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大参数随机共振的两种方法及数值仿真(1)


第 41 卷第 3 期 2007 年 9 月

华中师范大学学报( 自然科学版) JO U RN A L OF H U A ZH ON G NO RM A L U N IV ERSIT Y( N at. Sci. )

Vo l. 41 N o. 3 Sept. 2007

文章编号: 1000 1190( 2007)

03 0364 05

大参数随机共振的两种方法及数值仿真
刘利姣1* , 黄光明1, 2 , 杜 茜1 , 李亚兰1
( 1. 华中师范大学 物理科学与技术学院, 武汉 430079; 2. 湖北省教育信息化研究中心, 武汉 430079) 摘 要: 分析了白噪声通过双 稳系统的频谱特点, 解释了只有小参数信号( 小频率, 小幅度) 才能出

现随机共振的原因, 探讨了两 种变换方法对大参数信号实现随机共 振, 并 进行仿真验 证, 为 实际工 程应用中大频率微弱信号的检测提供了依据. 关键词: 随机共振; 数值仿真; 信号检 测 中图分类号: T N911. 23 文献标识码: A

随机共振理论最初是由意大利学者 Benzi 等 提出 , 用于解释地球远古气象中每隔十万年左右
[ 1]

1 随机共振原理简述
考虑最常见的双稳系统模型: dx 3 0 dt = ax - bx + A sin( 2 f t) + 2Dg ( t) , ( 1)

冰川期与暖气候期交替出现的现象. 它描述了一个 具有非线性的双稳系统, 在一个小的周期性调制信 号作用下同时输入噪声和信号, 当噪声增强到某一 程度时, 信噪比不仅不会降低, 反而升高了. 这是因 为系统产生随机共振使输出信号得到显著增强. 随 机共振的机理表明, 合适的噪声强度可以使得弱输 入信号驱动下的非线性系统的输出信噪比达到某 一最佳值, 其本质 是部分噪声能量 转化为信号能 量, 是输入信号与噪声的协同作用. 近几年, 随机共 振 理论 在 信 号 处 理 方 面 的 研 究 受 到 了 广泛 关 注[ 2 3] , 其中在强背景噪 声中检测微弱信号方面, 随机共振显示出了其独特的优势. 随机共振的绝热 近似理论, 在一定程度上解释了随机共振的产生机 理, 但这些理论只适用于小参数信号( 小幅度, 小频 率, 小噪声) , 而实际工作中的信号参数可能很大, 绝热近似就不适用了. 文献[ 4] 通过二次采样频率 变换的思想, 将小参数随机共振扩展应用到大参数 的随机共振, 但没有说明具体的实现方法, 文献[ 5] 也提出了一种变换思想, 将高频信号转换为低频信 号来处理, 但其只采用电路模拟出结果, 并没有给 出仿真结果. 本文在分析了小信号随机共振理论的 频率特性的基础上, 探讨了文献[ 4, 5] 中的两种大 参数信号随机共振的实现方式, 为随机共振应用于 工程测量提供了依据.

式中 a, b 为大于零的实数, 是势阱的形状参数, A 为信号幅值, f 0 为信号频率, g( t) 代表均值为 0、 方 差为 1 的白噪声, 满足 g( t ) = 0 和 g ( t ) g ( t!) = 2D ( t - t!) , 其中 D 为噪声强度, t!为延迟时间, 相 应的势函数为 1 2 1 4 V ( x ) = - 2 ax + 4 bx x ( A cos2 f 0 t + 2Dg ( t) ) . a/ b, 垒高为 ( 2) U 当输入信号幅值 A 和噪声强度 D 均为 0 时, 系统 有两个相同的势阱, 位于 x = ?
2

= a / 4b. 系统的最终输出状态将停留在两势阱中 的一个, 这取决于系统的初始状态. 当外界输入 A 不等于零时, 整个系统的平衡被打破, 势阱在 A 的 驱动 下 发 生 倾 斜; 当 静 态 值 A 达 到 阈 值 A c =
3

4a3 / 27b时, 系统只剩下另外一个势阱, 其状态就

会转入到这个势阱中, 输出状态将产生大幅值的跳 变, 系统完成了一次势阱触发. 当 A = 0 时, 两势阱 间的跃迁速率为 R = ( a/ 2 ) exp ( - 2 U/ D) ( 绝 热条件下, 即 D 统达到共振. 1, A 1, f 1 1 1) , 当 R = 2f 0 时, 系

收稿日期: 2007 01 16. 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 10474027) . * E ma il: liulijiaollj@ ho tmail. com.

