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2014年高考数学广东卷湖南湖北卷理科特点与启示(共115张PPT)


谈数学教师的解题、编题和赏题 能力的培养 ---2014年广东卷、湖南湖北卷
理科特点与启示
厦门松柏中学 厦门二中

参考文献 1.易南轩著 .数学美拾趣 [M].北京:科学出版社 ,2004 2.谈祥柏著 .乐在其中的数学 [M].北京:科学出版社 ,2005 3.谈祥柏著 .数学不了情 [M].北京:科学出版社 ,2010 4.徐品

方 ,陈宗荣著 .数学猜想与发现 [M].北京 :科学出版社 ,2012.3 5.张奠宙 ,丁传松 ,柴俊等著 .情真意切话数学 [M].北京:科学出版社 ,2011 6.汪晓勤著 .数学文化透视 [M].上海:上海科学技术出版社 ,2013 7.吴振奎 ,吴旻 ,吴健编著 .名人趣题妙解 [M].天津:天津教育出版社 ,2001.1(2007.4 重印) 8.吴振奎 ,吴旻 ,吴彬著 .品数学 [M].北京:清华大学出版社 ,2010.5 9.魏授章 ,邹序欣编著 .古今谋略 [M].上海:上海教育出版社 ,2002.1 10.杨飞 ,陈荣著 .数学与生活[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社 ,2014,5

11.张辉蓉.数学解题教学是非之争及思考 [J].高中数学教与学 ,2010,10:21-25

12.严循跃.培养数学意识 提高解题能力[J]高中数学教与学,2012,8:3-6
13.李广修 .教师解数学题欠缺意识之忧 [J]高中数学教与学 ,2012,8:49-51 14.沈良.谈数学命题中的数学之美 [J]数学通报,2013,7:46-48 15.史嘉,王茂松.试题赏析,赏析什么[J]中学数学教学参考 ,2013,6:51-53 16.黄秦安,刘达卓,聂晓颖.论数学欣赏的“含义” “对象”与“功能”—数学教育中的数学欣赏问题[J]数学教育 学报,2013.2:8-12 17.沈金兴 .数学文化 课堂有你更精彩 —从必修 5《数列》的第一节引入说起 [J]数学通报,2009,4:32-34 18. 任志瑜等.2012 年高考数学试题 “红黑榜”[J]高中数学教与学 ,2012,12:7-12 19.李祎.刍议教师理解数学的几个维度 [J]数学通报,2014,6:6-10 20.潘超.试论数学问题改编的方式和要求[J]数学通报,2014,6:21-24

一、特色解读-----春英夏荫,秋毛冬骨 二、亮点扫描-----夜市千灯照碧树,四株仙桂一时芳 2.1.躲藏在课本后面,依然被发现 2.2.试卷在期望,寻找学霸的模样 2.3.绚丽的脸谱,高雅的美丽 2.4.文化和试题一起走,说好不分手 三、复习启示------他山之石,可以攻玉 3.1.回归教材,构建知识网络 3.2.注重过程,实现知识迁移 3.3.紧扣学生,学习如何解题 四、往题欣赏----数海拾贝,昨日黄花 4.1.赏析动态美 4.2.赏析解法 4.3.赏析简洁美 4.4.赏析变式 4.5.赏析意境

我们在研究2012年-2014年高考真题时力争做到:

(1)本省试题重点研究-----找特点; (2)各省试题系统研究-----找趋势; (3)各地试题整体研究-----找共性; (4)同类试题对比研究-----找新意.

我们认为“一道好题并不在它的精巧,而在于 它的导向功能.” 高考题的命制可遵循基本题不超纲,综合提高 题可踩线的原则,以拓宽命题的渠道和形式 . 高考创新题的命制,应以学生已有知识为基 础,通过形式上的变化来创新,让试题在情 理之中、意料之外.

(2014 年湖北理科·10)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,

1 f ( x) ? ( x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ) .若 ?x ? R ,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的 2
取值范围为( )

1 1 A.[ ? , ] 6 6

6 6 , ] B.[ ? 6 6

1 1 C.[ ? , ] 3 3

3 3 , ] D.[ ? 3 3

答案选B

(2012 年福建理· 10)函数 f( x)在 [a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) 有 f( 2 2
在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f( x)在 [1,3]上的图像时连续不断的; ② f ( x ) 在 [1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f( x)=1,x∈ [1,3]; ④对任意 x1,x2,x3, x4∈[1,3],有
2

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 f( ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 4 4
其中真命题的序号是 ( ) D A.①② B.①③ C.②④ D.③④

一、春英夏荫,秋毛冬骨.

试卷特色

选择题

填空题 9-13 必做 14-15 选做一题 14 极坐标与参数方程 15 几何证明 9-13 必做 14-15 选做一题 14 极坐标与参数方程 15 几何证明 9-13 必做 14-15 选做一题 14 极坐标与参数方程 15 几何证明 9-11 选做两题(极坐标,几何证明,不等式)12-16 必做题 9-11 选做两题(极坐标,几何证明,不等式)12-16 必做题 11-13 选做两题(极坐标,几何证明,不等式)14-16 必做题 11-14 必做 15-16 选做一题 15 几何证明 16 极坐标参数方程 11-14 必做 15-16 选做一题 15 几何证明 16 极坐标参数方程 11-14 必做 15-16 选做一题 15 几何证明 16 极坐标参数方程 ( 表 1)

广 东 卷 湖 南 卷 湖 北 卷

2012 1-7 基础题 8 创新题 2013 1-7 基础题 8 创新题 2014 1-7 基础题 8 创新题 2012 1-7 基础题 8 创新题 2013 1-7 基础题 8 创新题 2014 1-9 基础题 10 创新题 2012 1-9 基础题 10 创新题 2013 1-9 基础题 10 创新题 2014 1-9 基础题 10 创新题

试卷特色 16 题 17 题 18 题

解答题 19 题 20 题压轴题 解析几何 解析几何 解析几何 21 题压轴题 解析几何 解析几何 解析几何 21 题压轴题 解析几何 解析几何 解析几何 21 题压轴 函数与导数 函数与导数 函数与导数 22 题压轴题 函数与导数 函数与导数 函数与导数 22 题压轴题 函数与导数 函数与导数 函数与导数

广 2012 三角函数 统计概率 东 2013 三角函数 统计概率 卷 2014 三角函数 统计概率
17 题 18 题

立体几何 数列与不等式 立体几何 数列与不等式 立体几何 数列与不等式 19 题 数列 20 题压轴题 函数应用题

湖 2012 统计概率 立体几何 南 2013 三角函数 统计概率 卷 2014 统计概率 三角函数
17 题 18 题

立体几何 函数应用题 立体几何 数列与不等式 19 题 20 题

湖 2012 三角函数 数列与不等式 立体几何 统计与概率 北 2013 三角函数 数列与不等式 立体几何 统计与概率 卷 2014 三角函数 数列与不等式 立体几何 统计与概率
( 表 2)

(2012 年广东理科·16) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ? 为 10? . (Ⅰ) 求 ? 的值;

? ) (其中 ? ? 0, x ? R )的最小正周期 6

) ? ? , f (5? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. (Ⅱ) 设 ? , ? ? ?0, ? , f (5? ? 3 5 6 17 ? 2?
(2013 年广东理科·16) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( x ? (Ⅰ)求 f( ?

