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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)6.5归纳与类比课件 新人教A版


[知识能否忆起]

? ?定义:根据一类事物中部分事物具有某种属 ? ? ?归纳?性,推断该类事物中 每一个事物 都有 ? ? ?推理?这种属性的推理. ? ? ?特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理. ? 1.合情推理? ? ?定义:由两类对象具有某些类似特征和其中 ? ? ?类比?一类对象的其他特征,推出另一类对 ?推理? 象也具有 类似的其他特征 的推理. ? ? ?特点:类比推理是两类事物特征之间 的推理. ? ? ?

①大前提——已知的 一般性道理 ; ? ? ? ? ?模式:三段论?②小前提——所研究对象的 特殊情况 ; 2.演绎推理? ? ?③结论——根据大前提和小前提作出的判断. ? ? ?特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数,整 数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推 理错误的原因是 A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 ( )

D.使用了“三段论”,但小前提错误
解析:由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的.

答案:C

2.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于 A.28 C.33 B.32 D.27

(

)

解析:由5-2=3,11-5=6,20-11=9.
则x-20=12,因此x=32. 答案:B

3.(教材习题改编)给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α +β)=sin αsin β;

③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=
a2+2a· b+b2. 其中结论正确的个数是 A.0 C.2 解析:只有③正确. B.1 D.3 答案:B ( )

4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它

们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面
体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________. 1 Sh V1 3 1 1 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =?S ?· = × = . V2 1 ? 2 ? h2 4 2 8 Sh 3 2 2 答案:1∶8

5.(2012· 陕西高考)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个不等式为___________________.

解析:观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒 1 1 数和, 右边为项数的 2 倍减 1 的差除以项数, 即 1+ 2+ 2+ 2 3 1 1 1 2n-1 * ( n ∈ N ,n≥2), 2+ 2+?+ 2< n 4 5 n 1 1 1 1 1 11 所以第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理,合情推
理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用.合情 推理的结论可能为真,也可能为假,结论的正确性有待 于进一步的证明. 2.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大

前提,什么是小前提,如果大前提、小前提与推理形式
是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管 推理形式是正确的,所得结论也是错误的.

归纳推理

[例 1]

x (2012· 河南调研)已知函数 f(x)= (x>0).如 x+2

下 定 义 一 列 函 数 : f1(x) = f(x) , f2(x) = f(f1(x)) , f3(x) = f(f2(x)),?,fn(x)=f(fn-1(x)),?,n∈N*,那么由归纳推理 可得函数 fn(x)的解析式是 fn(x)=________.

[自主解答]

x 依题意得,f1(x)= , x+2

x x+2 x x f2(x)= x = = 2 2, 3x+4 ?2 -1?x+2 +2 x+2 x 3x+4 x x f3(x)= x = = ,?,由此归 7x+8 ?23-1?x+23 +2 3x+4 x 纳可得 fn(x)= n (x>0). ?2 -1?x+2n x [答案] (x>0) ?2n-1?x+2n

1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由
归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. 2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于 观察、经验或试验的基础之上的. [注意] 归纳推理所得结论未必正确,有待进一步

证明,但对数学结论和科学的发现很有用.

1.(2012· 枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列,则 第21行从左向右的第5个数为
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 ? ? ?

(

)

31

A.809
C.786

B.852
D.893

解析:前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个, 则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这 个数是2×405-1=809. 答案: A

类比推理

[例 2] 在平面几何里, 有“若△ABC 的三边长分别为 1 a,b,c 内切圆半径为 r,则三角形面积为 S△ABC= (a+b 2 +c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r, 则四面体的体积为________________”.

[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积, 三 角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类 1 1 比为内切球的半径.二维图形中 类比为三维图形中的 , 2 3 1 得 V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)r. 3 1 [答案] V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)r 3

1.类比推理是由特殊到特殊的推理,命题有其特 点和求解规律,可以从以下几个方面考虑类比:类比 定义、类比性质、类比方法、类比结构. 2.类比推理的一般步骤:

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确的命题(猜想).

2.在△ABC 中,角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 的面积所 S△AEC AC 成的比例为 = .将这个结论类比到空间: 在三棱锥 S△BEC BC A-BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 交于点 E,则类比的结论为________.

解析:此类问题由平面类比到空间,则可由面积类比体积, S△AEC AC VA-CDE S△ACD 由长度类比面积,由 = ,类比得 = . S△BEC BC VB-CDE S△BDC
VA-CDE S△ACD 答案: = VB-CDE S△BDC

演绎推理

[例 3]

数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1

n+2 = Sn(n∈N*).证明: n ?Sn? (1)数列? ?是等比数列; ?n?

(2)Sn+1=4an.

[自主解答 ]

n+ 2 (1)∵ an+1=Sn+1- Sn,an+ 1= S, n n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+ 1 Sn 故 = 2· , (小前提) n n+ 1
? Sn ? 故? ?是以 ?n ?

2 为公比,1 为首项的等比数列. (结论 )

(大前提是等比数列的定义,这里省略了 )

Sn+ 1 Sn- 1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn- 1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1=4an(n≥2). (小前 n-1 n-1 提) 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论)

演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三 段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大 前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.