第 3期

刘利姣等: 大参数随机共振的两种方法及数值仿真

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2 小参数信号的随机共振
在小 参 数信 号 的 条 件 下, 根 据 绝热 近 似 理 论
[ 9]

为 0. 18, 所以在 a= b= 1 时, 只有频率非常小时, 才能发生随机共振. S( f ) = S 1 ( f ) + S 2 ( f ) ,
4 2 2 2

( 3a)

, 式( 1) 所示系 统输出的功率谱 S ( f ) 由两部

分组成, 一部分是由输入正弦信号引起的 S 1 ( f ) , 它与输入信号的频率相同, 并具有固 定的相位关 系; 另一部分是由噪声引起的 S 2 ( f ) , 它是具有洛 仑兹形式的连续分 布的噪声谱. 当 b= 1 时, 其表 达式和相互关 系分 别如式 ( 3) . 洛 仑兹 分布 的输 出功率谱表明了频谱能量均匀 分布的白噪声, 经 过非线性双稳系统作用后, 其频谱的 结构发生了 变化, 不再是均匀分布, 而 是向低频区域集中. 由 于布朗粒子只有在一定噪声能 量的驱动下, 才能 越过势垒在 双稳系 统的两 势阱之 间以 信号 频率 做跃迁运动, 因此, 能 够产 生随机 共振 谱峰 的频 带, 将局限在系统输出功率谱的低频 带. 另外, 理 论上, 在绝热 近似条 件下, 即 A 1, D 1, f 1 时, 求得跃迁 速率 为 R = ( a/ 2 ( exp( 2 U/ D) , 其最大值为a/ 2 , 当系统参数 a= b= 1 时, 该值

S1 ( f ) =

2a A exp( - a / 2d) / D # 2a 2 exp( - a2 / 2D) / 2 + ( 2 f 0 ) 2 ( f 0- f ) ,
3 2 2 2 2

( 3b)

S2 ( f )= 12

a A exp(- a / 2D)/ D # 2a2exp(- a2/ 2D)/ 2+ (2 f 0 ) 2

4 2a2 ex p( - a2 / 4D) / . ( 3c) 2a ex p( - a2 / 2D) / 2 + ( 2 f ) 2 图 1 是取 参 数 a = 1, b = 1, A = 0. 3, f 0 = 0. 01 H z, D = 1. 5, 采用 四阶 龙格 库 塔法 数值 计 算[ 6] , 采样频率 f s= 5, 采样点数 10 000, 并进行 20 次平均而得到的. 其中图 1( a) 为系统输入波形, 而 图 1( b) 为系统输出波形, 可以看到, 输出的信号按 照输入正弦信号的频率在两个势阱之间进行很好 的跃迁. 图 1( c) 为输出信号的频谱图, 容易看到, 信号频率处有明显的峰值出现.

( a) v( t) 的时域波形

( b) 系统输出时域信号

( c) 系统输出功率谱 图1 Fig . 1 数值仿真结果

T he results of simulation

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华中师范大学学报( 自然科学版)

第 41 卷

3 大信号双稳系统的随机共振
在工程应用中, 所处理的一般是大信号, 即大频 率, 强噪声等, 那么根据绝热近似理论, 在系统参数 a = b= 1 时, 大参数信号无法实现随机共振. 图 2 是取 参数 a= 1, b= 1, A = 0. 1, f 0 = 40 H z, D= 0. 5 仿真得 到的. 其中, 图 2(a) , 2( b) , 2( c) 分别为系统输入时域波 形, 输出时域波形和输出频谱图. 容易看到, 系统的输 出已跟不上输入的变化, 输出信号杂乱无章, 所以, 在 频谱图中也无法看到输入信号频率处的谱峰.

那么大参数信号就不能实现随机共振了吗? 如 果将原信号的频率进行线性压缩, 也即时域拓展, 那 么较高的信号频率就变成了较低的频率, 这样就可 以实现共振了, 在仿真计算的过程中, 这种压缩表现 在将算法的步长扩大到采样周期的若干倍. 比如: 信 号频率 f 0 , 其采样频率为 f s , 则采样周期为 T s , 那 么算法的步长可以选取为 T = nT s , 此 时在系统 输出的频率即为压缩过的频率 f 0 / n, 原 信号的频 率就容易根据输出信号的频率进行恢复了.

( a) v( t) 的时域波形 ( a) v( t) 的时域波形

( b) 系统输出时 域信号

( b) 系统输出时域信号

( c) 系统输出功率谱 图2 F ig . 2 数值仿真结果 Fig . 3

( c) 系统输出功率谱 图3 数值仿真结果

T he result of simulation

T he results of simulatio n

第 3期

刘利姣等: 大参数随机共振的两种方法及数值仿真

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仍然取图 2 中的参数, 令

T = 250T s , 得到图

3 中的输出时域波形和频谱( 进行频率恢复过的) . 可以看到在 40 H z 处有一个谱峰存在. 这就为工程 应用中的小信号检测提供了依据. 此种方式是定步 长计算的, 对于用数值仿真的方法来检测淹没在噪 声中的小信号, 此法比较适用. 实际上, 对于大信号的随机共振, 还有另外一 种实现方式. 对于 ( 1) , 引入变换: y = x at ; 代入( 1) 式得 a a dy = a b d! a y- a b ! 2Dg a , 式中, 噪声 g a 3 2 f0 y + A cos + b a ( 4)
( a) v( t) 的时域波形

b , != a

! ! 满足: g ( ) g ( 0) = a ( t ) . 令 a a 2 f0 b 3 A cos !+ a a ( 5)

? !) = 0, ? ! ? 0) = ( ! , 则可将上式变为: ( ( ) ( ) dy 3 = y- y + d!

