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2014年全国高中联赛一试训练题(附每题详解)


冲刺 2014 年全国高中联赛

2014 年全国高中联赛一试训练题
x2 y2 1.已知 A(4, 0),B(2, 2)是椭圆 + =1 内的点,M 是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最大值为_____ ____. 25 9 2.已知 x≥0,y≥0 并且 x2+y2=1,则 x(x+y)的最大值是____________. 3.集合{(x,y

,z)|log0.25(x4+y4+z4+1)≥log0.25x+log0.25y+log0.25z-1}的元素的个数为 的 f 共有__________个. 1 5.对于一个有限数列 P=(P1, P2, …, Pn),P 的蔡查罗和(蔡查罗是一名数学家)定义为 (S1+S2+…+Sn), n 其中 Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n),若一个 99 项的数列(P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为 1000, 那么 100 项数列(1,P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为
2 2 2



4.设集合 A={1,2,3,…,k},B={1,2,3,…,m}(k≤m)建立从 A 到 B 的映射 f,使 f 是递增的,则这样


D1 C1

2b x y 6.定义长为 l (l> )的线段 AB 的两个端点都在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支上, a a b 则 AB 的中点 M 的横坐标的最小值为 .
A1

B1 G F D C

7.在棱长为 a 的正四面体中嵌入一个圆柱体,使其高度恰为四面体高度的一半, 并且上底与四面体的侧面相切,则这个圆柱体的表面积为________________. 1 8.方程 log2x=sin(5πx)的解有_____________个. 5 G,若此容器可以任意放置,则其可装水的最大容积为 .
A

E

B

9.如图,有一个容积为 1 的单位立方体 ABCD-A1B1C1D1,在棱 AB,BB1 及对角线 BC1 的中点各有一个孔 E,F, a+b 1 10.已知 f(x)=log1(3x+1)+ abx 为偶函数,g(x)=2x+ x 为奇函数,其中 a,b∈C, 2 2 3 则 a+a2+a3+…+a2000+b+b2+b3+…+b2000=________________. 11.已知 99 个数 a1,a2,…,a99 每个都只能取+1 或-1,则 a1a2+a1a3+…+a1a99+a2a3+…+a98a99 的最小正 值是____________. 12.从 1,2,3,…,100 中取三个不同的数,若它们构成等差数列,则这样的等差数列有__________个. 13.平面 α 截三棱锥 V-ABC 的三条侧棱 VA,VB,VC 依次为 A',B',C',截底面 ΔABC 三边 AB,AC,BC 的 SΔANP· SΔBMB'· SΔVC'A' =____________. SΔPMB· SΔB'C'V· SΔANA' sin(β+γ)sin(γ+α) 4 sin(β+γ)sin(γ+α) 14.已知 = ,则 的值是_______________. cosαcosβ 9 cos(α+β+γ)cosγ 延长线依次为 P,N,M,则 15.从 1,2,3,…,99 这 99 个自然数中任选不同的两个数, 则和小于 99 的概率为_________. 16.若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000, 则 a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为 .
V

A‘ B‘

C‘

M N

C A B P

17. 对于 i=1, 2, 3, …, n, 有|xi|<1, 且|x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn|, 则正整数 n 的最小值为__________. x2+(2a2+2)x-a2+4a-7 18.若关于 x 的不等式 2 <0 的解集是一些区间的并集,且这些区间的长度的和不小 x +(a2+4a-5)x-a2+4a-7 于 4,则实数 a 的取值范围为___________________.

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19.已知 f(x)=( 2+ x)2(x≥0),又数列{an}(an>0)中,a1=2,这数列的前 n 项和 Sn(n∈N*)对所有大于 1 的正 整数 n 都有 Sn=f(Sn-1):⑴ 求数列{an}的通项公式; an+12+an2 lim (b1+b2+…+bn-n)=1. ⑵ 若 bn= (n∈N*),求证:n →∞ 2an+1an

(a+sinθ)(4+sinθ) 20.设 a>1,a,θ 均为实数,试求当 θ 变化时,函数 f(θ)= 的最小值. 1+sinθ

1 21.已知 f(u)=u2+au+(b-2),其中 u=x+ (x∈R 且 x≠0),若 a,b 是可使方程 f(u)=0 至少有一个实数根的实 x 2 2 数,求 a +b 的最小值.

