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【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练:1 解三角形 章末知识整合


数学· 必修 5(人教 A 版)

一、 本章的中心内容是如何解三角形. 正弦定理和余弦定理是解 三角形的工具, 最后落实在解三角形的应用上. 通过本章的学习应当 达到以下学习目标: 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、 余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有

关的实际生活问题.

3.本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是 关于三角形的边角关系的结论. 在初中, 学生已经学习了相关边角关 系的定性知识, 就是“在任意三角形中有大边对大角, 小边对小角”, “如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等, 那么这两个 三角形全等”. “在任意三角形中有大边对大角, 小边对小角”的边角关系. 我 们是否能得到这个边、 角的关系准确量化的表示呢?在引入余弦定理 内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角, 根据三角形全等的判定方法, 这个三角形是大小、 形状完全确定的三 角形”. 我们仍然从量化的角度来研究这个问题, 也就是研究如何从 已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题. 4.在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和 圆的方程等与本章知识联系密切的内容, 对于余弦定理的证明, 常用 的方法是借助于三角的方法, 需要对三角形进行讨论, 方法不够简洁, 用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力. 5.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定 理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系, 如果一个三角形两边 的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角; 如果小于 第三边的平方, 那么第三边所对的角是钝角; 如果大于第三边的平方, 那么第三边所对的角是锐角. 从上可知, 余弦定理是勾股定理的推广.

二、 学数学的最终目的是应用数学. 能把实际问题抽象成数学问 题, 把所学的数学知识应用到实际问题中去, 通过观察、 分析、 归纳、 类比、 抽象、 概括、 猜想等发现问题, 确定解决问题的科学思维方法, 学会把数学知识应用于实际. 1.正弦定理可建立边角关系,角的正弦越大所对的边就越长. 2. 由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解. 一 般地,解三角形时,只有当 A 为锐角且 bsin A<a<b 时,有两解; 其他情况时则只有一解或无解. 3.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.

(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角. 4.把 a=ksin A,b=ksin B 代入已知等式可将边角关系全部转 化为三角函数关系. 5.余弦定理是三角形边角之间的共同规律,勾股定理是余弦定 理的特例. 6.余弦定理的应用范围是:①已知三边,求三角;②已知两边 及一个内角,求第三边. 7.已知两边及其中一边所对的角用余弦定理时可能有两个解, 注意用三边特点取舍. 解决实际测量问题一般要充分理解题意, 正确作出图形, 从中抽 象出一个或几个三角形, 把实际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角,然后解三角形,得到实际问题的解. 8.解斜三角形应用题的一般步骤. (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集 中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型. (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数 学模型的解. (4)检验:检验上述所求的解是否有实际意义,从而得出实际问 题的解. 9.平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况: (1)A、B 两点都在河的两岸,一点可到达,另一点不可到达.方 法是可到达一侧再找一点进行测量. (2)A、B 两点都在河的对岸(不可到达).方法是在可到达一侧找 两点进行测量. (3)A、B 两点不可到达(如隔着一座山或建筑).方法是找一点可 同时到达 A、B 两点进行测量.

10. 利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时, 要学会审题及根 据题意画方位图, 要懂得从所给的背景资料中进行加工、 抽取主要因 素,进行适当的简化. 11.测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点,分别 测量仰角或俯角, 同时测量出两个观测点的距离, 再利用解三角形的 方法进行计算. 12.求三角形的面积的问题,先观察已知什么,尚缺什么,用正 弦定理、余弦定理求出需要的元素,就可以求出三角形的面积. 13.利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程 组是解决复杂问题的常见思路, 将方程化为只含边的式子或只含角的 三角函数式,然后化简并考察边或角的关系. 14. 许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决, 甚至可以两 者兼用,当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式. 15.本章问题的高考要求不高,学习时要立足基本问题,熟练掌 握测量的一般技巧, 正确使用定理列方程求解, 无须过多延伸与拓广.