? ??

5?

6

5?

16

5 3 f ( ? ) ? f ( x ) ? A sin( x ? ), x ? R (2014 年广东理科·16) 已知函数 ,且 , 12 2 4 ( 1)求 A 的值; 3 ? 3 ( 2)若 f (? ) ? f (?? ) ? , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4

? )的值; 6 3 3? ? (Ⅱ)若 cos ? ? , ? ? ( ,2? ) ,求 f (2? ? ) 的值 . 5 2 3 ?

? ) , x?R 12

(2012 年湖南理科·20) 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每 台产品需要这三种部件的数量分别为2 ,2 ,1(单位:件) .已知每个工人每天可生产A部 件6件,或B部件3件,或C部件2件 .该企业计划安排200名工人分成三组分别生产 这三种部件, 生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比, 比例系数为 k ( k 为正整数) . (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时 间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案 . (2013 年湖南理科·20) 在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的 任 一 路 径 成 为 M 到 N 的 一 条 “L 路 径 ”. 如 图 6 所 示 的 路 径

MM1M 2 M 3 N与路径MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”。某地有三个新建的居民区,分别
位于平面 xOy 内三点 A(3, 20), B(?10, 0), C(14, 0) 处。 现计划在 x 轴上方区域 (包含 x 轴) 内的某一点 P 处修建一个文化中心 . ( I)写出点 P 到居民区 A 的 “L 路径 ”长度最小值的表达 式(不要求证明) ; ( II) 若以原点 O 为圆心, 半径为 1 的圆的内部是保护区, “L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其 到三个居民区的 “L 路径”长度值和最小 .

1 (2014 年湖南理科·10) 已知函数 f(x)= x +e - (x<0)与 g(x)= x 2 +In(x+a) 的 2
2 x

图象上存在关于 y 轴对称点,则 a 的取值范围是(

)

1 1 (- ,e) (- e, ) (-?,e) B、 C、 D、 e e 2 ? x0 1 2 ( ? x ) ? e ? ? x 由已知可得存在 x0 ? (0,??) 满足 0 0 ? ln( x 0 ? a ) 有解 ,即 2 ? 1 x0 1 ?y ? ( ) ? 2 的图象有交点. ? e ? ? y ? ln(x0 ? a)

1 (-?, ) A、 e

B

(2013 年湖北理科·9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的 小正方体,经过搅拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( B)

126 A. 125

6 B. 5

168 C. 125

7 D. 5

二、亮点扫描----夜市千灯照碧树,四株仙桂一时芳

2.1.躲藏在课本后面,依然被发现
(2014 年广东理科·18) 如图 4,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC= 300 , AF⊥PC 于点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E. 向量法是传统几何 (1)证明:CF⊥平面 ADF; 法的一种补救方法 (2)求二面角 D-AF-E 的余弦值.

空间向量法训练: 思考: 既然传统几何可以解决立体 (1)准确,(2)速度 几何中的问题,那为什么还要 学习空间向量的方法呢? 三种方法之间的辩证关系又是什么?

(2014 年湖北理科·17) 某实验室一天的温度(单位: )随时间 (单位;h)的变化近似 满足函数关系; (2)若要求实验室温度不高于 (1)求实验室这一天的最大温差; ,则在哪段时间实验室需要降温?

(2014 年湖北理科·21)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0? 的距离比它到 y 轴 的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C .(1)求轨迹为 C 的方程;
简解: (1 )设点 M ( x, y) ,根据条件列出等式 MF ? x ? 1 ,再用两点间的距离公式表

?4 x( x ? 0) 示 MF ,化简 y ? 2 | x | ?2x ,即得 y ? ? , ?0,( x ? 0)
2
2

点评:(1)我们把平面内与一定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F )距离相等的点的轨迹定 义为抛物线.即:在平面直角坐标系 xOy 中, 点 M 到点 F ?1,0? 的距离等于它到 x ? ?1 的距 离,求点 M 的轨迹为 C 的方程.我们列式为 | MF |?| x ? 1 | ,解得 y ? 4 x .
2

(2014 年福建文·21)已知曲线 C 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y ? ?3 的距离小 2.(1)求曲线 C 的方程;

| MF | ?| y ? 3 | ?2 , 化简得 x

2

? 4y .

(拓展)已知曲线 C 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y ? ?3 的距离小 4.(1)求曲线 C 的方程;
| MF | ?| y ? 3 | ?4 , 化简得 x ? 0, ( y ? 1) .

(2014 年湖北理科·21)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0? 的距离比它到 y 轴的 距离多 1,记点 M 的轨迹为 C .(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(?2,1) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时 k 的相应取值范围.

(2) 源于选修 2-1P71 页例 6. 原题是“已知抛物线的方程为 y 2 ? 4x , 直线 l 过定点

P(?2,1) , 斜率为 k . k 为何值时,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4x 恰好有一个公共点;两个公
共点;没有公共点?”

2.2.试卷在期望,寻找学霸的模样
r

若 a1 , a 2 均不为 0,又 b1 ? b2 ? 1 ,可得 b2 ? 1 ? b1 ,于是

a1 a1 b1 a1 r ? b 在①中令 , ,可得 , x ? ( ) ? b ? 1 0 ? r ? 11. 求 ?f (1 1) ( x? )b (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? rx ? x ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 的 a2 a2 a2
最小值; (Ⅱ) 试用 (Ⅰ) 的结果证明如下命题: 设 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数 . 若 b1 ? b2 ? 1 , 则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 ;

(2012 年湖北理科·22) 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 .

即 a1b1 a21?b1 ? a1b1 ? a2 (1 ? b1 ) , 亦即 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 .

(Ⅲ) (Ⅱ)中命题的推广形式为: (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法 证明你所推广的命题 . .....

简解: (Ⅰ)略; f ( x) 的最小值为 f (1) ? 0 ;
则 a11 a22

设 a1 , a2 , 若 b1 ? b2 ?

, an 为非负实数, b1 , b2 ,
? bn ? 1 ,

, bn 为正有理数 .

)? fb (1) ? 0 ,即 xr ? rx ? (1 ? r ) ① (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? (0, ??) 时,有 f b( xb
ann ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn .

若 a1 , a 2 中有一个为 0,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 成立;

(2013 年湖北理科·22) 设 n 为正整数, r 为正有理数 . ( I)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1? x ? ?1?的最小值;

nr ?1 ? ? n ? 1? ( II)证明: r ?1

r ?2

n ? 1? ? r ?n ?

? nr ?1 ; r ?1
? 3? ? ?

r ?1

( III)设 x ? R, 记 x 为 不小于 ?? ? =4,?? ? =-1. ...x 的最小整数,例如 ? 2? =2, 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ?????? ? 3 125, 求? S ?的值. (参考数据: 80 ? 344.7,81 ? 350.5,124 ? 618.3,126 ? 631.7. )
(2012 年湖北理科·22) 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? rx ? xr ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 . 求 f ( x) 的最 小值;
4 3 4 3 4 3 4 3

??

