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天津市天津一中2014届高三上学期第三次月考 数学文 Word版含答案


天津一中 2013-2014 学年高三年级三月考数学试卷(文)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. 设 a, b ? R ,那么“ A. 充分不必要条件 件

a >1 ”是“ a>b>0 ”的( b
B.必要不充分条件

) D.既不充分也不必要条

C. 充要条件

?x ? y ? 3 ? 2. 设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ?2 x ? y ? 3 ? A. 6 B. C . 8 D . 23 7 π 3. 函数 y = sin( - 2 x) , x ? R 是( ) 2 π A. 最小正周期为π 的奇函数 B. 最小正周期为 的奇函数 2 π C. 最小正周期为π 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数 2 4.阅读右面的程序框图,则输出的 S = ( )
A.14 B.30 C.20 D.5 5 5. 将函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0) 的图像向右平移 像经过点( A.

)

3? ,则 ? 的最小值是( ,0 ) 4
B. 1

? 个单位长度,所得图 4

) C.

1 3

5 3

D. 2

6. 设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y ? ? ( ). A. 5 B.

1 x ,则该双曲线离心率 e ? 2
5 4

5

C.

5 2

D.

1 ?4 x ? 4 , x ? 7. 函 数 f ? x ? ? ? 2 的 图 象 和 函 数 g ? x ? ? log 2 x 的 图 象 的 交 点 个 数 是 ? x ? 4 x ? 3 ,x ? 1
( A.1 ) . B.2 C.3 D.4

8. 已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:

f ( x) ? a x ? g ( x) (a ? 0, 且a ? 1) ;② g ( x) ? 0 ;③ f ( x) ? g ?( x) ? f ?( x) ? g ( x) .


f (1) f (?1) 5 ? ? ,则 a 等于 g (1) g (?1) 2

A.

1 2

B.

2

C.

5 4

D.

2或

1 2

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.如左下图所示,是某校高三年级文科 60 名同学参加某科考试所得成绩(分数均为整数) 整理后得出的频率分布直方图, 根据该图可得出这次考试文科 60 分以上的同学的人数 为 45 .

频率/组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O

40 50 60 70 80 90 100

分数

第 9 题图

10. 某几何体的三视图如右上图所示,则该几何体 的体积为

108 ? 3?
5 2

. .

???? ??? ? 11.在 △ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC ?

12. 已知圆 C 的圆心与抛物线 y ? 4 x 的焦点关于直线 y ? x 对称,直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与
2

圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的标准方程为

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10

13.如图, PC 切 ? O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ? AB 于点 E .已知 ? O 的半径 为 3, PA ? 2 ,则 CD ?
24 5



C

B

O

E

A

P

D
第 13 题图

14. 函数 y ? a1? x ? a ? 0,a ? 1? 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 ? mn ? 0?

上,则

1 1 ? 的最小值为 m n

4



15. 对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查, 得到统计 数据如下: 教师 教龄 教师人数 经常使用信息技术实 施教学的人数 5 年以下 8 2 5 至 10 年 10 4 10 至 20 年 30 10 20 年以上 18 4

(Ⅰ)求该校教师在教学中不 .经 常 使 用 信 息 技 术 实 施 教 学 的 概 率 ;

(Ⅱ)设经常使用信息技术实施教学,教龄在 5 年以下的教师为 ai (i=1,2) ,教龄在

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , 5 至 10 年的教师为 bi(j=1, 2, 3, 4) , 那么任选 2 人的基本事件为 ( a1 , a2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , ( a2 , b4 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , b4 ) , (b2 , b3 ) , (b2 , b4 ) , (b3 , b4 ) 共 15 个.
设“任选 2 人中恰有一人的教龄在 5 年以下”为事件 B,

(a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , ( a2 , b4 ) 包括的基本事件为 (a1 , b1 ) ,
共 8 个, 则 P( B) ?

8 . 15 8 . 15
3a sin C ? c cos A

所以恰有一人教龄在 5 年以下的概率是

16.已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 c ? (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c 。

(1)?

a b c ? ? sin A sin B sin C ? sin C ? 3 sin A sin C ? sin C cos A
? 3 sin A ? cos A ? 1

? 2 sin(A ? ) ? 1 6 ? 1 sin(A ? ) ? 6 2 ? ? 5 ?A? ? 或 ? 6 6 6 ? A ?△ABC
?A?

?

?

3

A ? ? (舍)
?A?

?

3

(2) S ?ABC ?

1 bc sin A ? 3 2

1 3 ? bc ? 3 2 2 ? bc ? 4 b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? ? 2bc 2 2 2 ?b ? c ? 4 ? 4 ?b 2 ? c 2 ? 8 ?b ? 2 ?? ?? ?c ? 2 ?bc ? 4
17.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 直角梯形, AD // BC , ?ADC ? 90? , 平 面 PAD ? 底 面 ABCD , E 为 AD 的 中 点 , M 是 棱 PC 的 中 点 , PA ? PD ? 2 ,

BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (Ⅰ)求证: PE ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值;
(Ⅲ)求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值.

(3) 由(2)知 CD ∥ BE

? 直线 BM 与 CD 所成角即为直线 BM 与 BE 所 成角

连接 ME , Rt?MHE 中, ME ?

7 , 2

Rt?MHB 中, BM ?

7 , 2

又 BE ? CD ?

