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2014届高三数学一轮复习提分训练题:数列求和


数列求和
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S 5 =( A.7 B.15 C.20 D.25 )

解析

a2 ? 1, a4 ? 5 ? S5 ?

a1 ? a5 a ? a4 ?5 ? 2 ?

5 ? 15 2 2 .
n

答案 B 2.若数列{an}的通项公式是 an=(-1) (3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12 D.-15 ).

解析 设 bn=3n-2,则数列{bn}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列,所以 a1+a2+…+a9+

a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.
答案 A 1 1 1 1 3.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…的前 n 项和 Sn 为( 2 4 8 16 A.n +1- C.n +1-
2 2

).

1 2
n-1

1 2 B.n +2- n 2 1 2 D.n +2- n-1 2

1 n 2

1 解析 由题意知已知数列的通项为 an=2n-1+ n, 2 1 1? 1- n? ? ? n?1+2n-1? 2? 2 ? 2 1 则 Sn= + =n +1- n. 2 1 2 1- 2 答案 C 4.已知数列{an}的通项公式是 an= A.11 解析 ∵an= B.99 1 1

n+ n+1
C.120

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为( D.121

).

[Z|X|X|K]

n+ n+1

= n+1- n,∴Sn=a1+a2+…+an=( 2-1)+( 3- 2)+…+

( n+1- n)= n+1-1.令 n+1-1=10,得 n=120. 答案 C 1 5. 已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1,令 bn= (a1+a2+…+an),则数列{bn}的前 10 项和

n

T10=(
A.70

) B.75
-1-

C.80

D.85 n?3+2n+1? =n(n+2), 2

解析由已知 an=2n+1,得 a1=3,a1+a2+…+an= 10?3+12? 则 bn=n+2,T10= =75,故选 B. 2 答案 B

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an +bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于( A.16 C.4
2

2

)

B.8 D.不确定

解析 由数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an + bn(a 、 b ∈ R) ,可得数列 {an} 是等差数列, S25 = ?a1+a25?·25 =100,解得 a1+a25=8,所以 a1+a25=a12+a14=8. 2 答案 B 7. 若数列{an}为等比数列, 且 a1=1, q=2, 则 Tn= A.1- 1 n 4 1

a1a2 a2a3



1

+…+

1

anan+1

的结果可化为(

).

1 B.1- n 2 1? 2? D. ?1- n? 3? 2 ?

1? 2? C. ?1- n? 4? 3?

1 1? 1- n? ? ? 1 ?1?2n-1 则 T =b +b +…+b =1+?1?3+…+?1?2n-1=2? 4 ? n-1 解析 an=2 , 设 bn= =? ? , n 1 2 n ? ? ? ? anan+1 ?2? 2 ?2? 1 ?2? 1- 4 1? 2? = ?1- n?. 4? 3? 答案 C 二、填空题 8.数列{an}的通项公式为 an= 1

n+ n+1

,其前 n 项之和为 10,则在平面直角坐标系中,直

线(n+1)x+y+n=0 在 y 轴上的截距为________. 1 解析 由已知,得 an= = n+1- n,则 n+ n+1 Sn=a1+a2+…+an=( 2- 1)+( 3- 2)+…+( n+1- n)= n+1-1, ∴ n+1-1=10,解得 n=120,即直线方程化为 121x+y+120=0,故直线在 y 轴上的截距 为-120. 答案 -120 9.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1+a2+…+an=________. 解析 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 -1-(2 又∵a1=1 适合上式.∴an=2
n-1 n n-1 n
2 2 2

-1)=2
n-1

n-1



,∴an=4

2

.

-2-

∴数列{an}是以 a1=1 为首项,以 4 为公比的等比数列. 1·?1-4 ? 1 n 2 2 2 ∴a1+a2+…+an= = (4 -1). 1-4 3 答案 1 n (4 -1) 3
? ?bnbn+1?
n

2

2

10.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列? 项和 Sn=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 =q =27,解得 q=3.所以 an=a1q

1 ? ?的前 n

a4 a1

3

n-1

=3×3

n-1

=3 ,故

n

bn=log3an=n,
所以 1

bnbn+1 n?n+1? n n+1



1

1 1 = - .