简解: ( I)略 ; f ( x) 的最小值为 f (0) ? 0 ; (Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 x ? ( ?1, ??) 时,有 f ( x ) ? f (0) ? 0 ,1 当 n ? 1 时,在①中令 x ? ? n 即 (1 ? x)r ?1 ? 1 ? (r ? 1) x ,且等号当且仅当 x ? 0 时成立, (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,类似可得 故当 x ? ?1 且 x ? 0 时,有 r ?1 r ?1 n ? ( n ? 1) nr ? . ③ r ?1 (1 ? x) ? 1 ? (r ? 1) x . ① r ?1

1 r ?1 r ?1 1 在①中,令 x ? (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,得 . (1 ? ) ? 1 ? .综合②,③得 n ? 1 且当 时,③也成立 n n n r? r ?1 r ?1 r ?1 r ?1 r? 11 ? (nr ? 1)r ?1 n ( n ? 1) ? n 上式两边同乘 n ,得 (n ? 1) ? n ? n (r ? 1) ?,即 nr ? .④ r ?1 r ?1 r ?1 r ?1 (n ? 1) ? n r n ? . ② r ?1

(Ⅲ)在④中,令 r ?

1 , n 分别取值 81, 82,83,?,125,得 3

4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 ( 81 ? 80 )< 81 ? (82 ? 813 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 82 3 ? 813)< 3 82 ? (83 3 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 3 ( 83 3 ? 82 3) ? 83 ? (84 3 ? 83 3 ) , 4 4

???
4 4 4 4 3 3 3 ( 125 3 ? 124 3) ? 125 ? (126 3 ? 125 3 ) . 4 4 4 4 4 4 3 3 125 3 ? 80 3) ? S ? (126 3 ? 813 ) . 将以上各式相加,并整理得 ( 4 4 4 4 4 4 3 3 125 3 ? 80 3) ? 210.2 , ( 126 3 ? 813) ? 210.9 . 代入数据计算,可得 ( 4 4

由? ?S ? ? 的定义,得 ? ?S ? ? ? 211 .

(2014 年湖北理科·22) ? 为圆周率, e ? 2.71828 ? 其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ) 求函数 f ( x ) ? 最小数.

ln x 的单调区间;( Ⅱ)求 e 3 ,3e , e? , ? e ,3? , ? 3 这 6 个数中的最大数与 x

简解: ( Ⅰ) f ( x) 的增区间为 (0, e) , f ( x) 的减区间为 (e,??) ;( Ⅱ) 利用指数函数和 幂函数的性质得到部分结论.
下面关键要比较 3 与 ? 的大小 , 另一对是 3e 与e 3 的大小关系 , 只要比较其中一对 ,
3

?

另 一 对 同理 可 证得 . 不 妨设 3 > ? 两 边 取 以 e 为 底 的对 数 得 ln 3 ? ln ? , 即 只要
3 3

?

?

ln 3 ln ? ln x ? ? 成立即可 . 由于 f ( x) ? 的减区间为 (e,??) , 故上式成立 . 最大数为 3 , 3 ? x
最小数为 3 .
e

2.3.绚丽的脸谱,高雅的美丽
(2014 年湖南理科·15) 如图 4 正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b), 原

b 2 ?1 点 O 为 AD 的中点,抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 经过 C、F 两点,则 ? _________. a
2

“若没有对称和比例, 则没有一座教堂会有 合理的结构.”

(2013 年湖南理科· 8) 在等腰 RT ? ABC 中,AB =AC ? 4, 点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发,经

BC , CA 发射后又回到原点 P (如图 8).若光线 QR 经过

?ABC 的重心,则 AP 等于( )
A. 2 B. 1

简解:如图,建立直角坐标系,则 RT ?ABC 的重心坐标为 G ( , ) ,

8 C. 3

4 D. 4 34
3 3

BC 的对称点 P 设 P(t ,0) ,则点 P 关于 AC 的对称点 P 1 (?t ,0) ,点 关于

4 4 8 8 ? ( ? t , ), P G ? ( ? ,t ? ) , P2 (4,4 ? t ) ,故 P1、G、P2 三点共线, PG 1 2 3 3 3 3 4 t = 解得 .这里采用两次对称,问题获得完美解决. PG ?? PG 1 2 3

郑莹

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《 厦 门 民 间 故 事 》

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《 彩 蝶 》

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中 国 结 作 品

x2 y 2 (2012 年湖北理科·14)如图,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端点 a b 为 B1 , B2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则(Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ;
y

在 ?F2 OB2 中,由三角形的面积公式知,
B2 A A2

B A1 F1 C B1 O

1 1 1 bc ? a | B2 F2 |? a b 2 ? c 2 , 2 2 2
F2

x

D

5 ?1 ; 解出 e ? 2
此双曲线也称为 “黄金双曲线 .”

x2 y 2 (2012 年湖北理科·14)如图,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端点 a b 为 B1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 S A, B, C , D . 则 (Ⅱ) 菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值 1 ? . S2 (Ⅱ)设 ?B2 F2 O ? ?AOB2 ? ? , y

B2 B
F

b ,事闲勿荒 c; 事繁勿慌 sin ? ? , cos ? ? 因为
A A2

有言必信,无欲则刚;
2

b ?c
2

2

b ?c
2

2

,.

A1 F1 C B1 O
E

F2

x

4a 2 bc S 2 ? 4a sin ? cos? ? 2 ;2 ; 求得矩形 和若春风 ,肃若秋霜 b ?c
菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,

D

取象于钱,外圆内方.

S1 2 ? 5 再根据第一问中求得的 e 值可以解出 . ? S2 2

2.4.文化和试题一起走,说好不分手
(2012 年湖北理科·10)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以 十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径 . “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d ?
π =3.14159
3

16 V .人们还用过一些类似的近似公式 . 根据 9

判断,下列近似公式中最精确的一个是( B. d ? 2V
3

) D. d ?
3

16 d? V 9
3

300 V C. d ? 157
3

21 V 11

3 4 d 3 6V a 6b 6?9 由V ? ? ( ) ,得d ? , 设选项中常数为 , 则? = ;A中代入得? = =3.375, 3 2 ? b a 16 6 ?1 6 ?157 6 ?11 B中代入得? = =3,C中代入得? = =3.14, D中代入得? = =3.142857, 2 300 21 由于D中值最接近?的真实值,故选择D。

(2014 年湖北理科·8) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也 . 又以高乘之, 三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h , 计算其体积V 的 近似公式 v ?

1 2 L h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 36
) D.

v?

2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为( 75 22 157 25 A. B. C. 7 50 8

355 113

1 2 2 ?r h ? ? 4? 2 r 2 h 3 75

? ? 258

(2014 年湖北理科·13) 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I ? a ? , 按从大到小排成的三位数记为 D ? a?(例 如 a ? 815 ,则 I ? a ? ? 158 ,D ? a ? ? 851 ).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 任意输入一个 a ,输出的结果 b ? ________.

