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上海市徐汇区2015届高考数学二模试卷(理科) Word版含解析


上海市徐汇区 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分. 1. (4 分)已知集合 A= ,集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B=.
2

2. (4 分)若复数 z=1﹣2i(i 为虚数单

位) ,则 3. (4 分)已知直线 l 的一个法向量是

=. ,则此直线的倾斜角的大小为.

4. (4 分)某中学采用系统抽样的方法从该校 2014-2015 学年高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生进行体能测试.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k= =16.若从

1~16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7,则在编号为 33~48 的这 16 个学生中抽取的一名 学生其编号应该是. 5. (4 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= △ ABC 的面积为. 6. (4 分)设函数 f(x)=log2(2 +1) ,则不等式 2f(x)≤f (log25)的解为. 7. (4 分)直线 y=x 与曲线 C: (θ 为参数,π≤θ≤2π)的交点坐标是.
x
﹣1

,则

8. (4 分)甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7,且射击 结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为.

9. (4 分)矩阵

中每一行都构成公比为 2 的等比数列,第 i 列各元

素之和为 Si,则

=.

10. (4 分)如图所示:在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥BC,AB=BC=BB1,则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为.

11. (4 分)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 a,二项式 x 项的系数为 ,则常数 m=.
3

的展开式中

12. (4 分)设 f(x)是定义域为 R 的奇函数,g(x)是定义域为 R 的偶函数,若函数 f(x) +g(x)的值域为[1,3) ,则函数 f(x)﹣g(x)的值域为. 13. (4 分)△ ABC 所在平面上一点 P 满足 面积为 6,则△ ABC 的面积为. 14. (4 分)对于曲线 C 所在平面上的定点 P0,若存在以点 P0 为顶点的角 α,使得 α≥∠AP0B 对于曲线 C 上的任意两个不同的点 A,B 恒成立,则称角 α 为曲线 C 相对于点 P0 的“界角”, 并称其中最小的“界角”为曲线 C 相对于点 P0 的“确界角”. 曲线 C: y= 相对于坐标原点 O 的“确界角”的大小是. ,若△ ABP 的

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得 0 分. 15. (5 分)下列不等式中,与不等式 ≥0 同解的是()

A.(x﹣3) (2﹣x)≥0 ≥0

B.

(x﹣3) (2﹣x)>0 C.

≥0

D.

16. (5 分)设 M、N 为两个随机事件,如果 M、N 为互斥事件,那么() A. 是必然事件 C. 与 一定为互斥事件? B. M∪N 是必然事件 D. 与 一定不为互斥事件 (ρ∈R)对称的曲线的极坐标方

17. (5 分)在极坐标系中,与曲线 ρ=cosθ+1 关于直线 θ= 程是() A.ρ=sin( +θ)+1 B.ρ=sin( ﹣θ)+1C.ρ=sin(

+θ)+1 D.ρ=sin(

﹣θ)+1

18. (5 分)已知函数 f(x)=x ?sinx,各项均不相等的数列{xn}满足|xi|≤
*

2

(i=1,2,3,…,

n) .令 F(n)=(x1+x2+…+xn)?[f(x1)+f(x2)+…f(xn)](n∈N ) .给出下列三个命题: (1)存在不少于 3 项的数列{xn},使得 F(n)=0; (2)若数列{xn}的通项公式为
*

,则 F(2k)>0 对 k∈N 恒成立;

*

(3)若数列{xn}是等差数列,则 F(n)≥0 对 n∈N 恒成立. 其中真命题的序号是() A.(1) (2) B.(1) (3) C.(2) (3)

D.(1) (2) (3)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (12 分) 如图, 在 Rt△ AOB 中, ∠OAB= , 斜边 AB=4, D 是 AB 的中点. 现将 Rt△ AOB .

