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2014年高考数学总复习教案:第二章 函数与导数第9课时 指数函数、对数函数及幂函数


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第二章 函数与导数第 9 课时 (理)24~25 页)

指数函数、对数函数及幂函数 (3) ( 对应学生用书 ( 文 ) 、

考情分析

考点新知

① 对数函数在高考中的考查主要是图象和 性质,同时考查数学思想方法,以考查分类 讨论及运算能力为主;考查形式主要是填空

题,同时也有综合性较强的解答题出现,目 的是结合其他章节的知识,综合进行考查. ② 幂函数的考查较为基础,以常见的 5 种幂 函数为载体,考查求值、单调性、奇偶性、 最值等问题是高考命题的出发点.

① 理解对数函数的概念; 理解对数函数的单 调性;掌握对数函数图象通过的特殊点. ② 知道对数函数是一类重要的函数模型. ③ 了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 的相互关系(a>0,a≠1). ④ 了解幂函数的概念,结合函数 y=x,y= - - x2,y=x3,y=x 1,y=x 2 的图象,了解它 们的变化情况.

1. (必修 1P112 测试 8 改编)已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(2)>f(3),则实数 a 的取 值范围是________. 答案:(0,1) 解析:因为 f(2)>f(3),所以 f(x)=logax 单调递减,则 a∈(0,1). 1? 2. (必修 1P89 练习 3 改编)若幂函数 y=f(x)的图象经过点? ?9,3?,则 f(25)=________. 1 答案: 5 1 α 1 1 1 α 解析:设 f(x)=x ,则 =9 ,∴ α=- ,即 f(x)=x- ,f(25)= . 3 2 2 5 1-x 3. (必修 1P111 习题 15 改编)函数 f(x)=ln 是________(填“奇”或“偶”)函数. 1+x 答案:奇
-1 1+x ?1-x? =-ln1-x=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 解析:因为 f(-x)=ln =ln? ? 1-x 1+x ?1+x?

4. (必修 1P87 习题 13 改编)不等式 lg(x-1)<1 的解集为________. 答案:(1,11) 解析:由 0<x-1<10,∴ 1<x<11. 5. ( 必修 1P87 习题 14 改编 ) 对于任意的 x1 、 x2 ∈ (0 ,+∞) ,若函数 f(x) = lgx ,则 f(x1)+f(x2) x1+x2? 与 f? 2 ? 2 ?的大小关系是______________________.

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f(x1)+f(x2) ?x1+x2? 答案: ≤f 2 ? 2 ? 解析:(解法 1)作差运算; f(x1)+f(x2) x1+x2? (解法 2)寻找 与 f? 2 ? 2 ?的几何意义,通过函数 f(x)=lgx 图象可得.

1. 对数函数的定义 一般地,我们把函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域是(0,+∞). 2. 对数函数的图象与性质 a>1 图 0<a<1



(1) 定义域:(0,+∞) (2) 值域:R 性 质 (3) 过点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4) 当 x>1 时,f(x)>0;当 0 <x<1 时,f(x)<0 (5) 是(0,+∞)上的增函数 (4) 当 x>1 时,f(x)<0;当 0 <x<1 时,f(x)>0 (5) 是(0,+∞)上的减函数

3. 幂函数的定义 α 形如 y=x (α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 4. 幂函数的图象

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5. 幂函数的性质 函数特 征性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
1

y=x R R 奇 增

y=x2 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减, [0,+∞)增

y=x3 R R 奇 增 (1,1)

y=x2 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增

y=x

-1

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇 (-∞,0)减, (0,+∞)减

[备课札记]

题型 1 对数函数的概念与性质 例1 1 (1) 设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差是 ,则 a= 2

________; (2) 若 a=log0.40.3,b=log54,c=log20.8,用小于号“<”将 a、b、c 连结起来________; 2 (3) 设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是________;

?

?

(4) 已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m、n 满足 m<n 且 f(m)=f(n),若 f(x)在区间[m2,n] 上的最大值为 2,则 m、n 的值分别为________. 答案:(1) 4 解析:(1) ∵ 1 = ,∴ a=4. 2 (2) 由于 a>1,0<b<1,c<0,所以 c<b<a. 1+ x >0, ? ? 1- x 1+x (3) 由 f(-x)+f(x)=0,得 a=-1,则由 lg <0,得? 解得-1<x<0. 1-x 1+x ? ?1-x<1, (4) 结合函数 f(x)=|log2x|的图象,易知 0<m<1,n>1,且 mn=1,所以 f(m2)=|log2m2|
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(2) c<b<a (3) -1<x<0