点评:无论输入什么数, 最后进入数字“黑洞”. 答案都是495.

数学文化中这种现象还有鼎鼎大名的“角谷猜想”;数学表达式是

?3x ? 1, x为奇数时 ? ,经过有限步骤,总能得到一个常数. f ( x) ? ? x , x为偶数时 ? ?2
6 3 4 10 2 5 1 16 8

(角谷静夫,1911~)

开始

i=0

(2013 年厦门理科 3 月质检·8). 在右侧程序框图中, 输入 n ? 5 ,按程序运行后输出的结果是( C ) A.3 B. 4 C.5 D.6

输入正整数n

n为奇数?


n = n/2


n = 3n+1

i=i+1


n = 1?


输出i

结束

(2009 年湖北理·15)已知数列{ an }满足: a1 ? m ( m 为正整数), an?1 ?
? an ? ,当an为偶数时, ,若 a6 ? 1 ,则 m 所有可能的取值为 ?2 ?3a ? 1,当a 为奇数时 n ? n

4,5,32

.

?n ? 10, n ? 100 麦卡锡发明的奇妙的 91 函数,其数学表达式是 f (n) ? ? , ? f ( f (n ? 11)),n ? 100

最后的结果都是91. 不信你可以试一试!

(麦卡锡,1909-1957)

(2013-2014 年厦门高二下理科质检·13) 化简: ( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 6( x ? 1) ? 4( x ? 1) =
4 3 2

x ?1
4

.

第一稿 :法国数学家帕斯卡给出下表 ,所以 ,欧洲把这种二项式系数表称为帕斯卡三角形 .在 中国 ,二项式系数表被称为杨辉三角 .应用图表 , 化简 ( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 10( x ? 1) ? 10( x ? 1) ? 5( x ? 1) ?
5 4 3 2

x5 ? 1
1 8 36 1 9 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3 6 10 15 21 28 36

1 4 10 20 35 56 84

1 5 15 35 70 126

1 6 21 56 126

1 7 28 84

(2012 年湖北理科· 13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 22, 121, 3443, 94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111, 121,?,191,202,?,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有

90

个;
n

(Ⅱ) 2n ? 1(n ? N? ) 位回文数有 9 ? 10 个.

(2012 年泉州市质检·15)数学与文学有相似之处,如数学中有回文数,诗中有回文诗.如 “云边月影沙边雁,水外天光山外树.”倒过来便是 “树外山光天外水,雁边沙影月边 云.” 其意境和韵味读来真是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534 等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文 数”,读起来还真有趣! 二位的回文数有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的回文数有 101,111,121,131,?,969,979,989,999,共 90 个; 四位的回文数有 1001,1111,1221,?,9669,9779,9889,9999,共 90 个; 由此推测:10 位的回文数总共有

90000

个.

三、复习启示------他山之石可以攻玉
3.1.回归教材,构建知识网络
第一轮复习的功能相当于“打地基”.要实现这样的预期,就应该强调用简单问题反映 基本规律、思想方法,控制习题难度,降低综合性,深化基本概念的理解与落实通性通法,以帮 助学生强化信心.

对基础知识的考查多数是源于课本的基本概念、例题和练习的变式,准确把握相关的 数学概念和解题规则,可以顺利解决此类问题.

下面以 2013-2014 年厦门高二下理科质量检测题为例说明 . 11.函数 y ? x ? 6 x ? 1 的单调递减区间为
3 2

.
3

11.试题来源于人教 A 版选修 2-2P24 例 2: “判断函数 y ? x ? 3x 的单调性,并求单调区间”.
12.某学生邀请 9 位同学中的 5 位参加一项活动,其中甲、乙、丙三位同学要么都邀请, 要么都不邀请,共有 ___________种不同的邀请方法 .
12.试题来源于人教 A 版选修 2-3P40 页 A 组 4. “某学生邀请 10 位同学中的 6 位参加一项 活动,其中两位同学要么都邀请,要么都不邀请,共有多少种不同的邀请方法 ?”

13.化简: ( x ? 1)4 ? 4( x ? 1)3 ? 6( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) =

.

13. 试题来源于人教 A 版选修 2-3P37 页 B 组 2. “求证
1 n?1 2n ? Cn 2 ? Cn2 2n?2 ? ? ? (?1) n?1 Cnn?1 2 + (?1) n ? 1”的基础上进行改造的考题.

14.一个袋中装有 3 个红球和 4 个白球,一次摸出 2 个球,在已知它们颜色相同的条件下, 该颜色是白色的概率等于 .

14. 试题来源于人教 A 版选修 2-3P59 页 A 组 2. “一个箱子中装有 2n 个白球和 (2n ? 1) 个 黑球,一次摸出 n 个球,求在已知它们颜色相同的条件下 ,该颜色是白色的概率”的特殊 情况.

学习理论的现代研究表明,理解性学习的关键 就是建构知识之间的联系,理解的程度是由联系的 数目和强度来确定的. 数学理解的本质就是数学知识的结构化、网 络化和丰富联系.

3.2.注重过程,实现知识迁移

第二轮复习的功能相当于“建主体”,通常以专题形式复习 ,通过解一定量的综合题 ,达 到巩固知识、熟练技法、提炼思想、发展能力的目的.
高三教学复习过程中基础知识的复习应将重点放在其发生的过程上,即该知识是如何 推导出来的、和“谁”有关联、又是为了“谁”.

( 2014 年湖北 理科· 10 )已知 函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函 数,当 x ≥ 0 时,

f ( x) ?
(

1 ( x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ) .若 ?x ? R ,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为 2 1 1 , ] 6 6
B. [?

)A. [?

6 6 , ] 6 6

C. [?

1 1 , ] 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

简解:如图所示,函数 y ? f ( x) 的图象由两条射线和三条线段组成.

若 ?x ? R , f ( x) ? f ( x ? 1) ,则实数 a 的取值范围为



(2013-2014 厦门高二下理科质量检测卷·19)已知第 24 届至第 28 届奥运会转播费收入 的相关数据(取整处理)如下表所示: 届数 x 收入 y(单位:亿美元) 24 25 26 27 28 4 6 9 13 15

? ? 2.9 x ? 66 . 利用最小二乘法求得线性回归方程 y (Ⅰ)根据此回归方程预报第 29 届北京奥运会转播费收入;据查北京奥运会转播费实际 收入为 17.2 亿美元,请解释预报值与实际值之间产生差异的原因; ( Ⅱ ) 利 用 该 回 归 方 程 已 求 得 第 24 届 至 第 28 届 转 播 费 收 入 的 预 报 值 分 别 为 3.6,6.5,9.4,12.3,15.2 . 问届数能在多大程度上解释了转播费收入的变化 .
参考数据: 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.7 ? 0.2 ? 1.1;
2 2 2 2 2

5.4 2 ? 3.4 2 ? 0.4 2 ? 3.6 2 ? 5.6 2 ? 85.2 .

