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上海市2013届高三六校12月联考理科数学试卷


上海市 2013 届高三六校 12 月联考
理科数学试卷
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一. 填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 只要求直接填写结果, 每题填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.复数 z ? 1 ?

在复平面上对应的点到原点的距离为________________. 2. 已知 全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 3x ? 0 ? x 2 x ? 1 ,则 CuA =_________. 3. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . 则 tan 2? 的值为 4. 在 x ? 3

1 i

?

? ?

?

?

?

. 的展开式中, x 的系数为
8

10

.(结果用数字表示)

5. 已知无穷数列 {an } 中 a1 ? 1 , 且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数

?

1 ,则无穷数列 {an } 的各项和 2

.

6. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2,3,3,7, a, b ,12,13.3,18.7,20.且总 体的中位数为 10.5,则总体的平均数为 7. 已知数列 {an } 满足 a n ? ?

?2n ? 1 n为偶数 , n n为奇数 ? 2

且 f ?n? ? a1 ? a2 ? a3 ? ?a2n?1 , n ? N

?

?

? ,则 f ?4? ? f ?3? 的值为
???? ??? ?

.

8. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为________ . 9. 我们可以从“数”和“形”两个角度来检验函数的单调性。从“形”的角度:在区间 I 上, 若函数 y ? f ?x ? 的图像从左到右看总是上升的, 则称 y ? f ?x ? 在区间 I 上是增函数.那么从 “数”的角度: 增函数. ,则称 y ? f ?x ? 在区间 I 上是

? k 10.数列 {an } 中, 如果存在 ak , 使得“ ak ? ak ?1 且 ak ? ak ?1 ”成立(其中 k ? 2 , ? N ) ,

则称 ak 为 {an } 的一个峰值.若 an ? ?6n 2 ? 22n , {an } 的峰值为 ak ,则正整数 k 的值为 且 11.函数 f ?x ? ?

?? ? 2π 3 cos? ? 2 x ? ? 2 cos2 x 在区间 ?0, ? 上的取值范围是 ? 3? ?2 ? ? ?

12. 近年来,孩子的身体素质越来越受到人们的关注,教育部也推出了“阳光课间一小时” 活动。在全社会关注和推进下,孩子们在阳光课间中强健体魄,逐渐健康成长。然而也有部 分家长对该活动的实际效果提出了质疑.对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查 的家长中,持“支持” “保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:

支持 30 岁以下 800 30 岁以上 (含 30 岁) 100

保留 450 150

不支持 200 300

在“不支持”态度的家长中,用分层抽样的方法抽取 5 个人看成一个总体,从这 5 个人中任 意选取 2 人,则至少有 1 人在 30 岁以下的概率为 13. 数列 {an } 通项为 a n ? n cos?

? n? ? ? ? ? n ? N ? , Sn 为其前 n 项的和,则 S2012 = 2 6? ?

?

?

14. 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 m 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? m ? D ,且 f ?x ? m? ? f ?x ?,则称 f ( x) 为 M 上的“ m 函数”. 如果定义域为 [?1, ? ?)
的函数 f ( x) ? x2 为 [?1, ? ?) 上“ l 函数”,那么实数 l 的取值范围是 二、选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一 个结论是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 记函数 y ? f ( x ) 的反函数为 y ? f ?1 ( x ). 如果函数 y ? f ( x ) 的图像过点 ?0,1? ,那么 函数 y ? f ?1 ( x) ? 1 的图像过点 A. [答] C. (0, 0) . D. (2, 0) . [答] D. ( ) ( )

(1,1) .