3.如图所示,D,E,F分别是BC, CA,AB上的点,∠BFD=∠A,

且DE∥BA.求证:ED=AF(要求
注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终 把推理过程用简略的形式表示出来). 证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)

∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)
所以DF∥EA.(结论)

(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)

DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等, (大前提 ) ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提 ) 所以 ED= AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠ BFD=∠ A? DF∥ EA? ? DE∥ BA ? ED= AF.
??四边形 ? ?

AFDE 是平行四边形

类比是数学中发现概念、定理、公式的重要手段,

也是开拓新领域、创造新分支的重要手段,类比在数学
中应用广泛,数与式、平面与空间、一元与多元、低次 与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论,都 是先用类比法猜想,而后加以证明的.

[典例 ]

(2012· 陕西师大附中模拟 )若数列 {an}是等差数 +?+an? ? ?也为等差数列.类比这 n ?

? a1+a2 ? 列,则数列{bn}?bn= ?

一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列, 且{dn}也是等比数 列,则 dn 的表达式应为
c1+c2+?+cn A.dn= n n cn+cn+?+cn 1 2 n C.dn= n

(
c1· c2· ?· cn B.dn= n

)

D.dn= c1· c2· ?· cn

n

[解析] n?n-1? d, 2

若{an}是等差数列,则 a1+a2+?+an=na1+

?n-1? d d ∴bn=a1+ d= n+a1- ,即{bn}为等差数列;若 2 2 2 {cn}是等比数列, 则 n
n 1+2+?+(n-1) n n?n-1? c1· c2· ?· cn=c1 · q =c1 · q ,

2

n- 1 ∴dn= c1· c2· ?· cn=c1· q ,即{dn}为等比数列. 2 [答案] D

[题后悟道]

1.解决此类问题的方法是从我们已经掌

握的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征,以 旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能.进

行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的
类似特征. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理,在类比时要善 于观察、分析、比较,又敢于联想,从而提高解题能 力.

?针对训练
(2013· 长春市调研)类比“两角和与差的正弦公式”的

形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+
a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是( )

①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)C(y) -C(x)S(y);③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)· S(y);④2S(x-y) =S(x)C(y)-C(x)S(y).

A.①②
C.①④

B.③④
D.②③

解析:经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x +y)=2(ax+y-a-x-y),又S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a
-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有

2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).综上所述,选B. 答案: B

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57= 78 125,…,则52 011的末四位数字为( A.3 125 B.5 625 )

C.0 625

D.8 125

解析:∵55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,

59=1 953 125,510=9 765 625,…
∴5n(n∈Z,且n≥5)的末四位数字呈周期性变化,且最小 正周期为4,记5n(n∈Z,且n≥5)的末四位数字为f(n), 则 f(2 011)=f(501×4+7)=f(7).

∴52 011与57的末四位数字相同,均为8 125.
答案:D

2.(2012· 江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整 数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)

的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为
12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 ( A.76 C.86 B.80 D.92 )

解析:由特殊到一般,先分别计算|x|+|y|的值为1,2,3

时,对应的(x,y)的不同整数解的个数,再猜想|x|+
|y|=n时,对应的不同整数解的个数.通过观察可以 发现|x|+|y|的值为1,2,3时,对应的(x,y)的不同整数 解的个数为4,8,12,可推出当|x|+|y|=n时,对应的不 同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同

整数解(x,y)的个数为80.
答案: B

3.(2012· 豫东、豫北名校测试)已知如下等式: 1 2 2 3-4= (3 -4 ), 7 1 3 3 3 -3×4+4 = (3 +4 ), 7
2 2

1 4 3 -3 ×4+3×4 -4 = (3 -44), 7
3 2 2 3

1 5 5 3 -3 ×4+3 ×4 -3×4 +4 = (3 +4 ), 7
4 3 2 2 3 4

则由上述等式可归纳得到 3n-3n-1×4+3n-2×42-? +(-1)n4n=________(n∈N*).

解析: 依题意及不完全归纳法得, 3n-3n-1×4+3n-2×42-? 1 n+1 + +(-1) 4 = [3 -(-4)n 1]. 7 1 n+1 答案: [3 -(-4)n+1] 7
n n

4.在平面几何中,研究正三角形内任一点与三边的关系时, 我们有真命题: 边长为 a 的正三角形内任一点到各边的距 3 离之和是定值 a.类比上述命题, 请你写出关于正四面体 2 内任一点与四个面的关系的一个真命题, 并给出简要的证 明.

解:类比所得的真命题是:棱长为 a 的正四面体内任一点 6 到四个面的距离之和是定值 a. 3 证明: 设 M 是正四面体 P-ABC 内任一点, M 到面 ABC, 面 PAB,面 PAC,面 PBC 的距离分别为 d1,d2,d3,d4.

由于正四面体四个面的面积相等,故有: VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC 1 = · S · (d +d2+d3+d4). 3 △ABC 1 而 S△ABC= 3 2 2 a ,VP-ABC= a3. 4 12

6 故 d1+d2+d3+d4= a(定值). 3



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