以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上的一点,且∠BOC= (1)求该圆锥的全面积; (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

20. (14 分)一个随机变量 ξ 的概率分布律如下:

ξ x1 x2 P cos2A sin(B+C) 其中 A,B,C 为锐角三角形 ABC 的三个内角. (1)求 A 的值; (2)若 x1=cosB,x2=sinC,求数学期望 Eξ 的取值范围. 21. (14 分)用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示,它的外框是一个等腰梯形 PQRS, 内部是一段抛物线和一根横梁. 抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点 O, 梯形的腰紧靠在抛 物线上,两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点 A,B,抛物线与梯形下底的两 个焊接点为 C,D.已知梯形的高是 40 厘米,C、D 两点间的距离为 40 厘米. (1)求横梁 AB 的长度; (2)求梯形外框的用料长度. (注:细钢管的粗细等因素忽略不计,计算结果精确到 1 厘米. )

22. (16 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=



(1)求函数 h(x)=f(x)+2g(x)的零点; (2)若直线 l:ax+by+c=0(a,b,c 为常数)与 f(x)的图象交于不同的两点 A、B,与 g(x) 的图象交于不同的两点 C、D,求证:|AC|=|BD|; 2n 2n * (3)求函数 F(x)=[f(x)] ﹣[g(x)] (n∈N )的最小值. 23. (18 分)对于一组向量 如果存在 (1)设 (p∈{1,2,3…,n}) ,使得| =(n,x+n) (n∈N ) ,若
*

(n∈N ) ,令 |,那么称

*

, 是该向量组的“h 向量”.

是向量组

的“h 向量”,

求实数 x 的取值范围; (2)若 存在“h 向量”? 给出你的结论并说明理由; (3)已知 均是向量组 的“h 向量”,其中 =(sinx,cosx) , = (n∈N ) ,向量组
*

是否

(2cosx,2sinx) .设在平面直角坐标系中有一点列 Q1,Q2,Q3,…,Qn 满足:Q1 为坐标原点,

Q2 为

的位置向量的终点,且 Q2k+1 与 Q2k 关于点 Q1 对称,Q2k+2 与 Q2k+1(k∈N )关于点 |的最小值.

*

Q2 对称,求|

上海市徐汇区 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分. 1. (4 分)已知集合 A= ,集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B={1}.
2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 把 A 中元素代入 B 中求出 y 的值,确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:∵A={1,2, },B={y|y=x ,x∈A}, ∴B={ ,1,4}, 则 A∩B={1}, 故答案为:{1} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (4 分)若复数 z=1﹣2i(i 为虚数单位) ,则 =6﹣2i.
2

考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把复数 z=1﹣2i 及它的共轭复数代入 即可. ,将其化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,

解答: 解:考查复数基本运算 =(1﹣2i) (1+2i)+1﹣2i=6﹣2i. 故答案为:6﹣2i. 点评: 本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算,是基础题.

3. (4 分)已知直线 l 的一个法向量是

,则此直线的倾斜角的大小为



考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 设直线的方向向量为 =(a,b) ,直线的倾斜角为 α.利用 =0,即可得出.

解答: 解:设直线的方向向量为 =(a,b) ,直线的倾斜角为 α. 则 ∴ ∴α= =a﹣ b=0,

=tanα, , .

故答案为:

点评: 本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系,考查了计算能力, 属于基础题. 4. (4 分)某中学采用系统抽样的方法从该校 2014-2015 学年高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生进行体能测试.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k= =16.若从

1~16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7,则在编号为 33~48 的这 16 个学生中抽取的一名 学生其编号应该是 39. 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义进行求解. 解答: 解:∵样本间隔 k=16,若从 1~16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7, ∴抽取的号码数为 7+16x, 当 x=2 时,7+16×2=39, 即在编号为 33~48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应该 39, 故答案为:39 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,比较基础. 5. (4 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= △ ABC 的面积为 .

,则

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理可得 b,再利用三角形面积计算公式即可得出. 解答: 解:∵a= ∴a =b +c ﹣2bccosA, ∴3=4+b ﹣4b× ∴S△ ABC= =
2 2 2 2



,化为 b ﹣2b+1=0,解得 b=1. = .

