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一句话一类题立体几何多面体与外接球问题专项归纳


一句话一类题立体几何多面体与外接球问题专项归纳
1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为 4,棱柱的体积为 16,棱柱的各顶 点在一个球面上,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π

2、一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( A.3π B.4π C.3 3 π D.6π

)

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

4.一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( A.3π B.4π C.3 3 π D.6π

)

1、答案:C 解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为 2,2,4.所以其外接球的半径 R=

4 ? 4 ? 16 = 6 .所以球的表面积是 S=4πR2=24π. 2

2、答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱
长为 1,则体对角线长等于球的直径,即 2R= 3 , 所以 S 球=4πR2=3π. 3、解 将半球补成整个的球(见题中的图),同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正 方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接 球 的 直 径 . 设 原 正 方 体 棱 长 为 a, 球 的 半 径 为 R, 则 根 据 长 方 体 的 对 角 线 性 质 , 得 (2R)2=a2+a2+(2a)2,即 4R2=6a2. 所以 R=

6 a. 2
3

6π 3 2π 3 2π ? 6 ? 从而 V 半球= R= ? a, a? = 2 3 3 ? 2 ? ? ?
V 正方体=a3. 因此 V 半球∶V 正方体=

6π 3 3 a ∶a = 6 π∶2. 2

4 答案:A 解析:以 PA,PB,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥 P-ABC 的外接球,所以 球的半径 R=

12 ? ( 6) 2 ? 32 =2,所以球的表面积是 S=4πR2=16π. 2


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