2 1 2 ? ? c a b
9、 若 logx ( 2 ? 1) ? ?1,则 x=________,若 l g 28 ,则 y=__________。 2 ?1 6 o ?y , 10、 若 fx lg ? ,且 ( ? 3x1 f (a ) o( ) )?2,则 a=___10__________ 11、 已知 la 2 b 1 c? l gb x? ____ o , l x g x l x o 4 o ac ?o ,,则 g ?g
4 12、 2 2 l (3) o g ? 2

4 _____ 7

l o g 2 ? 9 3) ? 3( ? ___4________
2

13、设 3 = 4 = 36 ,求

a

b

2 1 + 的值 a b
36

a b 解法一:有 3 ? 4 ? 36得: a ? log 3

? 2 log 3 6;b ? log 4

36

? log 2

6

所以

2 1 2 1 3 2 ? ? ? ? log6 ? log6 ? 1 6 a b 2 log3 log2 6

解法二:对已知条件取以 6 为底的对数,得:

a log6 ? 2,b log6 ? 1
3 2

2 1 2 ? log6 3, ? log6 a b 2 1 3 2 ? ? ? log6 ? log6 ? 1 a b ?
14、证明:

loga x ? 1 ? loga b logab x

证法 1: 设 loga x ? p , logab x ? q , loga b ? r 则: x ? a ∵ q?0
p

x ? (ab) q ? a q b q


b ? ar

∴ a p ? (ab) q ? a q (1?r )

从而 p ? q(1 ? r )

p ? 1? r q

即:

loga x ? 1 ? loga b (获证) logab x

证法 2: 由换底公式 左边=

loga x logx ab ? ? loga ab ? 1 ? loga b =右边 logab x logx a

1 15、已知 2 = 3 = 6 ≠ ,求证
x y z

1 1 1 + = x y z

解:令 2 = 3 = 6 = k

x

y

z

则 x = log 2 k ? = log k 2 , y = log3 k ?

1 x

1 1 = logk 3 , z = log 6 k ? = log k 6 z y

1 1 1 + = logk 2 + logk 3 = logk 6 = x y z
即证

16、已知 log18 9 = a,18b = 5, 试用 a, b 表示 log36 45 解: 18b = 5 ?b = log18 5

a + b = log 18 9 + log 18 5 = log 18 45 ?

1 = log 45 18 a+b

log18 2 1 - log18 9 1 = log45 36 = log45 18 + log45 2 = log45 18 + = log45 18 + log36 45 log18 45 log18 45
1 1- a 2-a + = a+b a+b a+b a +b 即 log36 45 = 2-a =

17、已知 loga1 b1 ? loga2 b2 ? ?? ? logan bn ? ? ,求证: loga1a2?an (b1b2 ?bn ) ? ? 证明:由换底公式

lg bn lg b1 lg b2 ? ? ?? ? ? ? 由等比定理得: lg a1 lg a2 lg an
∴ loga a ?a (b1b2 ?bn ) ? 1 2 n

lg(b1b2 ?bn ) lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn ?? ?? ∴ lg(a1a2 ?an ) lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an

lg(b1b2 ?bn ) ? ?. lg(a1a2 ?an )


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