2

故答案为:



点评: 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 6. (4 分)设函数 f(x)=log2(2 +1) ,则不等式 2f(x)≤f (log25)的解为(﹣∞,0]. 考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据函数的定义域求出 x 的范围,然后代入解析式,解对数不等式,转化成指数 不等式进行求解,即可求出 x 的取值范围 解答: 解:f (x)=log2(2 ﹣1) ,x∈(0,+∞) . ﹣1 由 2f(x)≤f (log25) , 2log2(2 +1)≤log2(
x x
﹣1

x

﹣1

x

﹣1)=log24,

∴log2(2 +1)≤1 x x ∴0<2 +1≤2,∴0<2 ≤1,?x≤0; 综上,x≤0; 故答案为: (﹣∞,0]. 点评: 本题主要考查了反函数的求解,以及对数函数图象与性质的综合应用,同时考查转 化与划归的思想,计算能力,属于中档题

7. (4 分)直线 y=x 与曲线 C: .

(θ 为参数,π≤θ≤2π)的交点坐标是

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 本题由曲线 C 的参数方程消去参数后,得到其普通方程,再用两方程联列方程组, 得到交点坐标,即本题结论.解题时要注意纵坐标的取值范围. 解答: 解:由曲线 C: (θ 为参数,π≤θ≤2π) ,

得到:

(y≤0) .





得到 ∵y≤0,



∴ ∴

, . (θ 为参数,π≤θ≤2π)的交点坐标是 . .

∴直线 y=x 与曲线 C: 故答案为:

点评: 本题考查了将曲线的参数方程转化为普通方程,本题难度不大,属于基础题. 8. (4 分)甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7,且射击 结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为 0.58. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意可得两人是否击中目标是相互独立的,利用相互独立事件的概率乘法公式 可得答案. 解答: 解:由题意可得:两人是否击中目标是相互独立的, 因为两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7, 所以两人都击中目标的概率为:0.6×0.7=0.42, 所以甲、乙至多一人击中目标的概率为:1﹣0.42=0.58. 故答案为:0.58. 点评: 本题主要考查相互独立事件的定义与相互独立事件的概率乘法公式的应用,此题属 于基础题,只要学生认知细心的计算即可得到全分.

9. (4 分)矩阵

中每一行都构成公比为 2 的等比数列,第 i 列各元

素之和为 Si,则

= .

考点: 数列的极限;数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 先求出 Si=2
i﹣1

(1+2+…+n)=

?2

i﹣1

,再求极限即可.

解答: 解:∵矩阵

中每一行都构成公比为 2 的等比数列,第 i 列

各元素之和为 Si, ∴Si=2
i﹣1

(1+2+…+n)=

?2

i﹣1



∴ 故答案为: .

=

= .

点评: 本题考查数列的极限与求和,考查学生的计算能力,正确求和是关键. 10. (4 分)如图所示:在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥BC,AB=BC=BB1,则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为 .

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间角. 分析: 通过题意易得直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 即为正方体的一半,直接得出答案. 解答: 解:根据题意,易得直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 即为正方体的一半, ∴所求即为平面 A1B1C 与平面 A1B1C1 所成的二面角,即为∠C1B1C, 又∵△B1C1C 为等腰直角三角形,∴∠C1B1C= 故答案为: . ,

点评: 本题考查二面角的求法,发现“直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 即为正方体的一半”是解决本 题的关键,属于中档题. 11. (4 分)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 a,二项式 x 项的系数为 ,则常数 m= .
3

的展开式中

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图;二项式定理. 分析: 根据程序求出 a 的值,然后利用二项式定理的内容即可得到结论. 解答: 解:当 i=1,满足条件 t<2014,a= 当 i=2,满足条件 t<2014,a= 当 i=3,满足条件 t<2014,a= 当 i=4,满足条件 t<2014,a= = ,i=3, =2,i=4, =﹣1,i=5, =﹣1,i=2,

∴s 的取值具备周期性,周期数为 3, ∴当 i=2014,不满足条件 i<2014, ∴当 i=2013 时,a=2, 二项式 的展开式的通项公式为 ( x)
2 4﹣k

?(



k

=

m

?x
3

,由 8﹣

=3,解得:k=2

∴当 k=2 时 x 项的系数是 故答案为: .

m=1,可解得:m= .