B. (0, 2) .

16. 下列等式的命题不成立的是 ?n ? m ? 1, m, n ? Z ?
m n A. Cn ? Cn ?m m m m B. Cn ? Cn ?1 ? Cn?1

n C. C 2 n ?1 是奇数

n m ?1 m C n ?1 ? C n m
( )

17. 方程组 ? A.1

?y ? 2x , ? y ?| x( x ? 2) |
B.2

共有

组解. C.3

[答] D.4

18. 已知两个非零向量 a ? ?a1 , b1 ?, b ? ?a2 , b2 ? ,若条件 p : a // b ” “ ,条件 q : “关于 x 的 不等式 a1 x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 的解集相同”.则条件 p 是 q 的 [答] ( A.充分必要条件 B.非充分非必要条件 C.充分非必要条件 D.必要非充分条件 三.解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 在 ?ABC 的 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c . 虚 数 x ? 2 ? ai 是 实 系 数 方 程 )

?

?

?

?

x 2 ? cx ? 8 ? 0 的根.

(1)求边长 a, c . (2)若边长 a, b, c 成等比数列,求 ?ABC 的面积.

20. (本题共 2 小题,满分 14 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

? ? ? 2 cos? x ? ? ? ? 2 sin ? 3 ? ? 已知函数 f ?x ? ? (1)求 f ?x ? 的单调增区间. ? ? ? sin ? x ? ? ? ? cos? 3 ? ?
(2 ) 函数 f ?x ? 的图像 F 按向量 a ? ?

?

?? ? ,?1? 平移到 F ' , F ' 的解析式是 y ? f ' ?x? .求 f ' ?x ? ?3 ?

的零点. 21. (本题共 2 小题,满分 14 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某 炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其 20

中 k 与发射方向有关.炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)若规定炮弹的射程不小于 6 千米, 设在此条件下炮弹射出的最大高度为 f ?k ? , f ?k ? 的 求 最小值.

22. (本题共 3 小题,满分 16 分。 1 小题满分4分, 第 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题6分) 已知数列{ an } Sn 为其前 n 项的和, S n ? n ? an ? 9, n ? N ? , (1) 证明数列 ?an ? 不是等比数列; (2) 令 bn ? an ? 1,求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ;
2 (3)已知用数列 ?bn ? 可以构造新数列.例如: ?3bn ?, ?2bn ? 1?, bn , ?

? ? ?b1 ??2 ?, ?sin b ??, . ?
bn

?

n

?

n

请写出用数列 ?bn ? 构造出的新数列 ?pn ?的通项公式,使数列 ?pn ?满足以下①②两个条件, 并说明理由 ①数列 ?pn ?为等差数列;

②数列 ?pn ?的前 n 项和有最大值. 23. (本题共 3 小题,满分 18 分。第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 8 分) 已知 y ? ax ?

? ? ? ? b ?a ? 0, b ? 0, x ? 0? 单调减区间是 ?? b ,0 ? ,单调增区间是 ? ? ?,? b ? . ? x a ? a? ? ? ?
1 ?1 ? , x ? ? ,4? . x ?4 ?

设 g ?x ? ? 2 x ?

(1)求 g ?x ? 的单调区间(简单说明理由,不必严格证明) (2 ) 证明 g ?x ? 的最小值为 g ?

? 2? ? ? 2 ? ? ?

) x } ) ? t a ( 3 ) 设 已 知 函 数 f ( x) ( x ? [a , b ], 定 义 : f1 ( x)? m i n f{ t ( ) | ? (x ? [a , b ], f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) .其中,min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小

值, max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值.例如: f ?x ? ? sin x, x ? ?? 则

? ? ?? f1 ?x ? ? ?1, x ? ?? , ? ? 2 2? g ?x ? ? g ?2 x ? g ?x ? ? g ?2 x ? ,不等式 p ? ?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? ? m 恒成立,求 p, m 的 ? ?x ? ? ? 2 2

? ? ?? , , ? 2 2? ? ? ? ?? 设 f 2 ?x ? ? sin x, x ? ?? , ? ? 2 2?

取值范围

2012 学年高三第一次联考(2012.12)
数学试卷参考答案与评分标准
一、填空题 1.

2

2. ?? 3,0?

3. ? 3

4. 135

5.

2 3

6. 10 10. 2

7. 139 11. ?? 2,1? 12.

8. 1

9. 任意 x1 , x2 ? I ,若 x1 ? x 2 ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 13. 5031 ? 3 二、选择题 15. A 三、解答题

?

