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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:2.8《函数与方程》


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2.8 函数与方程
考情分析
高考中,通常以选择、填空的形式考查函数零点个数和存在性,往往涉及基本初等函数,导 数,解题中要注意数形结合的思想方法。

基础知识
1. 函数 y=f(x)的零点,实际上就是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x) 的图像与 x 轴交点的横坐标。 (1)温馨提示:函数的零点是一个数,而不是直角坐标系中的点。 (2)函数零点的求法: 代数法:求方程 f(x)=0 的 实数根; 几何法:不能用求根公式的方程,将它与函数 y=f(x)的图象联系,利用函数性质找出零点 2.零点存在性定理:若函数 y =f(x)在区间 [a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线,并且 有 f (a ) ? f (b) ? 0 ,则函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 3、二分法求方程的近似解 二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 , 首 先 要 找 到 方 程 的 根 所 在 的 区 间 (m, n) , 则 必 有

f ( m) ? f ( n ) ? 0 , 再 取 区 间 的 中 点 p ?

m?n , 再 判 断 f ( p ) ? f ( m) 的 正 负 号 , 若 2

f ( p ) ? f ( m ) ? 0 , 则 根 在 区 间 ( m, p ) 中 ; 若 f ( p ) ? f ( m ) ? 0 , 则 根 在 ( p , n ) 中 ; 若 f ( p ) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按照以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似
值相同(且都符合精确度要求) ,即可得一个近似值. 三、典型例题:
[来源:学科网 ZXXK]

注意事项 1、用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看.同 号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断. 2、(1)函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,是数不是点. (2)若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函 数值符号相反,即 f(a)· f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不 能说就没有零点.如图,

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f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性 定理的条件是充分条件,但并不必要. 3、函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2 )零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线, 且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数 有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的 横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

典型例题
题型一 函数零点与零点个 数的判断

1 【例 1】函数 f ( x) ? x ? ( ) x 的零点个数为( 2
(A)0 (B)1(C)2 (D)3

1 2



【变式 1】 函数 f(x)=log3x+x-3 的零点一定在区间( A.(0,1) 解析 法一 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

).

函数 f(x)=log3x+x-3 的定义域为(0,+∞),并且在(0,+∞)上

递增连续,又 f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,∴函数 f(x)=log3x+x-3 有唯一

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的零点且零点在区间(2,3)内. 法二 方程 log3x+x-3=0 可化为 log3x=3-x,在同一坐标系中作出 y=log3x 和 y=3-x 的图象如图所示,可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内.

答案 C 题型二 有关二次函数的零点问题

【例 2】 ?是否存在这样的实数 a, 使函 数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3] 上与 x 轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出 a 的取值范围,若不存 在,说明理由. 8? 8 ? 解 ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9?a-9?2+9>0 ? ? ∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 1 所以 a≤-5或 a≥1. 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1.所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1. 1 13 6 (2)当 f(3)=0 时,a=-5,此时 f(x)=x2- 5 x-5. 13 6 令 f(x)=0,即 x2- 5 x-5=0, 2 解之得 x=-5或 x=3. 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠-5. 1 综上所述,a<-5或 a>1.

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【变式 2】 关于 x 的一元二次方程 x -2ax +a+2=0,当 a 为何实数时 (1)有两不同正根; (2)不同两根在(1,3)之间; (3)有一根大于 2,另一根小于 2; (4)在(1,3)内有且只有一解 解 设 f(x)=x2-2ax+a+2, Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1).

2

?Δ> 0, (1)由已知条件?x1+x2=2a>0, ?x1· x2=a+2>0,

解得 a>2.

?1<a<3, (2)由已知条件? f?1?>0, ?f?3?>0,
Δ>0,

11 解得 2<a< 5 .