点评: 本题主要考查程序框图的应用,以及二项式定理的应用,综合性较强. 12. (4 分)设 f(x)是定义域为 R 的奇函数,g(x)是定义域为 R 的偶函数,若函数 f(x) +g(x)的值域为[1,3) ,则函数 f(x)﹣g(x)的值域为(﹣3,﹣1]. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的定义域及其求法;函数的值域;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,进行判断即可. 解答: 解:∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,g(x)是定义域为 R 的偶函数, ∴﹣[f(x)﹣g(x)]=﹣f(x)+g(x)=f(﹣x)+g(﹣x) ,

∵函数 f(x)+g(x)的值域为[1,3) , ∴1≤f(﹣x)+g(﹣x)<3, 即 1≤﹣[f(x)﹣g(x)]<3, 则﹣3<f(x)﹣g(x)≤﹣1, 即函数 f(x)﹣g(x)的值域为(﹣3,﹣1], 故答案为: (﹣3,﹣1] 点评: 本题主要考查函数值域的求解,根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键. 13. (4 分)△ ABC 所在平面上一点 P 满足 面积为 6,则△ ABC 的面积为 12. 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由已知中 P 是△ ABC 所在平面内一点,且满足 我们根据向量加法的三角形法则可得 m =2 , ,若△ ABP 的

,C 到直线 AB 的距离等于 P 到直线 AB 的距

离的 2 倍,故 S△ ABC=2S△ ABP,结合已知中△ ABP 的面积为 6,即可得到答案. 解答: 解:取 AC 的中点 O,则, ∵ ∴m =2 , ,

∴C 到直线 AB 的距离等于 P 到直线 AB 的距离的 2 倍, 故 S△ ABC=2S△ ABP=12. 故答案为:12.

点评: 本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义,其中根据 m S△ ABC=2S△ ABP,是解答本题的关键.

=2

,得到

14. (4 分)对于曲线 C 所在平面上的定点 P0,若存在以点 P0 为顶点的角 α,使得 α≥∠AP0B 对于曲线 C 上的任意两个不同的点 A,B 恒成立,则称角 α 为曲线 C 相对于点 P0 的“界角”, 并称其中最小的“界角”为曲线 C 相对于点 P0 的“确界角”. 曲线 C: y= 相对于坐标原点 O 的“确界角”的大小是 .

考点: 曲线与方程. 专题: 综合题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 画出函数 ( f x) 的图象, 过点 O 作出两条直线与曲线无限接近, x≥0 时, 曲线 y= 与直线 y=k1x 无限接近,考虑渐近线,求出 k1=1;x<0 时,曲线可化为 x +(y﹣2) =1(x <0) ,圆心到直线的距离为 =1,故 k2=﹣ ,再由两直线的夹角公式即可得到所求
2 2

的“确界角”. 解答: 解:画出函数 f(x)的图象,过点 O 作出两条直线与曲线无限接近,设它们的方程 分别为 y=k1x,y=k2x, 当 x≥0 时,曲线 y=
2

与直线 y=k1x 无限接近,即为双曲线的渐近线,故 k1=1;
2

当 x<0 时,曲线可化为 x +(y﹣2) =1(x<0) ,圆心到直线的距离为 ﹣ , |=2+ . ,

=1,故 k2=

由两直线的夹角公式得,tanθ=| 故曲线 C 相对于点 O 的“确界角”为 故答案为: .

点评: 本题考查新定义“确界角”及应用, 考查直线与圆的位置关系, 双曲线的性质: 渐近线, 属于中档题. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得 0 分. 15. (5 分)下列不等式中,与不等式 ≥0 同解的是()

A.(x﹣3) (2﹣x)≥0 ≥0

B.

(x﹣3) (2﹣x)>0 C.

≥0

D.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将不等式进行等价变形进行对比即可. 解答: 解:不等式 即 ≥0, ≥0 等价为 ,

故选:D. 点评: 本题主要考查分式不等式的求解和变形,比较基础. 16. (5 分)设 M、N 为两个随机事件,如果 M、N 为互斥事件,那么() A. 是必然事件 C. 与 一定为互斥事件? 考点: 专题: 分析: 解答: B. M∪N 是必然事件 D. 与 一定不为互斥事件

互斥事件与对立事件;随机事件. 概率与统计. 有 M、N 是互斥事件,作出相应的示意图,即可得. 解:因为 M、N 为互斥事件,如图:

, 无论哪种情况, 是必然事件. 故选 A. 点评: 本题考查借助示意图判断事件间的关系,考查互斥事件的定义,属于基础题 (ρ∈R)对称的曲线的极坐标方

17. (5 分)在极坐标系中,与曲线 ρ=cosθ+1 关于直线 θ= 程是() A.ρ=sin( +θ)+1 B.ρ=sin( ﹣θ)+1C.ρ=sin(

+θ)+1 D.ρ=sin(

﹣θ)+1

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 第一步:将对称轴方程化为直角坐标方程; 第二步:在已知曲线 ρ=cosθ+1 上任取一点,并化为直角坐标;

第三步:求该点关于对称轴对称的点,并化为极坐标形式; 第四步:将此极坐标逐个代入四个选项中验证即可达到目的. 解答: 解:由 θ= ,得 tanθ= ,则 ,即 ,得对称轴方程为 , .

在方程 ρ=cosθ+1 中,取 θ= 由 ,得点(

,1)的直角坐标为(0,1) , 垂直的直线的直角坐标方程为 , 对称的点为 , ,

则过点(0,1)且与直线 从而此两直线的交点坐标为

由中点公式,得点(0,1)关于直线

设其极坐标为(ρ0,θ0) ,则

,取





,得点 (ρ∈R)对称的曲线上,



此点必在曲线 ρ=cosθ+1 关于直线 θ=

在四个选项中,只有选项 C 中的方程满足. 故选:C. 点评: 本题考查了极坐标与直角坐标之间的相互转化,及轴对称问题的处理,难点是点关 于直线对称的点的求法,求解时应善于运用中点公式及两直线互相垂直的充要条件.
2

18. (5 分)已知函数 f(x)=x ?sinx,各项均不相等的数列{xn}满足|xi|≤
*

(i=1,2,3,…,

n) .令 F(n)=(x1+x2+…+xn)?[f(x1)+f(x2)+…f(xn)](n∈N ) .给出下列三个命题: (1)存在不少于 3 项的数列{xn},使得 F(n)=0; (2)若数列{xn}的通项公式为
*

,则 F(2k)>0 对 k∈N 恒成立;

*

(3)若数列{xn}是等差数列,则 F(n)≥0 对 n∈N 恒成立. 其中真命题的序号是() A.(1) (2) B.(1) (3) C.(2) (3)

D.(1) (2) (3)

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 由题意,f(x)=x sinx 是奇函数,只需考查 0<x≤1 时的性质,此时 y=x ,y=sinx 都 2 是增函数,得 f(x)=x sinx 在[0,1]上是增函数;即 x1+x2≠0 时, (x1+x2) (f(x1)+f(x2) ) >0;

对于(1) ,取

≤x1=﹣x3

,x2=0,即可判断;

对于(2) ,运用等比数列的求和公式和性质,即可判断; 对于(3) ,运用等差数列的求和公式和性质,结合函数 f(x)的单调性,即可判断. 2 解答: 解:由题意得 f(x)=x sinx 是奇函数, 当 0<x≤ 时,y=x ,y=sinx 都是增函数,
2 2

∴f(x)=x sinx 在[0, ∴f(x)=x sinx 在[﹣
2

]上递增, , ]上是增函数;

若 x1+x2<0,则 x1<﹣x2,∴f(x1)<f(﹣x2) , 即 f(x1)<﹣f(x2) ,∴f(x1)+f(x2)<0; 同理若 x1+x2>0,可得 f(x1)+f(x2)>0; ∴x1+x2≠0 时, (x1+x2) (f(x1)+f(x2) )>0. 对于(1) ,取 ≤x1=﹣x3 ,x2=0,则 F(3)=(x1+x2+x3)?