? 2 ? 6.5 , y ? 4 ? 12.3 , y ?1 ? 3.6 , y ? 5 ? 15.2 , y ? 9.4 ; ? 3 ? 9.4 , y 简解: (Ⅱ)由已知得 y ?1 ? y1 ? y ?1 ? 0.4 , e ?2 ? y 2 ? y ? 2 ? ?0.5 , e ?3 ? y3 ? y ? 3 ? ?0.4 , 得到残差 e ?4 ? y 4 ? y ? 4 ? 0.7 , e ?5 ? y5 ? y ? 5 ? ?0.2 e
2 2 2 2 2 2 ? ( y ? y ) ? 0 . 4 ? 0 . 5 ? 0 . 4 ? 0 . 7 ? 0 . 2 ? 1.1 (残差平方和) ? i i i ?1 2 2 2 2 2 2 ( y ? y ) ? 5 . 4 ? 3 . 4 ? 0 . 4 ? 3 . 6 ? 5 . 6 ? 85.2 (总体偏差平方和) ? i i ?1
2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 5 5

5

5

R ? 1?
2

1.1 ? 1? ? 0.987 85.2

在该线性回归模型中,届数解释了 98.7﹪的奥运会转播费收入的变化.

2005 年夏天,原国家教委副主任何东昌给时任中共中央总书记胡锦涛写信,对应试 教育造成的后果表示担忧,胡锦涛批示要进行调查研究,随后在全国范围内进行了一场素 质教育大调查,其中就涉及高考改革。(摘自 2014 年 8 月 7 日南方周末报《高考改革“大 限将至”:就等中央方案了》)

新课程实施不仅带来了考试内容的变化 ,而且教育理念、课程目标、人才规格等也都 发生了变化.这对命题提出了新的挑战,特别是三维目标中的“过程与方法”如何考查, “情 感、态度与价值观”如何考查,都是全新的课题.情况表明,各地基本上都是,以”知识与技能” 为主干,兼顾“过程与方法”,努力体现“情感、态度与价值观”.这种命题情况有待改变.

3.3.紧扣学生,学习如何解题
高三课堂中“影响学习的唯一最重要的因素,就是学习者已经知道了什么.要探明这一点,并 应据此进行教学.”这是奥苏伯尔的名言.
G·波利亚称:“掌握数学就意味着善于解题.”“模仿+记忆”的套路式的解题教学适应于 学习的初始阶段, 尽管模仿教学能适应考试, 但模仿教学是一种机械学习, 不能创新, 不能 作为一种模式持久下去.

学生学习的最终效益体现为学生能否准确快速解题.在平时教学中要注意训练学生解 题的四个环节---“一审、二联、三析、四解 ...........”.解题的核心是联系与分析.

(2013 年 湖 北 理 科 · 20) 假 设 每 天 从 甲 地 去 乙 地 的 旅 客 人 数 X 是 服 从 正 态 分 布

N (800,502 ) 的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 P0 .
( Ⅰ)求 P0 的值; (II)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运 业务,每车每天往返一次, A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地 的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。 若每天要以不小于 P0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,
0 A型车、B型车各多少辆? 且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备

P ? P( X ? 900) ? 0.9772

, (参考数据:若 X~ N (?,? ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826

P( X ? 36 x ? 60 y) ? p0 2

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974. )

36 x ? 60 y ? 900

简解:(Ⅰ)由正态分布的对称性,可得
p0 ? P( X ? 900) ? P( X ? 800) ? P(800 ? X ? 900)

?

1 1 ? P(700 ? X ? 900) ? 0.9772 . 2 2

(Ⅱ)设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 x, y 辆, 则相应的营运成本为 1600 x ? 2400 y . 依题意 , x, y 还需满足 :
x ? y ? 21, y ? x ? 7, P( X ? 36 x ? 60 y) ? p0 .

由(Ⅰ)知, p0 ? P( X ? 900) ,故
P( X ? 36 x ? 60 y) ? p0 等价于 36 x ? 60 y ? 900 .

第 20 题解答图 ? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 于是问题等价于求满足约束条件 ? 且使目标函数 z ? 1600 x ? 2400 y 达到 36 x ? 60 y ? 900, ? ? ? x, y ? 0,x, y ? N,
最小的 x, y .作可行域如图(20)所示 , 可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12), Q(7,14), R(15, 6) . 由图可知,当直线 z ? 1600 x ? 2400 y 经过可行域的点 P 时 , z 取得最小值 . 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆 .

(2013-2014 厦门高二下理科质检·21)某地区汽车限行规定如下: 车尾 0和5 1和6 2和7 3和8 4和9 号 限行 星期 星期 星期 星期 星期 日 一 二 三 四 五 该地区某行政单位有车牌尾号为 6 的汽车 A 和尾号为 9 的汽车 B,在非限行日,A 车日出 车频率为 p ,B 车日出车频率为 q ,周六、周日和限行日停止用车 . 现将汽车日出车频率 视为日出车概率,且 A,B 两车是否出车相互独立. (Ⅰ)若 p ? 0.8 ,求汽车 A 在同一周内恰有两天连续出车的概率; (Ⅱ)若 p ? 0.4,0.8 ,且两车的日出车频率之和为 1. 为实现节能减排与绿色出行,应 如何调控两车的日出车频率,使得一 周内汽 车 , B 出车 的平均天数 最少. . ... .A . . .同日都 ... .. .....

?

?

简解: (Ⅱ)依题意,A,B 两车可在周一、周三、周四同时出车, 两车同日出车的概率等于 pq , 记一周内 A,B 同时出车的天数之和为 ? ,则有 ? ~ B(3, pq) ,

p ? q ? 1,

? 1? 3 2 ? f ? p ? ? E ?? ? ? 3 pq ? ?3 p ? 3 p ? ?3 ? p ? ? ? , p ??0.4,0.8? ? 2? 4 由 f ? p ? 在 ?0.4,0.5? 单调递增,在 ?0.5,0.8? 单调递减,


2

f ? 0.4? ? 0.72, f ?0.8? ? 0.48 , f ? 0.4? ? f ? 0.8?

?当且仅当 p ? 0.8,q ? 0.2 时, E ?? ? 取到最小值 0.48 .

东北三省 靠北边的 一个地方

马家窑是
大庆油田

的中心

大 庆 车 站 离 马 家 窑 不 远

1964年

出油

油井直径 石油产量

摘自

《见端知末—
大庆油田在哪里



例题:正实数 a1 , a2 , ???, a2011 满足 a1 ? a2 ? ??? ? a2011 ? 1, 设

P ? 3a1 ? 1 ? 3a2 ? 1 ? ? ? 3a2011 ? 1 ,则(
A. p>2012 B. p=2012 C. p<2012

) D.p≤2012

点评:当 a1 ? a 2 ? ? ? a 2011 ?

1 .5 故排除 B,C,D. 时, p ? 2012 2011

,2012 .5) 故学生猜想 p ? (2012
正实数 a1 , a2 , ???, a2011 满足 a1 ? a2 ? ??? ? a2011 ? 1, 需证:

P ? 3a1 ? 1 ? 3a2 ? 1 ? ? ? 3a2011 ? 1 >2012.