(3)由已 知条 件 f(2)<0,解得 a>2. 11 (4)由已知条件 f(1)f(3)<0 解得 5 <a<3. 11 7 检验:当 f(3)=0,a= 5 时,方程的两解 为 x=5,x=3, 当 f(1)=0,即 a=3 时,方程的两解 为 x=1,x=5, ?Δ=0, 11 可知 5 ≤a<3.当? ?a=2. ?1<a<3 即 a=2 时 f(x)=x2-4x+4=(x-2)2 方程的解 x1=x2=2 11 ∴a=2,综上有 a=2 或 5 ≤a<3. 题型三 函数零点性质的应用
[来源:学#科#网]

【例 3】设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π的偶函数, f ?( x) 是 f(x)的导函数,
当 x ? ? 0, ? ? 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π) 且 x≠ y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为( A .2 B . 4 C. 5 D. 8 )

?
2

时 , (x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数

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【变式 3】设曲线 C 的方程是 y ? x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、s (t ? 0)
个单位长度后得到曲线 C1 , (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ? 解: (1)曲线 C1 的方程为 y ? ( x ? t ) ? ( x ? t ) ? s ;
3

t s 2 2

t2 ?t . 4

(2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) ,设 B2 ( x2 , y2 ) 是 B1 关于点 A 的对称点,则 有

x1 ? x2 t y1 ? y2 s ∴ x1 ? t ? x2 , y1 ? s ? y 2 代入曲线 C 的方程, 得 x2 , y2 的方程: ? , ? , 2 2 2 2

s ? y2 ? (t ? x2 )3 ? (t ? x2 )
即 y2 ? ( x2 ? t ) ? ( x2 ? t ) ? s 可知点 B2 ( x2 , y2 ) 在曲线 C1 上.
3

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反过来,同样证明,在曲线 C1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上. 因此,曲线 C 与 C1 关于点 A 对称. (3)证明:因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点, ∴方程组 ?
3 ? ?y ? x ? x 有且仅有一组解, 3 y ? ( x ? t ) ? ( x ? t ) ? s ? ?

消去 y ,整理得 3tx 2 ? 3t 2 x ? (t 3 ? t ? s ) ? 0 ,这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根, ∴ ? ? 9t ? 12t (t ? t ? s ) ? 0 ,即得 t (t ? 4t ? 4 s ) ? 0 ,
4 3

3

[来源:学_科_网]

因为 t ? 0 ,所以 s ?

t3 ?t . 4
1 的图像; x
2

难点突破
(1)试作出函数 y ? x ?

(2)对每一个实数 x ,三个数 ? x, x,1 ? x 中 最大者记为 y ,试判断 y 是否是 x 的函 数?若是,作出其图像,讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值) ;若不是,说明 为什么? 解: (1) ∵ f ( x) ? x ? 时, f ( x) ? 2 , ∴ x ? 1 时, f ( x) 的最小值为 2,图像最低点为 (1, 2) , 又∵ f ( x) 在 (0,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数, 同时 f ( x) ? x ?

1 , ∴ f ( x) 为奇函数, 从而可以作出 x ? 0 时 f ( x) 的图像, 又∵ x ? 0 x

1 ? x( x ? 0) 即以 y ? x 为渐近线, x

于是 x ? 0 时,函数的图像应为下图①, f ( x) 图象为图②:

y

y

y

O


x

O


x

O


x

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(2) y 是 x 的函数,作出 g1 ( x) ? x, g 2 ( x) ? ? x, g 3 ( x) ? 1 ? x 2 的图像可知, f ( x) 的图像是 图③中实线部分.定义域为 R ;值域为 [1, ??) ;单调增区间为 [?1, 0),[1, ??) ;单调减区间 为 (??, ?1),[0,1) ;当 x ? ?1 时,函数有最小值 1;函数无最大值.

巩固提高 1.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范 围是( ).

A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 Δ>0,即 m2-4 >0,解得 m<-2 或 m>2,故选 C. 答案 C 2.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点( A.至少有一个 C.有且只有一个 答案 B 3.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标 的是( ). B.至多有一个 D.可能有无数个 ).
[来源:Zxxk.Com]

A.①② 答案 B

B.①③

C.①④

D.③④

4.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 ( ).

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? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? 解析

1? ? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

1 1 1 1 ?1? 1 ?1? 1 因为 f?4?=e4+4×4-3=e4-2<0,f?2?=e2+4×2-3=e2-1>0,所 ? ? ? ?
[来源 :学*科*网 ]

?1 1? 以 f (x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为?4,2?. ? ? 答案 C

5 .已知函数 f(x) = x2 + x + a 在区间 (0,1) 上有零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 函数 f(x)= x2+x+a 在(0,1)上递增.由已知条件 f(0)f(1)<0,即 a(a+2)<0, 解得-2<a<0. 答案 (-2,0)


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