2.2.1条件概率公开课

高二数学

选修2-3

2.2.1条件概率
东光一中数学组

2011年3月15日
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情 景 引 入

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情景引入
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回 地抽取一张，奖品是“周杰伦演唱会门票一张”，那么问 最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？

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如果已经知道第一名同学没有中奖， 那么最后一名同学中奖的概率是多少？ 知道第一名同学 的结果会影响最 后一名同学中奖 的概率吗？

探究:

不妨记为 P ( B A )
?

B

已知A发生

AB B

A
4

思考： 计算

P ( B A ) ,涉及事件A和AB，那么用事件A 和

AB 的概率 P(A) 和P(AB)可以表P(B|A）吗？

?

已知A发生 ?

A

B
P(A) ? n( A ) n(? )

AB

P ( AB ) ?

n( A B ) n(? )

P (B | A) ? ?

5

条件概率（conditional probability ） 1.定义
一般地，设A，B为两个事件，且 P ( A ) ? 0 ，称
P ?B A? ? P ( AB ) P ( A)

为事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率.

P(B|A）读作A发生的条件下B发生的概率，
P ?B A? ? n( A B ) n( A ) ???? ? P ( AB ) P ( A)

B

A∩B

A

P(B|A）相当于把A当做新的样本空间来计算AB发生的概率。

P(A|B）怎么读？怎么理解？怎么求解？

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2.条件概率的性质：
（1）有界性： 0 ? P ? B A ? ? 1 （2）可加性：如果B和C是两个互斥事件，则
P ? B ? C A? ? P ? B A? ? P ?C A?

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例1

在5道题中有3道理科题和2道文科题。 如果不放回地依次抽取2道题，求：

(1)第1次抽到理科题的概率；

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。 解：设Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本 空间，“第1次抽到理科题”为事件A， “第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到 理 科题”就是事件AB.( A ) ? A 1 ? A 1 ? 1 2,? P ( A ) ? n ( A ) ? 1 2 ? 3 . 2 (1) ? n ( ? ) ? A ? 2 0, n
5

( 2 )? n ( A B ) ? A3 ? 6 ,
2

?

n (? ) 20 n (A B ) 6 3 P( AB) ? ? ? . 3 n (? ) 20 10

3

4

5

( 3) 法 1

P (B | A) ?

P( AB)

1 ? 10 ? . 3 P ( A) 2法 5

2

P (B | A) ?

n( AB ) n( A)

?

6 12

8

?

1 2

想一想
你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗？
求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件

（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)
( 3 )利用条件概率公式求 P ? B A ? ?
P ( AB ) P ( A) ? n( A B ) n( A )

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1. 掷两颗均匀骰子,问: ⑴ “ 第一颗掷出6点”的概率是多少？ ⑵ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少? ⑶ “已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？
11 12 13 14 15 16 33 34 35 36 43 44 45 46 53 54 55 56 63 64 65 66

练一练

21 22
31 32 41 42 51 52 61 62

23 24 25 26

61 62 63

64

65

66

B

A∩B

A

解：设Ω 为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出6点”为事件 “掷出点数之和不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点， 掷出点数之和不小于10”为事件AB n ?A ? n ?B ? 6 1 6 1 P ?A ? ? ? ? P ?B ? ? ? ? (1) 36 6 （2) n ?? ? 36 6 n ?? ? P ? AB ? n ? AB ? 1 3 1 10 （3）1 P ? B | A ? ? ? 2 P ?B | A ? ? ? ? 2 6 2 P ??? n ???
0 0

2. 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正 方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中）， 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最 上面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记 为B，求 P(A|B), P(B|A),
解：∵ P ( A B ) ?
1 9

， ( A) ? P
1

1 3

,P (B ) ?

4 9

?

P(A | B) ?

P ( AB )

1 9 ? ? 4 P (B ) 4 9 1

P (B | A) ?

P( AB )

1 9 ? ? 1 P(A) 3 3

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收获
一、基本知识
1. 条件概率的定义.
P ?B A? ? P ( AB ) P ( A)

? P ( A) ? 0?

2. 条件概率的性质. (1)有界性（2）可加性 3. 条件概率的计算方法.
P ?B A? ? n( A B ) n( A )
P ?B A? ? P ( AB ) P ( A)

（古典概型）

（一般概型）

4. 求解条件概率的一般步骤
用字母表示有关事件 求相关量 代入公式求P(B|A)

二、思想方法

1.由特殊到一般 2.类比、归纳、推理 3.数形结合
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作业
（1）课本54页练习1，2，3

（2）金太阳导学测评（八十二）

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