题型 1 利用正、余弦定理解三角形 解三角形就是已知三角形中的三个独立元素 (至少一条边)求出 其他元素的过程,三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素 (中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径),解三角形通常是 指求未知的元素,有时也求三角形的面积. 解斜三角形包括四种类型:(1)已知三角形的两角和一边(一般先 用内角和求角或用正弦定理求边); (2)已知两边及夹角(一般先用余弦 定理求第三边);(3)已知三边(先用余弦定理求角);(4)已知两边和一 边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边, 注意讨论解的个数). 7 在△ABC 中,c=4,b=7,BC 边上的中线 AD 长为 , 2 求 a. 解析:如图,设 CD=DB=x,

在△ACD 中,cos C=

, 2×7×x 72+?2x?2-42 在△ACB 中,cos C= , 2×7×2x ?7? 72+x2-?2?2 72+?2x?2-42 ? ? 所以 = . 2×7×x 2×7×2x 9 解得 x= . 2 9 所以 a=2x=2× =9. 2

?7? 72+x2-?2?2 ? ?

如图,四边形 ABCD 中,B=C=120° ,AB=4,BC=CD=2, 则该四边形的面积等于________. 解析:由余弦定理得 BD2=22+22-2×2×2cos 120° =12, ∴BD=2 3. ∵BC=CD=2,C=120° , ∴∠CBD=30° ,∴∠ABD=90° , ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD 1 1 = ×4×2 3sin 90° + ×2×2×sin 120° =5 3. 2 2 答案:5 3

题型 2 利用正、余弦定理判定三角形的形状 判定三角形形状通常有两种途径: 一是通过正弦定理和余弦定理 2 2 2 化边为角,如 a=2Rsin A,a +b -c =2abcos C 等,再利用三角变 换得出三角形内角之间的关系进行判断, 此时注意一些常见的三角等 式所体现的内角关系, 如 sin A=sin B?A=B, sin(A-B)=0?A=B, π sin 2A=sin 2B?A=B 或 A+B= 等;二是利用正弦定理、余弦定理 2 b2+c2-a2 a 化角为边,如 sin A= ,cos A= 等,通过代数恒等变换, 2R 2bc 求出三条边之间的关系进行判断. 在△ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ABC 的形 状. 解析:解法一:由正弦定理可得 2sin B=sin A+sin C, ∵B=60° ,∴A+C=120° ,A=120° -C, 将其代入上式,得 2sin 60° =sin(120° -C)+sin C, 3 1 展开整理,得 sin C+ cos C=1, 2 2 ∴sin(C+30° )=1,∴C+30° =90° . ∴C=60° ,故 A=60° , ∴△ABC 是正三角形. 解法二:由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B, a+c ∵B=60° ,b= , 2 ?a+c?2 ? =a2+c2-2accos 60° ∴? . 2 ? ? ∴(a-c)2=0,∴a=c, ∴a=b=c,∴△ABC 为正三角形. 题型 3 三角形解的个数的确定 a b (1)利用正弦定理讨论: 若已知 a, b, A, 由正弦定理 = , sin A sin B bsin A 得 sin B= a .若 sin B>1,则无解;若 sin B=1,则有一解;若 sin B<1,则可能有两解. (2)利用余弦定理讨论:已知 a,b,A,由余弦定理 a2=c2+b2

-2cbcos A,即 c2-(2bcos A)c+b2-a2=0.若方程无解或无正数解, 则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有一解;若方程有两 个不同正数解,则三角形有两解. 在△ABC 中,若 a=2 3,A=30° ,则 b 为何值时,三角 形有一解,两解,无解? a b = 得: sin A sin B ①当 bsin A<a<b 时,有两解,此时 2 3<b<4 3; ②当 a≥b 时或 B 为 90° (b 为斜边)时,有一解,此时 b≤2 3或 b = 4 3; ③当 a<bsin A 时无解,此时 b>4 3. 解析:由正弦定理

题型 4 正、余弦定理在实际问题中的应用

如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B, C 三点进行测量, 已知 AB=50 m, BC=120 m, 于 A 处测得水深 AD =80 m, 于 B 处测得水深 BE=200 m, 于 C 处测得水深 CF=110 m, 求∠DEF 的余弦值. 解析:如下图,作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M,

DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298, DE= DN2+EN2= 502+1202=130, EF= ?BE-FC?2+BC2= 902+1202=150.

在△DEF 中,由余弦定理得: DE2+EF2-DF2 cos∠DEF= 2DE×EF 1302+1502-102×298 16 = = . 65 2×130×150


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