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东三校2013年高三第二次联合模拟考试文数


2013 年三省三校第二次联合考试 文科数学答案
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.B 7.C 2.D 8.C 3.A 9.D 4.C 10.B 5.B 11.A 6.A 12.B

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. [0,4] 14.
5 3

15. 7

16.

1 2

三.解答题 17.(本小题满分 12 分)

? ? 解: (Ⅰ)由条件, f ( x) ? sin(2( x ? )) ? sin(2 x ? ) 6 3
所以, 函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)由 f ( A) ?
2? ?? 2

??2 分 ??4 分

? ? 7? ? 2? ? ? 3 3 ,? 2 A ? ? ,? A ? ??8 分 得 sin(2 A ? ) ? ,? ? 2 A ? ? 3 3 3 3 3 6 3 2 2
2 sin

?

a c ? ,? sin A sinC

?
6

?

1 2 ? 14 , ? a ? c,?C ? ,?cosC ? , , ?sinC ? sinC 4 2 4

??10 分

?sinB ? sin( ? A ? C) ? sin A cosC ? cos AsinC ? ?

1 14 3 2 14 ? 6 ? ? ? ? 2 4 2 4 8

??12 分

18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ 1000 ? 5% ? 50 ,由甲图知,甲组有 4 ? 10 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 30 (人) , ∴乙组有 20 人. 又∵ 40 ? 60% ? 24 ,∴甲组有 1 人、乙组有 (0.0625 ? 0.0375) ? 4 ? 20 ? 8 人符合要求,

(1 ? 8) ? 5% ? 180 (人) ,即估计 1000 名学生中保持率大于等于 60%的人数为 180 人.??4 分
(Ⅱ)乙组准确回忆音节数在 [8,12) 范围内的学生有 0.0125? 4 ? 20=1 人,记为 a , [12,16) 范围内的 学生有 0.025? 4 ? 20 ? 2 人,记为 A, B , [16,20) 范围内的学生有 2 人,记为 C, D

从这五人中随机选两人,共有 10 种等可能的结果:
(a, A), (a, B), (a, C ), (a, D), ( A, B), ( A, C ), ( A, D), ( B, C ), ( B, D), (C , D)

记“两人均能准确记忆 12 个(含 12 个)以上”为事件 E , 则事件 E 包括 6 种可能结果:
( A, B ), ( A, C ), ( A, D ), ( B, C ), ( B, D ), (C , D )

故 P( E ) ?

6 3 3 ? ,即两人均准确回忆 12 个(含 12 个)以上的概率为 10 5 5

??10 分

(Ⅲ)甲组学生准确回忆音节数共有: 2 ? 4 ? 6 ?10 ? 10? 8 ? 14? 4 ? 18? 2 ? 22?1 ? 26?1 ? 288个 故甲组学生的平均保持率为
1 288 1 ? ? ? 9.6 ? 24% 40 30 40

乙组学生准确回忆音节数共有:
(6 ? 0.0125? 10 ? 0.0125? 14 ? 0.025 ? 18 ? 0.025 ? 22 ? 0.075 ? 26 ? 0.0625? 30 ? 0.0375 ? 4 ? 432 )

故乙组学生平均保持率为

1 432 1 ? ? ? 21.6 ? 54% ? 24% 40 20 40

所以从本次实验结果来看,乙组临睡前背单词记忆效果更好. ??12 分 (回答 21.6 ? 9.6 等,也可给分)

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? AE ? BE, MP // BE ? MP ? AE ??2 分
E P A N B M

又? BC ? 平面 ABE , AE ? 平面 ABE ,? BC ? AE

? N 为 DE 的中点, P 为 AE 的中点,? NP // AD ,
? AD // BC ,? NP // BC , ? NP ? AE ,
又? NP ? MP ? P, NP, MP ? 平面 PMN ??4 分
D

C

? AE ? 平面MNP,? MN ? 平面MNP,? AE ? MN
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 MP ? AE ,且 MP ?
1 1 BE ? 2 2

