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2014湖北【文】官方解答word版


2014 湖北【文】官方解答

2014 湖北【文科】官方解答
一.选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 A 7 D 8 A 9 D 10 B

二.填空题 题号 11 12 13 14 15 (Ⅰ) 答案 1800 2 5 16 (Ⅱ) 100 (Ⅰ)
? 1 2

17

(Ⅱ )
1 2

? 2? 或 3 3

1067

1 (0, ) 6

1900

三、解答题 18.【解析】

2π 2π π π (Ⅰ) f (8) ? 10 ? 3cos( ? 8)? sin( ? 8) ? 10 ? 3cos ? sin 3 3 12 12
1 3 ? 10 ? 3 ? ( ? ) ? ? 10 . 2 2

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (Ⅱ)因为 f (t ) ? 10 ? 2(
3 π 1 π π π cos t ? sin t ) = 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

又 0 ? t ? 24 ,所以 当 t ? 2 时, sin(

π π π 7π π π , ?1 ? sin( t ? ) ? 1 . ? t? ? 3 12 3 3 12 3

π π π π t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3

于是 f (t ) 在 [0, 24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.

19.【解析】 (1)设数列 {an } 的公差为 d ,依题意: 2 , 2 ? d , 2 ? 4d 成等比数列,
2 2 故有 (2 ? d ) ? 2(2 ? 4d ) ,化简得: d ? 4d ? 0 ,解得 d ? 0 或 d ? 4 ,

1

2014 湖北【文】官方解答 当 d ? 0 时, an ? 2 ;当 d ? 4 时, an ? 2 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 2 , 从而得数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 或 an ? 4n ? 2 . (2)当 an ? 2 时, Sn ? 2n .显然 2n ? 60 n ? 800 , 此时不存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800成立. 当 an ? 4n ? 2 时, Sn ?
2

n[2 ? (4n ? 2)] ? 2n 2 , 2
2

令 2n ? 60n ? 800,即 n ? 30n ? 400 ? 0 , 解得 n ? 40 或 n ? ?10 (舍去), 此时存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800成立, n 的最小值为 41. 综上,当 an ? 2 时,不存在满足题意的正整数 n ; 当 an ? 4n ? 2 时,存在满足题意的正整数 n ,其最小值为 41. 20.【解析】 (Ⅰ)如右下图,连接 AD1 ,由 ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体, 则 AD1 / / BC1 ,又因为 F , P 分别是 AD , DD1 的中点,所以

FP / / AD1 ,进而 FP / / BC1 ,同时又有 FP ? 平面 EFPQ ,且 BC1 ? 平面 EFPQ ,
故直线 BC1 ∥平面 EFPQ . (Ⅱ)如图,连接 AC , BD ,则 AC ? BD . 由 CC1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,可得 CC1 ? BD . 又 AC
CC1 ? C ,所以 BD ? 平面 ACC1 . A1 D1 C1

N P F A

M
B1

() C

而 AC1 ? 平面 ACC1 ,所以 BD ? AC1 . 因为 M , N 分别是 A1 B1 , A1 D1 的中点,所以 MN / / BD , 从而 MN ? AC1 . 同理可证 PN ? AC1 . 又 PN
MN ? N ,所以直线 AC1 ⊥平面 PQMN .

D E 第 20 题图

Q

B

21.【解析】

(1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? .因为 f ( x) ?
当f
'

ln x 1 ? ln x ,所以 f ' ? x ? ? . x x2

? x? ? 0 ,即 0 ? x ? e 时,函数 f ? x ? 单调递增;
2

2014 湖北【文】官方解答 当 f ' ? x ? ? 0 ,即 x ? e 时,函数 f ? x ? 单调递减. 故 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, e ? ;单调递减区间为 ? e, ??? .

ln ? e ,ln e? ? ln 3? . (2)因为 e ? 3 ? ? , 所以 e ln 3 ? e ln ? ,? ln e ? ? ln 3 ,即 ln3 e ?
于是根据函数 y ? ln x, y ? e x , y ? ? x 在定义域上单调递增,可得 3 ? ? ? ? ,
e e 3

e3 ? e? ? 3? ,故这 6 个数中最大数在 ? 3 与 3? 之中,最小数在 3e 与 e3 之中.
由 e ? 3 ? ? 及(1)的结论,得 f

?? ? ? f ?3? ? f ?e? ,即

ln ?

ln 3 ln 3 ln e 3 ? ? 3 e 3 ? ? 由 ,得 ln ? ? ln 3 ,所以 3 ? ? .由 ,得 ln 3 ? ln e ,所以 ? 3 3 e

ln ?

?

?

ln 3 ln e ? . 3 e

3e ? e3 .综上 6 个数中最大的数是 3? ,最小的数是 3e .

22. 【解析】

(Ⅰ)设 M ? x, y ? ,依题意得:

? x ?1?

2

? y 2 ? x ? 1 ,化简得: y2 ? 2 x ? 2x

故点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? ?

?4 x ?0

x ? 0, x ? 0.

(Ⅱ)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1 : y2 ? 4x, C2 : y ? 0 ? x ? 0? .
依题意,可设直线 l 的方程为 y ?1 ? k ? x ? 2? . 由方程组 ?

? ? y ?1 ? k ? x ? 2? 2 可得 ky ? 4 y ? 4 ? 2k ?1? ? 0 2 ? ? y ? 4x
1 . 4



(1)当 k ? 0 时,此时 y ? 1 .把 y ? 1 代入轨迹 C 的方程,得 x ?
?1 ? 故此时直线 l : y ? 1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ? ,1? . ?4 ?

(2) 当 k ? 0 时, 方程①的判别式为 ? ? ?16 ? 2k 2 ? k ? 1?
设直线 l 与 x 轴的交点为 ? x0 ,0? ,则 由 y ?1 ? k ? x ? 2? ,令 y ? 0 ,得 x0 ? ?



2k ? 1 k



3

2014 湖北【文】官方解答

?? ? 0 1 (ⅰ)若 ? 由②③解得 k ? ?1 ,或 k ? . 2 ? x0 ? 0
即当 k ? ? ??, ?1?

?1 ? ? , ?? ? 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点, ?2 ?

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.

?? ? 0 ?? ? 0 1 ? 1? (ⅱ)若 ? 或? 由②③解得 k ? ??1, ? ,或 ? ? k ? 0 . 2 ? 2? ? x0 ? 0 ? x0 ? 0
即当 k ? ??1, ? 时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点.

? ?

1? 2?

当 k ? ??

? 1 ? , 0 ? 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1? ??1, ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. ? ? 2?

故当 k ? ? ? , 0 ?

?? ? 0 1 1 (ⅲ)若 ? 由②③解得 ?1 ? k ? ? ,或 0 ? k ? . 2 2 ? x0 ? 0
1? ? 1? ? 即当 k ? ? ?1, ? ? ? 0, ? 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 2? ? 2? ?

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.
?1 ? 综上所述,当 k ? ? ??, ?1? ? , ?? ? ?2 ?

?0? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个

? 1 ? ? 1? 公共点;当 k ? ? ? , 0 ? ??1, ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 ? 2 ? ? 2? 1? ? 1? ? k ? ? ?1, ? ? ? 0, ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 2? ? 2? ?

4


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