应该如何证明呢?

1.正实数 a1 , a 2 满足 a1 ? a 2 ? 1

求证:

P ? 3a1 ? 1 ? 3a2 ? 1 >3

正实数 a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 1 >4. P ? 3 a ? 1 ? 3 a ? 1 ? 3 a ? 1 1 2 3 2. 求证:
正实数 a1 , a2 , a3 ?an 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 3. 求证: 我们认为数学学习最重要的体会是 “悟”.

在学习中体会知识生成过程 ,发现知识 P ? 3a1 ? 1 ? 3a2 ? 1 ? 3a3 ? 1 ? ? ? 3an ? 1 >n+1. 之间的联系 ,悟出自已的数学发现和数学创造 , 这才是最有价值的学习 , 只需 P ? 3a 1 ? 1 ? 3a 2 ? 1 ? 3a3 ? 1 ? ? ? 3a n ? 1 >
a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? a3 ? 1? ? an ? 1 ? n ? 1 即可.
不妨证明 3a n ? 1 > an ? 1 即可,

也是创造性学习 .

四、往题欣赏------数海拾贝,昨日黄花

欣赏外表直观之秀,内涵深刻之慧,
文化底蕴之浓,理性思考之精, 也许这就是数学欣赏的普遍规律.

(张奠宙)

(2013 年模拟卷 )航空测量的飞机航线 与山顶 在同一铅垂平 面内 ,已知飞 机 的高度为海拔 10000 米 ,速度为 180 公 里 /小时 ,飞机在 A 处先看到山顶的俯 角为 15 ,经过 420 秒的水平飞行后到 达 B 处 ,又看到山顶的俯角为 45 , 如图所示 ,求山顶的海拔高度 . (参考数据 : 2 ? 1.4, 3 ? 1.7 )
0 0

A 因为

15

21 x .D 20 ? 1.4 , 3 ? 1.B 7 精度太差所致 450 x

改进 2 ? 1.414, 3 ? 1.732 解法一山高 2312 米,解法二山高为 2314 米. 两种方法均可以 ,且解法一更优 .

C

数学家的模式,就像画家与诗人的模式一样 ,
0

必须是美的 ,数学概念间同油彩或语言文字 CD 学生解法一:⊿ ADC 中 tan 15 ? .求得山高为 1000 米 . 一样 ,必须非常和谐.美是第一位的, AD 学生解法二 :⊿ ABC 中求得 丑陋的数学在世上不会有永久的位置 .

(G.H.哈代) 21 2 BC= ( 6 ? 2 ) ,故 CD ? BC ? =7.2 公里 ,即山高为 2800 米 . 2 2
思考:为什么会出现两种不同的答案呢 ?

我们自然会思考什么是事物的雅与俗呢?

雅即“高雅”.它代表文学艺术的纯正方向,其理想的模式:思想内涵的博大、崇高、深 刻与先进,想象丰富与美丽,境界的高洁与灵动,技巧的独特与高超,语言的优美与纯洁.等等. 俗即“通俗”.一般地说,它不追求什么深邃的思想内涵,不热衷精神开掘和“灵魂拷问”,总是 以浅近的、为多数人容易接受的方式.

苍天作帐,滴水成文 (平平仄仄,仄仄平平) 三月芍药,四季鲜花 (平平仄仄,仄仄平平)

数学欣赏的较高境界是数学的鉴赏.与欣赏相比,鉴赏有品评、估计、判断的色彩,而 欣赏更多的是一种喜欢与钦佩.数学的鉴赏要求人们有一个数学的基本观念,包括哲学的、 人文的、科学的、美学的、文化的观念.数学鉴赏具有很强的数学认识,甚至数学研究的色 彩,包含有批判和审思的成分在内了.

第一稿: 2014 年 6 月 13 日至 7 月 13 日,巴西将举行第 20 届世界杯足球赛.届时 32 支强队 将平均分成 8 个小组,每个小组举行单循环比赛(本小组的两个队只比赛一场) ,每小组 的前两名将出线.第一轮世界杯共进行了 场比赛. (用数字作答) 8C4 ? 48 场.试题来源于人教 A 版选修 2-3P18 页例 2 的改编.
2

(2013-2014 厦门高二下理科· 16)在 2014 年巴西世界杯足球赛中, 某小组共有 A, B, C , D 四 支球队,在单循环赛中(每两支球队只比赛一场) ,每场比赛获胜队得 3 分,平局各得一 分,负者得 0 分 . 现对比赛得分有如下几种预测: A队 预测① 预测② 预测③ 预测④ 3 5 9 7 B队 3 4 9 3 C队 3 4 0 1 D队 3 4 0 5

②③

其中不可能 发生的预测有 ___________.(写出序号) ...

Those who have handled sciences have been either men of experiment or men of dogmas.The men of experiment are like the ant,they only collect and use;the ressoners remble spiders,who make cobwebs out of their own substance.But the bee takes a middle course:it gathers its material from the flowers of the garden and of the field,but transforms and digests it by a power of its own(我们不应该像 蚂蚁一样单只收集 , 也不应该像蜘蛛一样光会抽丝 , 而应该象蜜蜂一样采百花酿甜 蜜.------Francis Bacon)

元素限定

问 题 条 件

构件模型

改 变 条 件

结构关联 原本问题 考察对象 改编问题

问 题 结 论

设问层次

改 变 结 论

呈现方式

数学问题改编的方式

4.1.赏析动态美
运动与静止是哲学中的一对矛盾体,运动中蕴含了事物的相对静止,而在静止中又蕴含了 事物的绝对运动.运动与静止问题的研究可深可浅,但内涵意境丰富,可以很好考查学生思 维的灵活性、 创新性,反映学生较高的素质,同时在这探索过程中又能让学生去领略数学的 动态美与静态美、去体味数学.
(2013 年厦门 1 月理科质检·9)记 S 为四面体四个面的面积 S1 , S 2 , S3 , S 4 中的最大者,若

S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ?= ,则(A ) S A. 2 ? ? ? 4 B. 2 ? λ ? 3 C. 3 ? λ ? 4

D. 3 .5 ? ? ? 5
S1 S2 S3

(2013 年厦门 1 月理科质检·10)如图,已知 A, B 为椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 右 顶 点 和 上 顶 点 , 直 线 2 a b
l // AB , l 与 x 轴、y 轴分别交于点 C , D , 直线 CE, DF
为椭圆的切线,则 CE 与 DF 的斜率之积 kCE ? kDF 等于( )
y D B O E 图9 A C x

a2 A. ? 2 b

a 2 ? b2 B. ? a2

b2 C. ? 2 a

a 2 ? b2 D. ? b2
F

(2013 年厦门 3 月理科质检· 10)在 ?ABC 中,BC ? 2, A ? 45 ,B 为锐角, 点 O 是 ?ABC 外接圆的圆心,则 OA ? BC 的取值范围是( A. (?2,2 2] B. (?2 2,2] ) C. [?2 2,2 2] D. (?2, 2)

OA ? BC 的几何意义?