1 1 1 1 1 1 n 则 Sn=1- + - +…+ - =1- = . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 答案

n n+1

? a1 1 ? 3 3? ?a b? * 2 ?=1 且? 11.定义运算:? ?=ad-bc,若数列{an}满足? ? ?=12(n∈N ),则 ? ? ?c d? ?an an+1? 1? ?2
a3=________,数列{an}的通项公式为 an=________.
解析 由题意得 a1-1=1,3an+1-3an=12 即 a1=2,an+1-an=4. ∴{an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列. ∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10. 答案 10 4n-2

? 1 ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 ? 12.已知数列{an}: , + , + + ,…, + + +…+ ,…,那么数列{bn}=? 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 ?anan+1?

的前 n 项和 Sn 为________. 解析 由已知条件可得数列{an}的通项为

an=

1+2+3+…+n n = . n+1 2 1

∴bn=

anan+1



1 ? 4 ?1 =4? - ?. n?n+1? ?n n+1? 1 1

? ? Sn=4?1- + - +…+ - n n+1? ? 2 2 3 ?
1 1 1 =4?1-

? ?

1 ? 4n = . n+1? ? n+1

-3-

答案

4n n+1

三、解答题 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

a1+2d=5, ? ? 由题意,得? 15×14 15a1+ d=225, ? 2 ?
解得?
?a1=1, ? ? ?d=2,

∴an=2n-1.

1 n (2)∵bn=2an+2n= ·4 +2n, 2 ∴Tn=b1+b2+…+bn 1 2 n = (4+4 +…+4 )+2(1+2+…+n) 2 = 4
n+1

-4 2 2 2 n 2 +n +n= ·4 +n +n- . 6 3 3

14.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解析 (1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q =2q+4, 即 q -q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项为 an=2·2
n n-1
2 2

=2 (n∈N )

n

*

2?1-2 ? n?n-1? n+1 2 (2)Sn= +n×1+ ×2=2 +n -2. 1-2 2 15.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3 =13. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)求数列? ?的前 n 项和 Sn.
?bn? ? ?1+2d+q =21, (1)设{an}的公差为 d, {bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且? 2 ?1+4d+q =13, ?
4

?an?

解析

解得

?d=2, ? ? ? ?q=2. -4-

所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=q (2) =

n-1

=2

n-1

.

an 2n-1 , bn 2n-1
3 2 5 2 2n-3 2n-1 n-2 + n-1 ,① 2 2

Sn=1+ 1+ 2+…+

5 2n-3 2n-1 2Sn=2+3+ +…+ n-3 + n-2 .② 2 2 2 2 2 2 2n-1 ②-①,得 Sn=2+2+ + 2+…+ n-2- n-1 2 2 2 2 1 ? 2n-1 ? 1 1 =2+2×?1+ + 2+…+ n-2?- n-1 2 ? 2 ? 2 2 1 1- n-1 2 2n-1 2n+3 =2+2× - n-1 =6- n-1 . 1 2 2 1- 2 16.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2 =64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+ .

S1 S2

Sn

解析 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d,bn=q 依题意有?
?S2b2=?6+d?q=64, ? ? ?S3b3=?9+3d?q =960,
2

n-1

.

解得?

?d=2, ? ?q=8 ?

6 d=- , ? ? 5 或? 40 q= . ? ? 3

(舍去)

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8

n-1

.

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 1 1 1 1 所以 + +…+ = + + +…+ S1 S2 Sn 1×3 2×4 3×5 n?n+2? 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 = ?1- + - + - +…+ - 3 2 4 3 5 n n+2? 2? ? 1 1 ? 1? 1 - = ? 1+ - 2 n + 1 n + 2? 2? ? 3 2n+3 = - 4 2? n+1?? n+2?

-5-


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