3

BM 2 ? BE 2 ? ME 2 ? ? ?MEB 中, cos ?MBE ? 2 BM ? BE

7 7 ?3? 4 4 ? 21 7 7 2? ? 3 2
-------13 分

? 直线 BM 与 CD 所成角的余弦值为
2

21 7

18.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? 2n , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a 2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn . bn

解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, a n ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故 {a n } 的通项公式为 a n ? 4n ? 2,即{a n }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设 {bn } 的公比为 q, 则 b2 ? a2 ? a1 ? ? b1qd ? b1 , d ? 4,? q ? 故 bn ? b1q n ?1 ? 2 ?

1 . 4

1 2 ,即 {bn } 的通项公式为 bn ? n ?1 . n ?1 4 4

(II)? c ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , n 2 bn n ?1 4

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 42 ? ? ? (2n ? 1)4n ?1 , 4Tn ? 1? 4 ? 3 ? 42 ? 5 ? 43 ? ? ? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n
两式相减得

3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n 1 ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ?Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
19. 已知函数 f ( x) = ax - 3x + 13 2

3 (a a

0)
1 x + 1 垂直,求实数 a 的取值; 3

(Ⅰ)若 f ( x) 的图象在 x = - 1 处的切线与直线 y = (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间;

(Ⅲ)若 a = 1 时,过点 M (2, m) (m ? ?6) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取 值范围. 解: (Ⅰ) f ? ( x) = 3ax - 6 x = 3ax( x 2

2 (- 1) = 3a + 6 = 3 ,得 a = - 1 .---3 ),f? a

分 (Ⅱ)当 a > 0 时,

2 > 0, a
2 a,

由 f ?( x) ? 0 解得 x < 0 ,或 x ? 由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 所以 f ( x) 在区间 (分 当 a < 0 时,

2 . a

2 2 , 0) ,( , ? ?) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减.----6 a a

2 < 0, a

2 < x< 0 a 2 由 f ?( x) ? 0 解得 x < ,或 x > 0 . a 2 所以 f ( x) 在区间 ( , 0) 上单调递增,在区间 (a
由 f ?( x) ? 0 解得

2 , ) ,(0, + a

) 上单调递减.---8 分

(Ⅲ)∵点 M (2, m) (m ? ?6) 不在曲线 y ? f ( x) 上, ∴设切点为 ( x0 , y0 ) .则 y0 ? x03 ? 3x0 2 ? 2 . ∵ f ?( x0 ) ? 3x02 ? 6 x0 ,∴切线的斜率为 3x0 2 ? 6 x0 . 则 3x0 2 ? 6 x0 ?
x03 ? 3x0 2 ? 2 ? m ,即 2 x03 ? 9 x02 ? 12 x0 ? 2 ? m ? 0 .------10 分 x0 ? 2

因为过点 M (2, m) (m ? ?6) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, 所以方程 2 x03 ? 9 x02 ? 12 x0 ? 2 ? m ? 0 有三个不同的实数解. 即函数 g ( x) ? 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 2 ? m 有三个不同的零点. 则 g ?( x) ? 6 x2 ? 18x ? 12 ? 6( x2 ? 3x ? 2) ? 6( x ? 2)( x ? 1) . 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 2 .

x
g ?( x) g ( x)

(?? ,1)

1
0
极大值

(1, 2)
?

2
0
极小值

(2, ? ?)

+

+







? g (1) ? 0, ?7 ? m ? 0, ∴? 即? 解得 ?7 ? m ? ?6 .---------------------14 分 ? g (2) ? 0, ?6 ? m ? 0,

20. 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦距为 2 ,且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦 a 2 b2 点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; ,B , (Ⅱ) 若以 k ? k ? 0 ? 为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A 且线段 AB 的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

1 ,求 k 的取值范围. 16 (Ⅰ) c ? 1 ,设 M 、 N 为短轴的两个三等分点, F 为焦点,因为 △MNF 为正三角形, 解:
∴ OF ?

3 3 2b , 解 得 b ? 3 . a 2 ? b2 ? 1 ? 4 , 因 此 , 椭 圆 方 程 为 MN , 即 1 ? ? 2 2 3

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ? k ? 0 ? .点 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 的坐标满足方程组

? y ? kx ? m , ① ? 2 ?x y2 ? 1 ,② ? ? 3 ?4

将①式代入②式,得 3 x 2 ? 4 ? kx ? m ? ? 12 ,
2

整理得 4k 2 ? 3 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 . 此方程有两个不等实根,于是 Δ ? ? 8km ? ? 4 4k 2 ? 3 4m 2 ? 12 ? 0 .
2

?

?

?

??

?

整理得 4k ? m ? 3 ? 0 ??③,
2 2

由根与系数的关系,可知线段 AB 的中点坐标 ? x0,y0 ? 满足 x0 ?

x1 ? x2 ?4km , ? 2 2 4k ? 3

y0 ? kx0 ? m ?

3m . 4k 2 ? 3
3m 1? 4km ? ?? ?x? 2 ?. 2 4k ? 3 k? 4k ? 3 ?

从而线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

?m ? ? ?km ? ? 此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ? 2 , 0 ? , ? 0, 2 ?. ? 4k ? 3 ? ? 4k ? 3 ?
4k 2 ? 3? ? 1 ?km ?m 1 2 由题设可得 ,k ? 0. ? ? .整理得 m ? 8k 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 16
2

将上式代入③式得 4k 解得

2

? 4k ?

2

? 3?

2

8k

?3?0 , 整理得 ? 4k 2 ? 3?? 4k 2 ? 8 k ? 3? ? 0 ,k ? 0 .

1 3 ? 3 1? ?1 3? ? k ? .所以 k 的取值范围是 ? ? ,? ? ? ? , ? . 2 2 ? 2 2? ?2 2?


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