1 1 1 a2 a3 an 22.如果 an=1+ + +…+ (n∈N*) ,证明:对一切 n≥2,都有 a2 n>2( + +…+ ). 2 3 n 2 3 n

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2014 年全国高中联赛一试训练题 答案
1.解:10+2 10;因为 A(4,0)是椭圆的右焦点,则椭圆的左焦点为 F(-4,0),从而得,|MA|+|MF|=10, 得|MA|=10-|MF|,所以|MA|+|MB|=10-|MF|+|MB|=10+(|MB|-|MF|)≤10+|BF|=10+2 10. ? 2.解:令 x=cos?,y=sin?(0≤?≤ ). 2 2 ? ? ? 则 u=x(x+y)=cos?(cos?+sin?)= 2sin?sin(?+ )= [cos -cos(2?+ )]. 2 2 4 4 3 2 1 ? 当 a= π 时,cos(2?+ )取得最小值-1,x(x+y)有最大值 + . 8 4 2 2 4 4 4 2 2 2 3. 1 个 解:4xyz≥x +y +z +1≥2x y +2z ≥4xyz (x,y,z>0)有且只有一解 x=y=z=1. k 4. Cm . 1 5. 991.解:因为 (S1+S2+…+S99)=1000, 99 1 1 1 则 [1+(1+S1)+(1+S2)+…+(1+S99)]= [100+(S1+S2+…+S99)]= (100+99× 1000)=991. 100 100 100 a(2a+l) 6. 解:要求线段 AB 的中点 M 的横坐标最小,转化为求中点 M 到右准线的最小值, 2 a2+b2 根据双曲线的第二定义,可得线段 AB 过双曲线的右焦点时可取得最小值,通过计算可得. π(2 2+1) 2 3 7.解: a ;因为上底与四面体的侧面相切,得到圆柱的半径为 r= a, 24 12 π(2 2+1) 2 6 3 6 1 高为 h= a,所以 S=2πrh+2πr2=2π a a+2π a2= a. 6 12 6 48 24 1 1 2 1 8. 159.解:-1≤ log2x≤1,? ≤x≤32.又 y=sin(5?x)的周期 T= ,在 ≤x≤32 内共有 80 个周期, 5 32 5 32 1 每个周期内 y= log2x 与 y=sin(5?x)有两个交点,但在点(1,0)所在周期只有 1 解,故共有 802-1=159 个解. 5 1 11 9.解:点 B 朝上斜过来放,三棱锥 B-ECB1 体积为 ,填 立方单位. 12 12 1 1 1 - 10.-2.解:f(x)=-log3(3x+1)+ abx,?f(-x)=-log3(3 x+1)- abx=-log3(3x+1)+(1- ab)x. 2 2 2 1 1 - - ∴ 1- ab= ab,?ab=1.g(-x)=2 x+(a+b)2x=-2x-(a+b)2 x.?a+b=-1. 2 2 ∴ a,b 是方程 x2+x+1=0 的两个复数根,即?、?2,故有 a+a2+a3=0,b+b2+b3=0.a+b=-1, a2+b2=-1. ∴ 原式=-2. 11.11.解:记所求和为∑=a1a2+a1a3+…+a1a99+a2a3+a2a4+…+a98a99,S=a1+a2+…+a99. 1 则 2∑+a12+a22+…+a992=2∑+99=S2. ∴ ∑= (S2-99), 取大于 99 且为奇完全平方数 121, 即得∑≥11. 2 而令 a1=a2=…=a55=1,a56=a57=…=a99=-1,则 S=11.即可使和取得最小值. 100-1 12.4900.解:选考虑公差为正的情况:公差 d≤ ,即公差≤49.公差为 d 的等差数列有 100-2d 个. 2 (公差为 1:1,2,3;→98,99,100;共 98 个;公差为 2:1,3,5;→96,98,100;共 96 个;……; 公差为 49:1,50,99,→2,51,100;共 2 个)∴ 共有 2+4+…+98=2(1+2+…+49)=50?49=2450. 由于颠倒后又得一新数列,故数列个数=2450?2=4900. 13. 1.解:P、M、N 都是平面 Ab?c?与平面 ABC 的公共点,?P、M、N 共线. S?ANP AP· PN S?BMB? B?B· B?M S?VC?A? A?V· A?C? ∴ = ; = ; = . PM S?B?C?V B?V· S?PMB PB· B?C? S?ANA? AA?· A?N S?ANP S?BMB? S?VC?A? AP· PN B?B· B?M A?V· A?C? AP BB? VA? NP MB? C?A? ∴ · · = · · = · · · · · =1. PM B?V· S?PMB S?B?C?V S?ANA? PB· B?C? AA?· A?N PB B?V A?A PM B?C? A?N (A?P 截?VAB,A?P 截?MNC?,用 Menelaus 定理) 1 [cos(β-α)-cos(α+β+2γ)] sin(β+γ)sin(γ+α) 2 4 4 14. ;解: = = , (1) 5 cosαcosβ 1 9 [cos(α+β)+cos(α-β)] 2 1 [cos(β-α)-cos(α+β+2γ)] sin(β+γ)sin(γ+α) 2 = (2) cos(α+β+γ)cosγ 1 [cos(α+β+2γ)+cos(α+β)] 2
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冲刺 2014 年全国高中联赛

