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两条直线的夹角


〔设置数学情境〕

11.3-2两条直线的夹角

有一次罗马帝国派军舰入侵希腊,由于常年战争,留下的尽是 些老人、妇女和孩子。这些人眼睁睁的看着敌舰上拿着闪亮战刀 的士兵越来越近,大家急得惊惶失措。大科学家阿基米德也在其 中,他站在一块大石头上大喊:不要慌!快回家去把你们家里的 镜子全拿来,大家不明白镜子和打仗有什么关系,但知道阿基米 德是

希腊最聪明的人,就赶紧回家拿来了上千面镜子。阿基米德 指挥大家把镜子排开,把照射在镜子上的火辣辣的太阳光反射到 第一艘军舰的步帆上,步帆轰的一下就起火了,接着又把镜子上 的阳光反射到第二艘军舰的步帆上,第二艘也起火了,风借火势, 烧的罗马士兵焦头烂额,纷纷跳河逃命,余下的军舰被这个场景 吓坏了赶紧掉头逃窜。海岸上的人们欢呼着:胜利了,胜利了!

〔提出数学问题〕

11.3-2两条直线的夹角

如果入射光线的直线方程为 l1 : x ? 2 y ? 5 ? 0 镜面所在直线的方程为l :3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,你能求反射 光线的方程吗?

11.3-2两条直线的夹角

〔解决数学问题〕

11.3-2两条直线的夹角

两条相交直线的夹角: 我们规定两条相交直线所成的 锐角或直角为两条相交直线 的夹角。

y
?

?
?

o

?

x

如果两条直线平行或重合,我们 规定它们的夹角为0

? ?? 平面上两条直线夹角的范围: ? ? ?0, ? ? 2?

〔解决数学问题〕

11.3-2两条直线的夹角

d2 的夹角为? 两直线 l1、 l2的夹角为? ;方向向量 d1、 如图1)所示时:? ? ? 如图2)所示时:? ? ? ? ?
于是得: cos ? ? cos?

d1 y ? d2
?

d1 y d2
x
l2

?
?

?

?
?

l2

?

?

?

l1
1)

o

l1
2)

o

x

〔解决数学问题〕

11.3-2两条直线的夹角

问题一: 二条直线:l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 直线夹角? 的大小.

l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0

(其中a1、b1 不同时为零;a2、b2 不同时为零)求两 解:根据 l1与 l2的方程,取 d1 ? (?b1, a1 ), d2 ? (?b2 , a2 )

为 l1与 l2的方向向量. d1 d 2 a1a2 ? b1b2 ? 由向量的夹角公式得: cos ? ? d1 d 2 a12 ? b12 a2 2 ? b2 2 由cos ? ? cos? 所以两直线的夹角公式: cos ? ?
问题:此时角 ? 是唯一确定的吗?

a1a2 ? b1b2

a12 ? b12 a2 2 ? b2 2

〔解决数学问题〕

11.3-2两条直线的夹角

问题二: 已知两条直线的点斜式方程:

l1 : y ? y1 ? k1 ( x ? x1 ), l2 : y ? y2 ? k2 ( x ? x2 )
求两条直线的夹角. 解: 根据 l1与 l2的方程,取 d1 ? (1, k1 ), d2 ? (1, k2 ) 为 l1与 l2 的方向向量. 可以求得两直线的夹角公式为:cos ? ? 注:当其中一条直线的斜率不存在 时不适用上述公式,此时夹角的大 小为两条直线倾斜角差的绝对值。

1 ? k1k2 1 ? k12 1 ? k2 2

〔解决数学问题〕

11.3-2两条直线的夹角

问题三: 从上述公式,当两直线垂直时,你能得到什么事实?

两直线垂直时: ? ?

?
2

? cos ? ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? 0

即当直线 l1 和 l2 垂直时: k1 ? k2 ? ?1
反过来,也成立。

〔应用数学知识〕

11.3-2两条直线的夹角

1.已知两直线方程分别为 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0, l2 : 2x ? y ? 3 ? 0

求两直线的夹角 ? .
解:根据 l1与 l2的方程及两直线夹角公式可得:

2 cos ? ? ? 2 (?1)2 ? 32 12 ? 22

3 ? 2 ? 1? (?1)

? ? ?? 因为 ? ? ?0, ? ,所以 ? ? 4 ? ? 2? 即直线 l1 和 l2 的夹角为 4

〔练习与评价〕

11.3-2两条直线的夹角

1、求下列直线的夹角。

(1)l1 : 3x ? y ?1 ? 0, l2 : x ? 3 y ? 4 ? 0 (2)l1 : x ? y ? 1 ? 0, l2 : x ? 2

?