[f(x1)+f(x2)+f(x3)]=0,因此(1)正确;

对于(2) ,∵

,∴x1+x2+…+xn=

<0,

又 f(2k﹣1)+f(2k) = + <0, ∴F(2k)>0 对 k∈N 恒成立,故(2)正确; 对于(3) ,如 x1+x2+…+xn=0,F(n)=0 时,若数列{xn}是等差数列, 则 x1+x2+…+xn>0,则 x1+xn>0,f(x1)>f(xn) ,可得 x2+xn﹣1>0,…,f(x2)>f(xn﹣1) ,… 相加即可得到 F(n)>0,同理 x1+x2+…+xn<0,即有 f(x1)+f(x2)+…f(xn)<0,即 F(n) >0, 则(3)正确. 故选 D. 点评: 本题通过命题真假的判定,考查了新定义的函数的性质以及应用问题,函数的单调 性与奇偶性问题,等差与等比数列的性质与应用问题,是综合题. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (12 分) 如图, 在 Rt△ AOB 中, ∠OAB= , 斜边 AB=4, D 是 AB 的中点. 现将 Rt△ AOB .
*

=

以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上的一点,且∠BOC= (1)求该圆锥的全面积;

(2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)求出圆锥底面半径,圆锥的侧面积 S 侧,然后求解圆锥的全面积. (2)过 D 作 DM∥AO 交 BO 于 M,连 CM,说明∠CDM 为异面直线 AO 与 CD 所成角,在 Rt△ CDM 中,求解异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. 解答: 解: (1)Rt△ AOB 中,OB=2 即圆锥底面半径为 2 圆锥的侧面积 S 侧=πrl=8π….4’ 故圆锥的全面积 S 全=S 侧+S 底=8π+4π=12π….6’ (2)过 D 作 DM∥AO 交 BO 于 M,连 CM 则∠CDM 为异面直线 AO 与 CD 所成角….8’ ∵AO⊥平面 OBC∴DM⊥平面 OBC∴DM⊥MC 在 Rt△ AOB 中, ∴ , ∵D 是 AB 的中点∴M 是 OB 的中点, ∴OM=1∴ . 在 Rt△ CDM 中, ∴ , ….12’ ,….10’

即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为

点评: 本题考查异面直线所成角的求法,几何体的全面积的求法,考查空间想象能力以及 计算能力. 20. (14 分)一个随机变量 ξ 的概率分布律如下: ξ x1 x2 P cos2A sin(B+C) 其中 A,B,C 为锐角三角形 ABC 的三个内角. (1)求 A 的值; (2)若 x1=cosB,x2=sinC,求数学期望 Eξ 的取值范围. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)通过概率和为 1,利用三角形的内角和化简求解即可.

(2)利用(1)的结果求出 B+C,表示出 解答: 解: (1)由题 cos2A+sin(B+C)=1,…2’ 则 1﹣2sin A+sinA=1 又 A 为锐角,得 (2)由 得 ,则 …9’ = 由△ ABC 为锐角三角形,得 = ,即 …6’
2

的范围,然后求解期望的范围.

… 4’

… 8’

,…11’

则 得 …14’



点评: 本题考查概率的应用,期望的求法,概率与三角函数相结合,题目新颖,是好题. 21. (14 分)用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示,它的外框是一个等腰梯形 PQRS, 内部是一段抛物线和一根横梁. 抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点 O, 梯形的腰紧靠在抛 物线上,两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点 A,B,抛物线与梯形下底的两 个焊接点为 C,D.已知梯形的高是 40 厘米,C、D 两点间的距离为 40 厘米. (1)求横梁 AB 的长度; (2)求梯形外框的用料长度. (注:细钢管的粗细等因素忽略不计,计算结果精确到 1 厘米. )

考点: 直线与圆锥曲线的关系.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)以 O 为原点,梯形的上底所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设梯形下底与 y 轴交于点 M,抛物线的方程为:x =2py(p<0) ,利用 D,求出 p,得到抛物线方程,即可求 解横梁 AB 的长度. (2)说明梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设 ,联立在与抛物线方程,通过相切关系,求出直线的 斜率,然后求解制作梯形外框的用料长度. 解答: 解: (1)如图,以 O 为原点,梯形的上底所在直线为 x 轴,建立直角坐标系, 2 设梯形下底与 y 轴交于点 M,抛物线的方程为:x =2py(p<0) , 2 由题意 D,得 p=﹣5,x =﹣10y…3’, 取 即 , ,
2

答:横梁 AB 的长度约为 28cm.…6’ (2)由题意,得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点 设 … 7’



则 得 梯形周长为 答:制作梯形外框的用料长度约为 141cm…14’

,即

…10’ , .