1 (4) ,2 2 loga2a-logaa

a>1,∴ 函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上是增函数,∴

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1 =2,解得 m= , 2 所以 n=2. 变式训练 2 (1) 设 loga <1,则实数 a 的取值范围是________; 3 (2) 已知函数 f(x)=lg(x2+t)的值域为 R,则实数 t 的取值范围是________; (3) 若函数 f(x)=loga|x+1|在(-1, 0)上有 f(x)>0, 则函数 f(x)的单调减区间是________; (4) 若函数 f(x) = log1 (x2 - 2ax + 3) 在 ( -∞,1] 内为增函数,则实数 a 的取值范围是
2

________. 2 答案:(1) 0<a< 或 a>1 (2) a≤0 3 (3) (-1,+∞) (4) [1,2)

解析:(1) 分 a>1 与 a<1 两种情形进行讨论. (2) 值域为 R 等价于 x2+a 可以取一切正实数. (3) 函数 f(x)的图象是由 y=loga|x|的图象向左平移 1 个单位得到,∴ 0<a<1.
? ?a≥1, (4) 令 g(x)=x2-2ax+3,则? 解得 1≤a<2. ?g(1)>0, ?

题型 2 幂函数的概念与性质 例 2 已知幂函数 y=x3m 9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数. (1) 求 m 的值;


m m (2) 求满足不等式(a+1)- <(3-2a)- 的实数 a 的取值范围. 3 3 解:(1) 因为函数 y=x3m 9 在(0,+∞)上是减函数,所以 3m-9<0,所以 m<3. 因为 m∈N*,所以 m=1 或 2. 又函数图象关于 y 轴对称,所以 3m-9 是偶数,所以 m=1.


m m 1 1 (2) 不等式(a+1)- <(3-2a)- 即为(a+1)- <(3-2a)- . 3 3 3 3 1 结合函数 y=x- 的图象和性质知: 3 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 2 3 解得 a<-1 或 <a< , 3 2 2 3 即实数 a 的取值范围是 a<-1 或 <a< . 3 2 备选变式(教师专享) 1? 已知幂函数 y=f(x)经过点? ?2,8?. (1) 试求函数解析式; (2) 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间. 1 解:(1)由题意,得 f(2)=2a= 8 故函数解析式为 f(x)=x 3.


a=-3,

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(2)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, - - 因为 f(-x)=(-x) 3=-x 3=-f(x),故该幂函数为奇函数. 其单调减区间为(-∞,0),(0,+∞). 题型 3 指数函数、对数函数的综合问题 例 3 已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1) 求 k 的值; 4 2x- a?,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a (2) 设 g(x)=log4? 3 ? ?a· 的取值范围. 解:(1) 由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x), - ∴ log4(4x+1)+kx=log4(4 x+1)-kx. log4 4x+1 =-2kx,即 x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立, - 4 x+1

1 ∴ k=- . 2 4 1 2x- a? (2) 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 即方程 log4(4x+1)- x=log4? 3 ? ?a· 2 1 4 有且只有一个实根,化简得方程 2x+ x=a· 2x- a 有且只有一个实根.令 t=2x>0,则方程(a 2 3 4 -1)t2- at-1=0 有且只有一个正根. 3 ①a=1 3 t=- ,不合题意;②a≠1 时,Δ=0 4 3 3 a= 或-3.若 a= 4 4 t=-2,不合 a>1.

题意,若 a=-3

-1 1 t= ;③a≠1 时,Δ>0,一个正根与一个负根,即 <0 2 a-1

综上,实数 a 的取值范围是{-3}∪(1,+∞). 备选变式(教师专享) 已知函数 f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1) 求函数 y=f(x)的定义域; (2) 在函数 y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过此两点的直线平行于 x 轴; (3) 当 a、b 满足什么关系时,f(x)在区间(1,+∞)上恒取正值. a? x a 解:(1) 由 ax-bx>0,得? ?b? >1,因为 a>1>b>0,所以b>1,所以 x>0,即函数 f(x)的定 义域为(0,+∞). (2) 设 x1>x2>0, 因为 a>1>b>0, 所以 ax1>ax2, bx1<bx2, 则-bx1>-bx2, 所以 ax1-bx1>ax2 -bx2>0,于是 lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),即 f(x1)>f(x2),因此函数 f(x)在区间(0,+∞)上是 增函数.假设函数 y=f(x)的图象上存在不同的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),使得直线 AB 平 行于 x 轴,即 x1≠x2,y1=y2,这与 f(x)是增函数矛盾.故函数 y=f(x)的图象上不存在不同 的两点,使过此两点的直线平行于 x 轴. (3) 由(2)知,f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,所以当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),故只 需 f(1)≥0,即 lg(a-b)≥0,即 a-b≥1,所以当 a≥b+1 时,f(x)在区间(1,+∞)上恒取正 值.

