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2.2.1条件概率公开课


高二数学

选修2-3

2.2.1条件概率
东光一中数学组

2011年3月15日
1

情 景 引 入

2

情景引入
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回 地抽取一张,奖品是“周杰伦演唱会门票一张”,那么问

最后一名同学中奖的概率是否比前两位小?

3

如果已经知道第一名同学没有中奖, 那么最后一名同学中奖的概率是多少? 知道第一名同学 的结果会影响最 后一名同学中奖 的概率吗?

探究:

不妨记为 P ( B A )
?

B

已知A发生

AB B

A
4

思考: 计算

P ( B A ) ,涉及事件A和AB,那么用事件A 和

AB 的概率 P(A) 和P(AB)可以表P(B|A)吗?

?

已知A发生 ?

A

B
P(A) ? n( A ) n(? )

AB

P ( AB ) ?

n( A B ) n(? )

P (B | A) ? ?

5

条件概率(conditional probability ) 1.定义
一般地,设A,B为两个事件,且 P ( A ) ? 0 ,称
P ?B A? ? P ( AB ) P ( A)

为事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率.

P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率,
P ?B A? ? n( A B ) n( A ) ???? ? P ( AB ) P ( A)

B

A∩B

A

P(B|A)相当于把A当做新的样本空间来计算AB发生的概率。

P(A|B)怎么读?怎么理解?怎么求解?

6

2.条件概率的性质:
(1)有界性: 0 ? P ? B A ? ? 1 (2)可加性:如果B和C是两个互斥事件,则
P ? B ? C A? ? P ? B A? ? P ?C A?

7

例1

在5道题中有3道理科题和2道文科题。 如果不放回地依次抽取2道题,求:

(1)第1次抽到理科题的概率;

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率。 解:设Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本 空间,“第1次抽到理科题”为事件A, “第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到 理 科题”就是事件AB.( A ) ? A 1 ? A 1 ? 1 2,? P ( A ) ? n ( A ) ? 1 2 ? 3 . 2 (1) ? n ( ? ) ? A ? 2 0, n
5

( 2 )? n ( A B ) ? A3 ? 6 ,
2

?

n (? ) 20 n (A B ) 6 3 P( AB) ? ? ? . 3 n (? ) 20 10

3

4

5

( 3) 法 1

P (B | A) ?

P( AB)

1 ? 10 ? . 3 P ( A) 2法 5

2

P (B | A) ?

n( AB ) n( A)

?

6 12

8

?

1 2

想一想
你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗?
求解条件概率的一般步骤: (1)用字母表示有关事件

(2)求P(AB),P(A)或n(AB),n(A)
( 3 )利用条件概率公式求 P ? B A ? ?
P ( AB ) P ( A) ? n( A B ) n( A )

9

1. 掷两颗均匀骰子,问: ⑴ “ 第一颗掷出6点”的概率是多少? ⑵ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少? ⑶ “已知第一颗掷出6点,则掷出点数之和不小于10”的概率呢?
11 12 13 14 15 16 33 34 35 36 43 44 45 46 53 54 55 56 63 64 65 66

练一练

21 22
31 32 41 42 51 52 61 62

23 24 25 26

61 62 63

64

65

66

B

A∩B

A

解:设Ω 为所有基本事件组成的全体,“第一颗掷出6点”为事件 “掷出点数之和不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点, 掷出点数之和不小于10”为事件AB n ?A ? n ?B ? 6 1 6 1 P ?A ? ? ? ? P ?B ? ? ? ? (1) 36 6 (2) n ?? ? 36 6 n ?? ? P ? AB ? n ? AB ? 1 3 1 10 (3)1 P ? B | A ? ? ? 2 P ?B | A ? ? ? ? 2 6 2 P ??? n ???
0 0

2. 如图所示的正方形被平均分成9个部分,向大正 方形区域随机的投掷一个点(每次都能投中), 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A,投中最 上面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记 为B,求 P(A|B), P(B|A),
解:∵ P ( A B ) ?
1 9

, ( A) ? P
1

1 3

,P (B ) ?

4 9

?

P(A | B) ?

P ( AB )

1 9 ? ? 4 P (B ) 4 9 1

P (B | A) ?

P( AB )

1 9 ? ? 1 P(A) 3 3

11

收获
一、基本知识
1. 条件概率的定义.
P ?B A? ? P ( AB ) P ( A)

? P ( A) ? 0?

2. 条件概率的性质. (1)有界性(2)可加性 3. 条件概率的计算方法.
P ?B A? ? n( A B ) n( A )
P ?B A? ? P ( AB ) P ( A)

(古典概型)

(一般概型)

4. 求解条件概率的一般步骤
用字母表示有关事件 求相关量 代入公式求P(B|A)

二、思想方法

1.由特殊到一般 2.类比、归纳、推理 3.数形结合
12

作业
(1)课本54页练习1,2,3

(2)金太阳导学测评(八十二)

13

14


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