2D b ?!. ( ) a2

由此可见, 该式与原式是等价的, 且信号频率 为原信号频率的 1/ a, 因此, 对于高频信号, 可以通 过选取适当的参数 a, 将高频信号转换成低频来处 理. 通过选取适当的参数, 以适应不同强度的输入 信号和噪声. 对这一理论进行仿真分析时, 由于选取的参数 比较大, 进行定步长的龙格库塔算法容易出现无穷 大的情况, 所以 此处采 用了 M AT L AB 软 件中的 Sim ulink 进行仿真, 算法选用 ode45, 变步长. 选取方程 dx/ dt= 31150x - 1855x 3 + 39680sin( 200 t) + ( 700000? t) . ( 6)
( c) 系统输出功率谱 图4 Fig . 4 数值仿真结果 ( b) 系统输出时域信号

此时的参数分别为 a= 31150, b= 1855, A = 39680, f 0 = 100H z , D = 350000, 进行数值 计算的结果如 图 4. 从图 4( b) 可以看到, 输出信号按照原信号频 率在两个势阱之间进行跃迁, 信号、 噪声与系统三 者之间的随机共振出现了.

T he results of simulatio n

4 结论与展望
本文分析了白噪声通过双稳系统的频谱特点, 针对大参数信号实现随机共振的理论进行了详细 分析; 探讨了两种方法, 一种采用尺度变换的方式, 对信号进行时域拓展, 另一种是通过选取合适的参 数, 将高频变换成低频进行处理. 数据仿真实验表

明: 采用尺度变换的方式可以实现 40 H z 信号的随 机共振, 在振子输出端的频谱图中可以看到40 H z 处有谱峰出现; 采用变量变换的方式, 将高频变为 低频进行处理, 可使 100 H z 的信号和系统、 噪声之 间出现随机共振, 从振子输出端的频谱图中可以看 到 100 H z 处有谱峰出现. 综上所述, 两种变换方式 都可以实现大参数的随机共振, 这为实际工程应用

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华中师范大学学报( 自然科学版)
[ J] . Re M od Phys 1998, 70( 1) : 223 288. [ 3]

第 41 卷

中使用随机共振理论对大频率微弱信号的检测提 供了理论依据, 有一定的应用价值. 然而, 在实际应用中, 仍然存在一些问题: ( 1) 对双稳系统进行数值仿真, 当采样频率降 低时, 计算数值仿真出现发散, 不能够准确地对振 子模型进行求解与仿真, 采用计算机进行数值仿真 时, 要随机共振发生需要将采样频率设定为 1 000 倍于信号的频率, 效果才比较好. ( 2) 随机共振只能反映输入信号的频率, 不能 反映输入信号的幅值, 怎样将该理 论运用于计量 学, 还是一个有待研究的问题.
[ 8] [ 4] [ 5]

Bu lsara A R, G amm ait oni L. Evalu at ion of st ochas ti c reso n an ce based det ect or s of w eak harmonic signals in addit ive w hit e gau ssian nois e[ J ] . 1996 Phys R ev E, 1996, 57 ( 6) : 6 470 6 479. 冷勇刚, 王太勇, 秦旭达. 二次采样 随机共振频谱 研究与应用 初探[ J] . 物理学报, 2004, 53( 3) : 717 723. 杨定新, 胡茑庆. 基于随机 共振电 路模拟 的微弱 周期信 号检 测[ J] . 电路与系统学报, 2004, 9( 6) : 135 138. 胡 岗. 随机力与非线性系 统[ M ] . 上海: 上 海科技教 育出版

[ 6] [ 7]

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Two method of the large parameter signal stochastic resonance and numerical simulation
L IU L ijiao 1 , H U ANG Guangm ing 1, 2 , DU Qian 1 , L I Yalan 1
( 1. Department of Elect ronic and I nfo rmatio n Eng ineer ing, Huazho ng N or mal U niv ersity , W uhan 430079; 2. Info rmatio n R esear ch Cent er of H ubei Pro vince Education, Wuhan 430079)

Abstract: T he paper analyzed t he char act eristics of w hite no ise via bistable system, ex plained t he reasons of t he small parameter signal show ing st ochastic resonance, dis cussed tw o t ransfo rms t o im plement t he lar ge paramet er sig nal st ochast ic resonance and simulat ed t hem. T his t heo ry provided ev idence f or t he applicat ion of t he st ochast ic reso nance in engineering. Key words: st ochastic resonance; numerical simulat io n; sig nal det ect io n


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