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1. (2013· 南师大模拟)已知函数 f(x)=log2x-2log2(x+c),其中 c>0,若对任意 x∈(0,+ ∞),都有 f(x)≤1,则 c 的取值范围是________. 1 答案:c≥ 8 c>0, ? ? 1 解析:由题意,? 在 x∈(0,+∞)上恒成立,所以 c≥ . x 8 ?(x+c)2≤2 ? 1? 2. (2013· 辽宁)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg2)+f? ?lg2?=________. 答案:2 解析:f(x)+f(-x)=ln( 1+9x2-3x)+ln( 1+9x2+3x)+2=ln(1+9x2-9x2)+2=2, 1? 所以 f(lg2)+f? ?lg2?=f(lg2)+f(-lg2)=2. 3. (2013· 江西检测 ) 已知 x 3 + (log 1 0.5) y<( - y) 3 + (log 1 0.5)x ,则实数 x 、 y 的关系为


1

1

3

3

________. 答案:x+y<0 解析:由 x3+(log10.5) y<(-y)3+(log10.5)x,得 x3-(log10.5)x<(-y)3-(log10.5) y.设 f(x)
- -

1

1

1

1

3 1 3

3

3

3

=x -(log10.5)x,则 f(x)<f(-y),由于 0<log10.5<1,所以函数 f(x)是 R 上的增函数,所以 x<
3 3

-y,即 x+y<0.
2 x ? ?2 ,x<2, 4. (2013· 南通密卷)已知 f(x)=? 若对任意的 x∈R,af2(x)≥f(x)-1 ?log3(x+1),x≥2, ?


成立,则实数 a 的最小值为________. 1 答案: 4 解析:易得 f(x)-1 1 1 x∈R,f(x)>0,由 af2(x)≥f(x)-1,得 a≥ 2 = -2 = f (x) f(x) f (x)

1 2 1 1 ? 1 1 - f(x)-2? ≤ (当且仅当 f(x)=2 时等号成立),所以实数 a 的最小值为 . 4 ? 4 ? 4

1 1. 若函数 f(x)=log2|ax-1|(a>0),当 x≠ 时,有 f(x)=f(1-x),则 a=________. 2 答案:2 1 解析:由 f(x)=f(1-x),知函数 f(x)的图象关于 x= 对称, 2

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1? 1 1 而 f(x)=log2? ?x-a?+log2|a|,从而 a=2,所以 a=2.
2

2. 已知函数 f(x)=x3,x∈[-1,8],函数 g(x)=ax+2,x∈[-1,8],若存在 x∈[-1, 8],使 f(x)=g(x)成立,则实数 a 的取值范围是________. 1? 答案:? ?-∞,4?∪[1,+∞)
2

解析:分别作出函数 f(x)=x3,x∈[-1,8]与函数 g(x)=ax+2,x∈[-1,8]的图象.当 1 1 直线经过点(-1,1)时,a=1;当直线经过点(8,4)时,a= .结合图象有 a≤ 或 a≥1. 4 4 3. 已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是________. 答案:(3,+∞) 1 2 解析: 因为 f(a)=f(b), 即|lga|=|lgb|, 所以 a=b(舍去)或 b= , 得 a+2b=a+ .又 0<a<b, a a 2 2 所以 0<a<1<b.令 f(a)=a+ , 则 f′(a)=1- 2<0, 所以 f(a)在 a∈(0, 1)上为减函数, 得 f(a)>f(1) a a =1+2=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 4. 已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y= 8 (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至右 2m+1

相交于点 A、B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C、D.记线段 AC 和 BD 在 x b 轴上的投影长度分别为 a、b.当 m 变化时,求 的最小值. a
8 1? m 1? 2m8 m ? +1 2m+1 解: 由题意得 xA = ? , x = 2 , x = , x = 2 ,所以 a = |xA - xC| = B C D ?2? ?2?

??1?m-?1? ??2? ?2?
+m. 因为

8 2m+1

8 ?, m 2m+1 ? b=|xB-xD|= 2 -2

|

b ? , 即 | a=?2 ?

8 2m-22m+1 8 2m+1 = 2 · 2m=2 8 -m 2m +1 -2- 2m+1

8

? ? ?

8 1 8 1 +m= (2m+1)+ - ≥2 2 2m+1 2m+1 2

1 8 1 7 1 (2m+1)× - = ,当且仅当 2 2 2m+1 2 2

(2m+1)=
7 8 3 b ,即 m= 时取等号.所以, 的最小值为 22=8 2. 2 a 2m+1

1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件,是求解有关指数、对数问 题时必须予以重视的,如果底数含有参数,一般需分类讨论. 2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1) 确定定义域; (2) 把复合函数分解为几个初等函数; (3) 确定各个基本初等函数的单调区间; (4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性.
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请使用课时训练(B)第9课时(见活页).

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