?

7 10

14. (理) ?2,???

16. C

17. A

18. D

19. 解: (1)虚数 x1 ? 2 ? ai 与 x2 ? 2 ? ai 是方程的两个根.----------2 分

? x1 ? x 2 ? c ? 4 ? 2 -------------------------------------------------------------------4 分 ? x1 x 2 ? 8 ? 4 ? a

?c ? 4 --------------------------------------------------------------------------------6 分 ?? ?a ? 2
(2)? 边长 a, b, c 成等比数列,?b 2 ? ac, b ? 2 2 ---------------- 7 分 根据余弦定理 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 3 ? --------------------------------------- 9 分 2ac 4

则 sin B ? 则 S ?ABC ?

7 ---------------------------------------------------------------------------10 分 4
1 ac sin B ? 7 ---------------------------------------------------------12 分 2

20. 解: (1) f ?x ? ? 2 cos? x ?

? ?

??

? ------------------------------------------------2 分 3?

2k? ? ? ? x ?

?
3

? 2k? -------------------------------------------------------------4 分

则 f ?x ? 的单调增区间 ?2k? ?
'

? ?

4? ?? ,2k? ? ?, k ? Z --------------------------6 分 3 3?

(2) F 的解析式是 y ? f ' ?x? ? 2 cos x ? 1 -----------------------------------9 分

2 cos x ? 1 ? 0 -------------------------------------------------------------------------11 分
零点为 x ? 2k? ?

?
3

, k ? Z --------------------------------------------------------14 分
1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 . –2 分 20 20

21. 解:(1)在 y ? kx ?

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 .

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号. ------------------- 5 分 2 1 1? k ?k 2 k ∴炮的最大射程是 10 千米.------------------------------------------------ 6 分
∴ x= (2)

20 k ?6 1? k 2

?1 ? k ? ? ,3? -------------------------------------------------------------------------------------------8 分 ?3 ?
y ? kx ? 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 20

1 10k ? 1 100k 2 ? ?? 1? k 2 ? x ? 1? k 2 ? ? 2 20 20 1? k 2 ? ? 1? k 2

?

?

2

?

?

?

?

=? ?

1 1? k 2 20

?

?? x ? ?
?

10k ? 5k 2 ? ? 1? k 2 ? 1? k 2

2

?

?

∴ f ?k ? ?

?

5k 2 ?1 ? , k ? ? ,3? --------------------------------------------------------------10 分 2 1? k ?3 ?

?

?k ? 1? ? 1 , k ? ? 1 ,3? ∴ f ?k ? ? 5(1 ? 1 ∴ f ?k ? ? 5 ?3 ? 1? k ?1 ? k ? ? ?
2 2

2

?1 ? ), k ? ? ,3? --------11 分 ?3 ?

又 f ?k ? 在 k ? ? ,3? 上单调递增-----------------------------------------------------------12 分 3 则 f ?k ? 的最小值为

?1 ? ? ?

1 -----------------------------------------------14 分 2
∴ a1 ? 5 -------------------------------------1 分

22.(1)解: a1 ? S1 ? 1 ? a1 ? 9

a2 ? 3 ------------------------------------------------------------------------- 2 分

a3 ? 2 ------------------------------------------------------------------------3 分
?

a 2 a3 ∴数列 ?an ? 不是等比数列--------------------------------------------------------4 分 ? a1 a 2

(2) n ? 2 S n ? n ? an ? 9 ① S n?1 ? n ? 1 ? an?1 ? 9 ② ①-② an ? 1 ? an ? an?1 即 2an ? 1 ? an?1 -----------------------------------6 分

n?2

bn bn ?1

1 a n ?1 ? ?1 an ? 1 1 2 2 ? ? ? --------------------------------8 分 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 2
1 的等比数列--------------------------------------------9 分 2

∴数列 ?bn ? 为首项为 4,公比为 ∴ bn = 4? ?