4.2.赏析解法
单墫先生曾说过:“学数学的目的,不是别的,就是为了学会解题.”因此,用什么方法能顺利解 答问题是最务实的,是数学素养和综合能力的体现.上等方法简洁明快,手到“病”除,而中、下 等方法耗时费力,甚至陷入误区 .
(2012 年厦门理科 5 月高三质检·19)如图 1,在一段笔直的 国道同侧有相距 120 米的 A,C 两处,点 A,C 到国道的距离 分别是 119 米、47 米,拟规划建设一个以 AC 为对角线的 平行四边形 ABCD 的临时仓库,且四周围墙总长为 400 米, 根据公路法以及省公路管理条例规定:建筑物离公路距离 不得少于 20 米.若将临时仓库面积建到最大 ,该规划是否 符合规定?

方法二: 如图 2,设公路所在直线 l 与 x 轴相交于点 E,
2 米,由平面几何知识 ?CEM ∽ ?AEN 得 x 2 设 CE= yx ? 2? 415 x 1 y ? 0 235 2 47 100 80 ? x ? , 解得 , 即点 E ( ,0). ( )上 .

解:由椭圆定义得 B 点和 D 点在:

y

B

119 120 ? x

3

3

CM 3 b 3 ? kx ? ? ? ,故,k . EF A 点和 由 CE 5 4 C 点到直线 lEF 的距离分别是 119 米、47 米 ,建立方 所以直线 的方程为 3x ? 4 y ? 415 ? 0 . CEM ?y ?CME 在 RT 中, sin ? 方法一 :如图 2,设直线 EF 方程
程组可以求出系数 k 和 b .再计算 D 点到直线 EF 的
当 B 、D 分别为椭圆短轴的两个端点 B1 ,B2 时, 临时仓库占地面积最大,此时 D 点(0,-80),

E A C M D F N

x

图2

距离为 19 米 ,故不符合规定 .这种方法计算较繁琐 .

4 3 ,而 k l ? 3 4 则直线 DC 到直线 l 的距离的最小值为
由于 k CD ? 点 D 到直线 l 的距离 d ? 所以该规划不符合规定.

4 ? 80 ? 415 ? 19 ? 20 , 5

方法三:如果利用直角梯形的中位线知识,那么将获得简捷的解法.如图 3,OA 中点为 H 点, 过 O 点,H 点,D 点分别作垂线
y

OO1 , HG1 , DD1 .由于 OO1 是直角梯形
ACMN 的中位线,则 OO ? 83, HG 是直 1 1 角梯形 OO NA 的中位线, HG ? 101, 1 1
A H B

O C G D F N D1 G1 O1 M

E

x

又 HG ? 50 故 GG ? 51, GG 是直角梯 1 1 形 OO D D 的中位线,故 DD ? 19 .即 1 1 1 直线 DC 到直线 l 的距离的最小值为点 D 到 直线 l 的距离 DD ? 19 ? 20 ,所以该规 1 划不符合规定.

图3

简解:如图 4,设椭圆的长半轴为 a ,双曲线的实半轴为 a ? a ? a ? , 4.3. 赏析简洁美
1 1

半焦距为 c ,由椭圆、双曲线的定义得

数学的首要特点在于它的简洁 具体表现为数学的符号美、抽象美和统一美 .正如丘成桐先 | PF | ? | PF |? 2a, | PF | ? | PF |,? 2a ,
1 2 1 2 1

生说 :“ 数学的文采 ,表现于简洁 ”数学的简洁不仅体现在文字符号表述 ,更重要的是数学模 所以 PF ? a ? a , PF ? a ? a ,因为 型和思想方法 . ?F PF ? 60? ,由余弦定理得
1 1 2 1
1 2

(2014 年湖北理科· 2 2 9) 已知 F , F 是椭圆和双曲线的 4c 2 ? ? a ? a1 ? ? ? a ? a1 ? ? ? a ? a1 ?? a 1 ? a1 ?2 ,
所以 4c ? a ? 3是他们的一个公共点,且 a1 ,即 2 ? 2 ? 4 . 公共焦点,
2 2

P

2

1 e1

3 e2

? ?F1PF2 ? , 3

F1

y

P

则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 1 1 2 1 1 3 2
所以 (

x F2

1 3 1 . 16 A. ( 2 ? 2 )(1 ? )B ? , 3 3 3 e1 3 e2

4 3

e1

?

e2

) ?(

e1

?

2 3

3 e2

?

) ?

C.3

D.2
4 3 . 3

图4

故椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为

4.4.赏析变式
教育家 G·波利亚曾形象地指出:“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长, 找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个.”这或许正是变式教学的天 然理论根源. 解题教学强调要讲透,但透并非仅仅分析到位, 而是让学生达到会一题通一类 的效果: 从“变”的现象中发现“不变”的本质, 从 “不变”的本质中探究“变”的规 律.
(2014 年福建理科·10)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球, 由加法原理及乘法原理, 从 1 个 红 球 和 1 个 篮 球 中 取 出 若 干 个 球 的 所 有 取 法 可 由 ?1 ? a ??1 ? b? 的 展 开 式

1 ? a ? b ? ab 表示出来,如: “1”表示一个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,而“ ab ”
用表示把红球和篮球都取出来 .以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区 别的红球、 5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取 法的是 ( ) A. 1 ? a ? a ? a ? a ? a 1 ? b ?1 ? c?
2 3 4 5 5

C. ?1 ? a? 1 ? b ? b ? b ? b
5 2 3

?

A
?

??

4

? ? b ??1 ? c ?
5

5

5

? ?? D. ? 1 ? a ??1 ? b? ?1 ? c ? c
5 2 3

B. 1 ? a 1 ? b ? b ? b ? b ? b ?1 ? c?
4 5

?

5

5

5

2

? c 3 ? c 4 ? c5

?

试题分析 : (1 ? a) 2 ? 1 ? 2a ? a 2 展开式中的系数分别表示 2 个有区别球 ,取出 0 个,1
1 2 2 n n 个,2 个球所有取法数 1+2+1=4.?一般地 (1 ? a) n ? 1 ? Cn a ?C n a ? ? ? Cn a 展开式中

的系数 Cn , Cn , Cn ,?Cn 表示 n 个有区别的球,取出 0 个 ,1 个 ,2 个,? n 个球所有取法数
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n .那么无区别的 5 个球分别取出 0 个,1 个,2 个,?5 个球所有

0

1

2

n

取法数 1+1+1+1+1=5 种.
变式(1) 用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球 和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式 1 ? a ? b ? ab 表示出 来,如: “ 1”表示一个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,而“ ab ”用表示把红球和篮 球都取出来 .以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个有区 别的黑球中取出若干个球所有取法的是( ) A. 1 ? a ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 1 ? b5 ?1 ? c? C. ?1 ? a? 1 ? b ? b ? b ? b
5 2 3

?

??

?

4

? ? b ??1 ? c ?
5 5 5

B

B. 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ?1 ? c?

?

?

5

D. 1 ? a ?1 ? b? 1 ? c ? c ? c ? c ? c
5 5 2 3 4

?

?

?

5

?