??6 分

? AD // BC,? AD ? 平面ABE , ? MP ? 平面 ABE , ? AD ? MP ,
? AD ? AE ? A, AD, AE ? 平面ADNP , ?MP ? 平面 ADNP

??8 分

? AD // BC,? AD ? 平面ABE , ? AD ? AP ,

又 ? NP // AD , ?四边形ADNP 为直角梯形
1 3 ( ? 1) ? 2 ? 3 3 , MP ? 1 , ? 2 2 8 2

??10 分

? S 梯ADNP

1 1 3 3 1 3 ? 四棱锥 M ? ADNP的体积 V ? S ADNP ? MP ? ? ? ? 3 3 8 2 16

??12 分

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)不妨设 F (?c,0), F2 (c,0), B1 (0, b), | B1F1 ? B1 F1 | ? 2b ? 2,?b ? 1 1 ??1 分

???? ????? ? B1F1 ? B1F2 ? ?c2 ? b2 ? ?2?c ? 3,?a ? 2
所以椭圆方程为

??3 分

x2 ? y2 ? 1 4

??4 分

(Ⅱ)①当直线 l1 与 x 轴重合时, 设 A(?2,0), B(2,0), C (1,

??? ??? ? ? 3 3 15 3 3 ? ? ), D(1,? ) 则 AC ? DB ? 3 ?1 ? 2 2 4 2 2 ,

??5 分

②当直线 l1 不与 x 轴重合时,设其方程为 x ? m y ? 1 ,设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由?

? x ? my?1 ? 2m ?3 得 (m 2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? 2 2 2 m ?4 m ?4 ?x ? 4 y ? 4

??6 分

? AC ? DB ? ( MC ? MA) ? ( MB ? MD) ? ?MC ? MD ? MA? MB
MA ? ( x1 ? 1, y1 ) ? (my1 , y1 ), MB ? ( x2 ? 1, y2 ) ? (my2 , y2 )

? ? MA ? MB ? ?(m ? 1) y1 y 2 ?
2

3(m 2 ? 1) m2 ? 4

由 l 2 与 l1 垂直知: ? MC ? MD ?
? AC ? DB ? ? MC ? MD ? MA? MB ? 3( m 2 ? 1) m ?4
2

3(1 ? m 2 ) 1 ? 4m 2

?

3(1 ? m 2 ) 1 ? 4m
2

?

15( m 2 ? 1) 2 ( m ? 4)(1 ? 4m )
2 2

??10 分

?

15(m 2 ? 1) 2 ? 5m 2 ? 5 ? ? ? ? 2 ? ? ?
2

?

12 5

当且仅当 m ? ?1 取到“=”. 综合①②, ( AC ? DB) min ?

???? ??? ?

12 5

??12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? a ?
1? a x2 , g ' ( x) ? 1 x
1? a x0
2

由题设知 x 0 ? 0 ,且 f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ,即 a ?

?

1 , x0

??2 分

? ax0 2 ? x0 ? 1 ? a ? 0,? a ( x0 2 ? 1) ? (1 ? x0 ) ? 0

? x 2 ? 1 ? 0, ? 因为上式对任意实数 a 恒成立,? ? 0 ? 1 ? x 0 ? 0. ?

??4 分

故,所求 x 0 ? 1

??5 分

a ?1 ? ln x ? 1 , (Ⅱ) f ( x ) ? g ( x ) ? 1 即 ax ? x

方法一:在 x ? (0, ??) 时 ax ?

a ?1 ? ln x ? 1 恒成立,则在 x ? 1 处必成立,即 a ? a ?1 ? 0 ? 1 , x

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的必要条件. 另一方面,当 a ? 1 时,记 h( x) ? ax ?
h' ( x ) ? a ? 1? a x2 ?

??7 分

a ?1 ? ln x, 则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 x

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ( ax ? a ? 1)( x ? 1) ? ? x x2 x2

??9 分

? a ? 1, x ? 0,? ax ? a ? 1 ? 0

? x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 , h(x ) 单调递减; x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 , h(x ) 单调递增
? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1

? a ? 1 , ?2a ?1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的充分条件. 综上,实数 a 的取值范围是 ?1,?? ? ??12 分

??11 分

方法二:记 h( x) ? ax ?
1? a x2

a ?1 ? ln x, 则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 x
1 a ( x ? 1 ? )( x ? 1) a ( x ? 0, a ? 0) x2

h' ( x ) ? a ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ? ? ? x x2

??7 分

① 若0 ? a ?