令 cos(α-β)=A,cos(α+β)=B,cos(α+β+2γ)=C, 9 4 C+ B-C 5 A-C 4 A-C 5 9 4 4 则(1)即为 = ,则得 A= C+ B,所求的(2)即为 = = . 5 5 5 B+A 9 B+C B+C 16 15. .解:任取两个数 a 与 b(a<b),若 b≠99,且 a+b<99,则(99-a)与(99-b)也在 1,2,…,98 之内, 33 且 99-a+99-b>99.又若 b=99,则 99-b=0 不在 1~99 内,即 b=99 时,a=1,2,…,98,均为大于 99 的和.而和为 99 的数对共有 49 个.故小于 99 的和共有(C2 99-98-49)÷2=2352 个. 16 2 任取两数共有 C99=4851 个,故所求概率= . 33 又解:因为与 1 搭配使和小于 99 的数有 2,3,…,97 共 96 个,与 2 搭配使和小于 99 的数有 3,4,…,96 共 94 个,依次类推,与 48 搭配使和小于 99 的数有 49,50 共 2 个,所以共有 2352 个. 16.解:f(x)=(1+x+x2)1000 =a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,则 ∴ f(1)=31000=a0+a1+a2+a3+…+a2000; f(ω) =0 = a0+a1ω+a2ω2+a3+a4ω+a5ω2+…+a2000ω2; f(?2)=0 = a0+a1ω2+a2ω+a3+a4ω2+a5ω+…+a2000ω. ∴ 31000=3(a0+a3+a6+a9+…+a1998),? a0+a3+a6+a9+…+a1998=3999. 17.解:由于|x1|+|x2|+…+|xn|-19=|x1+x2+…+xn|≥0,而|xi|<1,故 n≥20. 取 x1=x3=x5=…=x19=0.95,x2=x4=x6=…=x20=-0.95;等号成立.故 n=20. 18. 解:由?1=(a2+4a-5)2-4(-a2+4a-7)=(a2+4a-5)2+4(a-2)2+12>0 知: 方程 x2+(a2+4a-5)x-a2+4a-7=0 有两个不相等的实数根 x1,x2 (x1<x2). 同理可知,方程 x2+(2a2+2)x-a2+4a-7=0 也有两个不等的实根 x3,x4 (x3<x4). 而(a2+4a-5)-(2a2+2)=-a2+4a-7=-(a-2)2-3<0,则-(x1+x2)+(x3+x4)=x1x2=x3x4<0. 故 x1+x2>x3+x4,且 x3<x1<0<x4<x2,因此原不等式的解集为(x3,x1)∪(x4,x2). 又(x1-x3)+(x2-x4)=(x1+x2)-(x3+x4)=a2-4a+7≤4,解得 a≤1,或 a≥3. 19.解: (1)因为 Sn=( 2+ Sn-1)2,Sn>0,所以有 Sn= Sn-1+ 2,且 S1= 2, 故得 Sn= 2n,即 Sn=2n2(n≥2).而 an=Sn-Sn-1=4n-2,a1=2,所以,an=4n-2(n≥1). (an+1-an)2 2 1 1 (2)由(1)可知 bn= +1= +1= - +1, 2an+1an (2n+1)(2n-1) 2n-1 2n+1 1 1 所以 b1+b2+…+bn=1- +n,b1+b2+…+bn-n=1- , 2n+1 2n+1 因此 lim (b1+b2+…+bn-n)=1.
n→∞

3(a-1) 20.解:原式=sin?+1+ +a+2 1+sin? 7 1? 若(sin?+1)2=3(a-1)成立,即 3(a-1)≤4,?1<a≤ 时,原式≥2 3(a-1)+a+2. 3 3 a - 3 5a+5 7 2? 若 a> ,则当 sin?=1 时,原式取得最小值 2+ +a+2= . 3 2 2 21.解:|u|≥2.即 f(u)=0 至少有一个绝对值不小于 2 的实根. 1 直接求根:?=a2-4(b-2)≥0 时,u= [-a± a2-4(b-2)],故只要|a|+ a2-4(b-2)≥4. 2 2 ⑴ a -4(b-2)≥0,4-|a|<0,?|a|>4,?a2+b2>16. ⑵ a2-4(b-2)≥4-|a|≥0,?a2-4(b-2)≥16-8|a|+a2,?2|a|≥b+2. ① 当 b+2<0 时,b<-2,a2+b2>4. 1 5 5 2 4 ② 当 b+2≥0 时,4a2≥b2+4b+4,?a2+b2≥ b2+b+1+b2= b2+b+1= (b+ )2+ . 4 4 4 5 5 2 4 4 等号当且仅当 b=- ,a=± 时成立.∴ 所求最小值为 . 5 5 5 变式引申:⑴设 a, b 是实数,且 x4+ax3+bx2+ax+1=0 至少有一个实根,则 a2+b2 的最小值为__________. ⑵若关于 x 的方程 x ? ax ? ax ? ax ? 1 ? 0 有实数根,则实数 a 的取值范围为 _________
4 3 2

2ak-1 1 1 22.证明:ak=ak-1+ ,(k≥2)平方得:ak2-ak-12= + 2. k k k
n

∴ an = ∑ (a -a
2 k=2
2 k

2 n-1

2ak-1 1 a2 a3 an 1 a2 a3 an )+1=1+ ∑ + ∑ 2=2( + +…+ )+(1+ ∑ 2).∴ a2 n>2( + +…+ ). k k 2 3 n k 2 3 n k=2 k=2 k =2

n

n

n

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