变式(2) 用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球 和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式 1 ? a ? b ? ab 表示出 来,如: “ 1”表示一个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,而“ ab ”用表示把红球和篮 球都取出来 .以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 n 个无区别的红球、n 个有区 别的黑球中取出若干个球所有取法的是( ) A. 1 ? a ? a ? a ? ? ? a
2 3

?

C. ?1 ? a? 1 ? b ? b
n

?

2

??1 ? b ??1 ? c? ? ? ? b ??1 ? c ?
n n n n

B
n

? ? D. ? 1 ? a ??1 ? b? ?1 ? c ? c ? ? ? c ?
B. 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? c?
n n 2 n n

变式(3) 用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球 和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式 1 ? a ? b ? ab 表示出 来,如: “ 1”表示一个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,而“ ab ”用表示把红球和篮 球都取出来 .以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 n 个无区别的红球、n 个有区 别的黑球中取出若干个球 ,且所有的蓝球都取出的所有取法的是( ) A. 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? c? b n
n

?

?

B. 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? c?
n n 2

C. ?1 ? a? 1 ? b ? b ? ? ? b 1 ? c
n 2 n

?

??

n

?

? ? D. ? 1 ? a ??1 ? b? ?1 ? c ? c ? ? ? c ?
n n

A

4.5.赏析意境
世上万物,以真、善、美为最高境界 .数学自然也有自已的真、善、美 .但是,数学的真、 善、美往往被淹没在形式演绎的海洋里 ,需要大力挖掘、用心体察才能发现、感受、体验 和欣赏 .数学是人做出来的 ,数学的思考过程必然打上人文的烙印 .数学意境和人文意境之 间,是彼此相通互相借鉴的 .
(2011-2012 年厦门高二下理科· 13) 1, 4,9,16??这些数可以用图 1 中的点阵表示, 古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数,记第 n 个数为 an . 在图 2 的杨辉三角中,第
0 1 n ( n ? 2 )行是 (a ? b)n ?1 展开式的二项式系数 Cn ?1 , Cn ?1 , n ?1 ,记杨辉三角的前 n 行所 , Cn ?1

有数之和为 Tn . (Ⅰ)求 an 和 Tn 的通项公式; (Ⅱ)当 n ? 2 时,比较 an 与 Tn 的大小,并加以证明 . 1

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 ??
1 Cn ?1

? Cn?1 1 图2

1

图1

解: (1)由“正方形数”的特点可知 an ? n2 ; 由二项式定理的性质,杨辉三角第 n 行 n 个数的和为
1 n?1 n?1 , Sn ? Cn0?1 ? Cn ? ? C ? 2 ?1 n?1

所以 Tn ? S1 ? S2 ?

? Sn ? 1? 2 ? 22 ? ? 2n?1 ? 2n ?1

(2) a2 ? 4 , T2 ? 22 ?1 ? 3 ,所以 a2 ? T2 ;

a3 ? 9 , T3 ? 23 ?1 ? 7 ,所以 a3 ? T3 ;
a4 ? 16 , T4 ? 24 ?1 ? 15 ,所以 a4 ? T4 ;

a5 ? 25 , T5 ? 25 ?1 ? 31 ,所以 a5 ? T5 ; a6 ? 36 , T6 ? 26 ?1 ? 63 ,所以 a6 ? T6 ;??
猜想:当 2 ? n ? 4 时, an ? Tn ;当 n ? 5 时, an ? Tn 。证明如下

当 2 ? n ? 4 时,已证;下面用数学归纳法证明:当 n ? 5 时, an ? Tn 。 ① 当 n ? 5 时,已证; 2 k k ? 2 ?1 ; ② 假设 n ? k (k ? 5, k ? N *) 时,猜想成立,即: ak ? Tk ,所以 那么, Tk ?1 ? 2k ?1 ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2(2k ?1) ?1 ? 2k 2 ?1 ? k 2 ? k 2 ?1

? k 2 ? 2k ?1 ? (k ?1)2 所以,当 n ? k ? 1 时,猜想也成立。
综合①②,可知当 n ? 5 时, an ? Tn 。
如图 (1)被毕达哥拉斯学派的学者们称为“形数 ”,即以石 子能摆成的几何形状所用石子数而分别给它们称谓 . 图1

?????? 三角数 1 3 6 10 n(n+1)/2

?????? 四角数 1 4 9 16 n2

+
1+2+3+4+5 4+3+2+1

=
52

n(n ? 1) 同理,1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 也可以利用“形数”去理解.一般化地, 2

n(a1 ? an ) . {an } 是等差数列,利用“形数”可以理解 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2

(1)每个四角数是两个相继三角数之和.
图1

?????? 三角数 1 3 6 10 n(n+1)/2

(2)一般地:第 n ? 1 个三角数与第 n 个 k 角数之和为第 n 个 k ? 1 角数?

(2013 年湖北理科· 14) 古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为

n(n +1) 1 2 1 = n + n ,记第 n 个 k 边形数为 N (n, k )(k ? 3) , 2 2 2

以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

1 1 N (n,3)= n 2 + n 2 2

N (n, 4)=n2
3 2 1 N (n,5)= n - n 2 2

N (n,6)=2n2 -n

…………………………………………………………….. 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=_________________.

1000

1 N (n,7) ? (5n 2 ? 3n) 2

1 N (n, k ) ? [( k ? 2)n 2 ? (k ? 4)n] 2

1 1 1 1 1 1 6 4 3 1 2 1 12 1 1 6 1 1 2 1 1 3 1

12 1 4 1 5 1 20 1 30 1 20 5 1 30 60 60 30 ??? ??? ??? ???

1 6

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??; 2 6 12 20 30 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??; 2 3 12 30 60 105 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??; 3 4 20 60 140

(莱布尼茨三角形)

中间的每个数皆为其下面左右两数之和. 表中每条斜线“/”上诸数和恰好为斜线顶端之数 左上角的数.

0 0 0

1 1 1

0 1

1 3 1 7 6 1

1 1 5

2 5 7 10 15

2 3

生成规则 O + O=O

0 1 15 25 10 1 0 1 31 90 65 15 1
??? ??? ??? ???

15 20 27 37 52 52 67 87 114 151 203
??? ??? ??? ???

(斯特林三角形)

(贝尔三角形)

O ? O?k 000000? 000000 O

再看如图(2)“杨辉三角”反映了二项式展开项系数的变化规律,其形式像一座宝塔.在诗歌中 也有类似 “杨辉三角”的“宝塔诗”,《会真记》的作者曾写过:
1 1 1 1 2 1 1 3 ?? 1
1 Cn ?1

3

1
1

? Cn?1 1 图2

茶 香叶,嫩芽 慕诗客,爱僧家. 碾雕白玉,罗织红纱. 铫煎黄蕊色,碗转曲尘花. 夜后邀陪明月,晨前命对朝霞. 说尽古今人不倦,将如醉后岂堪夸.

不登高山,不知天之高也; 不临深谷,不知地之厚也; 不闻先生之遗言, 不知学问之大也. ----荀况. 数学追梦人 数学解味人


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