1 1 , ? 1 ? ? 1 , x ? (0,1) 时, h' ( x ) ? 0 , h(x ) 单调递增, h( x ) ? h(1) ? 2a ? 1 ? 0 , 2 a
??8 分

这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾; ② 若

1 ? a ? 1 , 0 ? ?1 ? 1 ? 1 , (1,??) 上 h' ( x ) ? 0, h( x ) 递增,而 h(1) ? 2a ? 1 ? 1 , 2 a

这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾;??9 分 ③若 a ? 1 , ? 1 ? 调递增
? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

1 ? 0 , ? x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 , h(x ) 单调递减; x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 , h(x ) 单 a

??11 分

综上,实数 a 的取值范围是 ?1,?? ?

??12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BE. ∵BC 为⊙O 的切线 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ABC=90° ∴∠AEB=90° ……2 分

∴∠DBE+∠OBE=90° ,∠AEO+∠OEB=90° ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB ∴∠DBE=∠AEO ∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE, ……4 分

∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE , ∴

CE CD ? CB CE

∴CE =CD·CB

2

……6 分 ……8 分 ……10 分

(Ⅱ)∵OB=1,BC=2 ,∴OC= 5 , ∴CE=OC-OE= 5 -1 由(Ⅰ)CE
2

=CD?CB 得( 5 -1) =2CD,∴CD=3- 5

2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解:(Ⅰ)直线 l : 2 ? cos(? ?

?
6

) ? 3 ,即 3? cos? ? ? sin ? ? 3 ,

? 直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,
? 点 P(0,

3) 在直线 l 上.

??5 分

1 ? ? x ? ? 2 t, x2 y 2 ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的直角坐标方程为 ? ?1 5 15 ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 有 3(? t ) ? ( 3 ?
2

1 2

3 2 t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 , ? ? 36 ? 0 ,设方程的两根为 t1 , t2 , 2
??10 分

? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)原不等式等价于 2x ? 7 ? 1 ? x ? 1 当 x ? 1 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ?( x ? 1) ,解得 x ? 7 ? x 不存在; 当1 ? x ? 当x ?

7 7 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 3 ? 3 ? x ? 2 2;

7 7 时, (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 5 ? ? x ? 5 . 2 2
??5 分

综上,不等式的解集为 ?3,5?

(Ⅱ) 方法一:由函数 y ? f (x ) 与函数 y ? ax 的图象可知, 当且仅当 a ?

2 或a ? ?2 时,函数 y ? f (x ) 与函数 y ? ax 的图象有交点, 7
??10 分

2 故存在 x 使不等式 f ( x) ? ax 成立时, a 的取值范围是 ( ??,?2) ? [ ,??) 7

方法二: f ( x) ? ax 即 2x ? 7 ? 1 ? ax (ⅰ)当 x ?



7 , (a ? 2) x ? 6 ? 0能成立, 2

7 若 a ? 2 ? 0 ,则 (a ? 2) x ? 6 ? (a ? 2) ? 6 ? 6 ? 0 ,?a ? 2 满足条件; 2

若 a ? 2 ? 0 ,则 (a ? 2) x ? 6 ?

7 2 7 (a ? 2) ? 6 ,由 (a ? 2) ? 6 ? 0 解得: ? a ? 2 . 2 2 7

?a ?

2 7

??7 分

(ⅱ)当 x ?

7 时, (a ? 2) x ? 8 ? 0能成立, 2
8 时就有 (a ? 2) x ? 8 ? 0 , ?a ? ?2 满足条件; a?2

若 a ? 2 ? 0 ,则在 x ?

若 a ? 2 ? 0 ,则 ( a ? 2) x ? 8 ? ?8 ? 0 ,?a ? ?2 不满足条件;
7 2 7 若 a ? 2 ? 0 ,则 (a ? 2) x ? 8 ? (a ? 2) ? 8 由 (a ? 2) ? 8 ? 0 ,解得 a ? . 2 2 7 ,

?a ?

2 或a ? ?2 . ??9 分 7 2 综上, a ? 或a ? ?2 . 7
2 即 a 的取值范围是 ( ??,?2) ? [ ,??) 7

??10 分


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