?1? ?2?

n ?1

, n ? N ? ------------------------------------------------------------------------10 分

文(3) pn ? loga bn , a ? 0, a ? 1 ----------------------------------------13 分

n ? 2 pn ? pn?1 ? loga bn ? loga bn?1 ? loga

bn 1 ? loga 为常数 bn?1 2

∴数列 ?pn ?为等差数列----------------------------------------------16 分 理(3) pn ? loga bn , a ? 1 ---------------------------------------------12 分

pn ? pn?1 ? loga bn ? loga bn?1 ? loga

bn 1 ? loga 为常数 bn?1 2

∴①数列 ?pn ?为等差数列----------------------------------------------14 分

d ? log a

1 ?a ? 1? 时 d ? 0 ∴②数列 ?pn ?的前 n 项和有最大值.--------------------16 分 2 1 为奇函数. 奇函数在对称区间单调性相同---------- 2 分 x

23.解: (1)? g ? x ? ? 2 x ?

?1 2 ? g ?x ? 在 x ? ? , ? 上递减------------------------------------------------------------------3 分 ?4 2 ? ? 2 ? ,4? 上递增-----------------------------------------------------------------4 分 g ?x ? 在 x ? ? ? 2 ?
(2)用最值的定义证明---------------------------------------------------------------------5 分

?1 2 ? ?1 2 ? ?1? g ?x ? 在 x ? ? , ? 上递减,对任意 x ? ? , ? ,都有 g ? ? ? g ? x ? ? ?4? ?4 2 ? ?4 2 ?

? 2? ? g? ? 2 ? ----7 分 ? ?

? 2 ? ? 2 ? ,4? 上递增,对任意 x ? ? ,4? ,都有 g ?4? ? g ?x ? ? g ?x ? 在 x ? ? ? 2 ? ? 2 ?
综上, g ?x ? 的最小值为 g ?

? 2? ? g? ? 2 ? --9 分 ? ?

? 2? ? ? 2 ? ----------------------------------------------------------------10 分 ? ?

文(3) g1 ? x ? ? ?

? 2 ?2 x ? x ? 4 ?

?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? --------------------------------------12 分 x ? ?1,4?

g 2 ?x ? ?

17 -------------------------------------------------------------14 分 2

? 17 2 ? 2 ? 2x ? x ? g1 ?x ? ? g 2 ?x ? ? ? 9 ? ? 2 ?

?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? ---------------------------------15 分 x ? ?1,4?

g1 ?x? ? g 2 ?x? 的最小值为 0------------------------------------------------17 分
p ? 0 -----------------------------------------------------------------------------------------------------18 分

理(3)先求定义域 x ? ? ,2? 4

?1 ? ? ?

? ?x ? ?

g ?x ? ? g ?2 x ? ? 2

g ?x ? ? g ?2 x ? 2

? ?1 1 ? ? g ?x ? x ? ? 4 , 2 ? ? ? ? ------------12 分 ?? ?1 ? ? g ?2 x ? x ? ,2 ?2 ? ? ? ? ?

? ? 3 ? ?1 ?x ? ? ? ?2 x ? 1 ? x ?
? 9 ? ? ? 2 ?x ? ? ? 2 ?4 x ? 1 ? 2x ?

?1 ? x ? ? ,2? ? 2 ? ---------------------------------------------13 分 ?1 1 ? x?? , ? ?4 2 ?
?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? -----------------------------------------14 分 x ? ?1,2?

? 1 9 ? 2x ? x ? 2 ? 3 ? ?1 ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? ? 2 ? ?3 ? 4 x ? 1 ? 2x ?

?1 1 ? x?? , ? ?4 2 ? ?1 ? x ? ? ,1? ?2 ? x ? ?1,2?

由题设条件可得 ?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? 的最小值为 ? 5.25 -----------------------------15 分

?1 ?x? ? ? 2 ?x? 的最大值为 0------------------------------------------------16 分
∴ p ? ? 5.25 -------------------------------------------------------------17 分

m ? 0 -----------------------------------------------------------------------------------------------------18 分


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