点评: 本题考查抛物线方程的应用,直线与抛物线的位置关系的应用,考查分析问题解决 问题的能力.

22. (16 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=



(1)求函数 h(x)=f(x)+2g(x)的零点; (2)若直线 l:ax+by+c=0(a,b,c 为常数)与 f(x)的图象交于不同的两点 A、B,与 g(x) 的图象交于不同的两点 C、D,求证:|AC|=|BD|; 2n 2n * (3)求函数 F(x)=[f(x)] ﹣[g(x)] (n∈N )的最小值.

考点: 函数与方程的综合运用;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用;二项式定理. 分析: (1)求出 H(x)的解析式,令 H(x)=0,解方程即可得到零点; (2)设出 A,B,C,D 的坐标,联立直线方程和 f(x) 、g(x)消去 y,运用韦达定理和中 点坐标公式,即可得证; (3)运用二项式定理展开和合并,再由基本不等式结合二项式系数的性质,即可求得最小值 为 1. 解答: 解: (1)由题意可得 即有函数 h(x)的零点为 ; ,

(2)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,则 ,

同理由 则 AB 中点与 CD 中点重合,即|AC|=|BD|; (3)由题意可得 = =
﹣2

,则



[ )]

(x

2n﹣2

+x

2﹣2n

)+

(x

2n﹣6

+x

6﹣2n

)+…+

(x

6﹣2n

+x

2n﹣6

)+

(x

2﹣2n

+x

2n

=

?2?2

2n﹣1

=1,

当且仅当 x=±1 时,等号成立. 所以函数 F(x)的最小值为 1. 点评: 本题考查函数的性质和运用,主要考查函数的零点和最值的求法,注意运用函数和 方程的思想,以及二项式定理和基本不等式的运用:求最值,属于中档题和易错题. 23. (18 分)对于一组向量 如果存在 (1)设 (p∈{1,2,3…,n}) ,使得| =(n,x+n) (n∈N ) ,若
*

(n∈N ) ,令 |,那么称

*

, 是该向量组的“h 向量”.

是向量组

的“h 向量”,

求实数 x 的取值范围;

(2)若 存在“h 向量”? 给出你的结论并说明理由; (3)已知 均是向量组

(n∈N ) ,向量组

*

是否

的“h 向量”,其中

=(sinx,cosx) ,

=

(2cosx,2sinx) .设在平面直角坐标系中有一点列 Q1,Q2,Q3,…,Qn 满足:Q1 为坐标原点, Q2 为 的位置向量的终点,且 Q2k+1 与 Q2k 关于点 Q1 对称,Q2k+2 与 Q2k+1(k∈N )关于点 |的最小值.
*

Q2 对称,求|

考点: 数列与向量的综合. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)通过“h 向量”的定义直接计算即可; (2)通过“h 向量”的定义,对 n 分奇偶数讨论即可; (3)通过计算可得 = 号成立,故 解答: 解: (1)由题意,得: 则 解得:﹣2≤x≤0; (2)结论: 理由如下: , 当 n 为奇数时, , 是向量组 的“h 向量”. , ,设 ,利用基本不等式可得 . , 、Qn(xn,yn) ,依题意计算可得 ≥1 当且仅当 (t∈Z)时等







故 即

= ;



当 n 为偶数时,



故 即 综合得: 是向量组

= ; 的“h 向量”; , ,即 , , , ,



(3)由题意,得: 即 同理 三式相加并化简,得: 即 ,

, ,所以 ,



,由

得:



设 Qn (xn, yn) , 则依题意得: 得(x2k+2,y2k+2)=2[(x2,y2)﹣(x1,y1)]+(x2k,y2k) 故(x2k+2,y2k+2)=2k[(x2,y2)﹣(x1,y1)]+(x2,y2) (x2k+1,y2k+1) =﹣2k[(x2,y2)﹣(x1,y1)]+(x2,y2) , 所以





当且仅当 故

(t∈Z)时等号成立, .

点评: 本题考查新定义,向量模的计算,等比数列的求和,二倍角公式,基本不等式,注 意解题方法的积累,属于中档题.


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