? 2
4

1 2、已知直线l1 : y ?1 ? a( x ? 1)l2 : y ? ( x ? 2) a 其中 a ? R 且 a ? 0,求直线 l1 与 l2 的夹角。 2a arccos 2 a ?1

〔应用数学知识〕

11.3-2两条直线的夹角

2.已知直线 l 经过点 P(?2, 3) ,且与直线 l0 :

? x ? 3 y ? 2 ? 0 的夹角为 ,求直线 l 的方程。 3 y
? p(?2,3)

解:

o

x

ⅰ)当直线斜率存在时,设直线方程为

y ? 3 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0

? 因为两直线夹角为 , 3

〔应用数学知识〕

11.3-2两条直线的夹角

? 1 3 ? cos ? 解得 k ? ? 所以有 3 2 3 4 ? k 2 ?1 得直线方程为 x ? 3 y ?1 ? 0 ⅱ)直线斜率不存在时,验证知 x ? 2 ? 0也满足题意 由ⅰ)、ⅱ)可知,方程为x ? 3 y ?1 ? 0 或 x ? 2 ? 0
法二:设直线的一个法向量为 n ? (a, b) ,则直线 l 的点法向式方程为a( x ? 2) ? b( x ? 3) ? 0

k? 3

整理得: ax ? by ? 2a ?
因为 l与 l0 的夹角为

?

3b ? 0
,由两直线夹角公式得:

3

11.3-2两条直线的夹角

? 1 ? cos ? 2 2 3 2 1? 3 ? a ? b 整理得: a ? 3b ? a 2 ? b 2 2 即: b1 ? 3a1b1 当 b ? 0 时直线 l 的方程为 x ? 2 ? 0

a ? 3b

? 0时直线 l的方程为 x ? 3y ?1 ? 0 所以直线 l 的方程为x ? 2 ? 0或 x ? 3 y ?1 ? 0
当b

〔应用数学知识〕

11.3-2两条直线的夹角

解决课前的光线问题: ?x ? 2 y ? 5 ? 0 由直线 l1 与 l 相交,解方程组 ?
得交点坐标为:(-1,2)

?3x ? 2 y ? 7 ? 0

设反射光线的法向量为 n ? (a, b)(a、b不同时为零) 故可设反射光线 l2的方程为a( x ? 1) ? b( y ? 2) ? 0

由光的反射定律可知, l与 、与 的夹角相等,由两直 1 l l2 l 线的夹角公式可得:

1? 3 ? (?2) ? (?2) 1 ? (?2) ? 3 ? (?2)
2 2 2 2

?

a ? 3 ? b ? (?2) a ? b ? 3 ? (?2)
2 2 2 2

11.3-2两条直线的夹角

3a ? 2b 7 ? 即 5 ? 13 a 2 ? b2 ? 13
2 2 化简整理得: 4a ? 60ab ? 29b

?0



(2a ? b)(2a ? 29b) ? 0

(1)当b ? ?2a 时,由a、b不同为零,可知 a ? 0, b ? 0 求得直线方程为 l1 ,是入射光线方程,故舍去。
2a (2)当 b ? ? 时,求得直线l2 的方程为29 x ? 2 y ? 33 ? 0 29

课后思考:试试看,此题还有没有其他解法?

〔回顾与总结〕

11.3-2两条直线的夹角

1. 二条直线:l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 (其中 a1、b1不同时为零; a2、b2 不同时为零)
a12 ? b12

(1)两直线的夹角公式:cos ? ?

a1a2 ? b1b2 a2 2 ? b2 2

(2)当两条直线的斜率都存在时,两直线的夹角公式:

cos ? ?

1 ? k1k2

当其中一条直线的斜率不存在时夹角的大小为 两条直线倾斜角差的绝对值。 2.当直线 l1 和 l2 垂直时: (1) a1a2 ? b1b2 ? 0 k1 ? k2 (2)两直线斜率都存在时,

1 ? k12 1 ? k2 2

? ?1
逐渐减弱

或一个斜率不存在,另一个斜率为零.

〔探究与思考〕

11.3-2两条直线的夹角

已知两条直线 l1 : y ? x, l2 : ax ? y ? 0 ,其 ? 中a是实数,当两条直线的夹角在 (0, ) 12 内变动时,求a的取值范围。

〔作业与拓展〕

11.3-2两条直线的夹角

1、已知直线 l 经过原点,且与直线 y ? 3x ? 1 的夹 角为 30 0, 则直线 l 的方程是 。 2 x ? 4x ?1 ? 0 2、若直线 l1 与 l的斜率分别是二次方程 2 l 的夹角为 的两个根,那么 直线 l与 。 1 2 3、若 l1 : 3x ? y ? 0, l2 : kx ? y ?1 ? 0 的夹角为 60 ,求k的值

4 ?B ? arccos 4、已知等腰三角形 ABC的顶点 A(2, ?1), 5 底边 BC 所在的直线方程为 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,求两腰 所在直线的方程。

11.3-2两条直线的夹角

感谢评委莅临指导!


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