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河北省衡水中学2013~2014学年度上学期期中考试高三年级数学试卷


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2013~2014 学年度上学期期中考试 高三年级数学(理科)试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60

分,在四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2,0), b ? 1, 则 a ? 2b ? ( (A) 3 (B) 2 3 (C)4 (D)12 )

2 2.若集合 A ? x x ? 5 x ? 4<0 ; B ? x x ? a <1 , 则“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的(

?

?

?

?



(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 3.已知平面向量 m, n 的夹角为

(D)既不充分也不必要条件

uur u u r r ? , 且 m ? 3, n ? 2 ,在 ?ABC 中, AB ? 2m ? 2n , 6 uuu r uuu r u r r ) AC ? 2m ? 6n , D 为 BC 中点,则 AD ? (
6

u r r

2 4

A.2

B.4

C.6

D.8
正视图 侧 视 图 4 5 俯视图

4.某几何体的三视图如右图(其中侧视图中的圆弧是半圆) , 则该几何体的表面积为( )

π (A) 92 ? 14 π (C) 92 ? 24

π (B) 82 ? 14 π (D) 82 ? 24

5.已知等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? a10 ? 0, a11 ? a4 ? 4 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,S13=( A.78 6.已知双曲线 B.68 C.56 D.52

)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 | F1F2 | 为直径的圆与双曲线 a 2 b2


渐近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 16 9

x2 y 2 ? ?1 B. 3 4

x2 y 2 ? ?1 C. 9 16

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3

7. 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 a sin B ? b cos A ,则 2 sin B ? cos C 的最大 -1-

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值是( A. 1

) B.

3

C.

7

D. 2 7

8.若函数 f ( x) ? ? 是( (A)4 )

1 ax e (a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,则 a ? b 的最大值 b

(B) 2 2

(C)2

(D) 2

x2 y 2 9. 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中 , F1 , F2 分 别 是 其 左 右 焦 点 , 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P 使 得 a b

PF1 ? 2 PF2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(
A. ? ,1?

)

?1 ? ?3 ?

B. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? 3?

D. ? 0, ? 3

? ?

1? ?

10.已知 A、B、C 是球 O 的球面上三点,三棱锥 O﹣ABC 的高为 2 O 的表面积为( A. 24? ) C. 48? D. 192?

且∠ABC=60°,AB=2,BC=4,则球

B. 32?

11. 已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , ?1≤x<1 时,f ( x) ? x3 , 当 若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则 a 取值范围是( )

( ( ( ? ( , ] ? 5, 7) ( (A) 0, ]? 5, ??) (B) 0, ) [5, ??) (C)

1 5

1 5

1 1 7 5

( , ) [5, 7) ? (D)

1 1 7 5

12.对于定义域为 D 的函数 y ? f ? x ? 和常数 c ,若对任意正实数 ? , ?x ? D, 使得 0 ?| f ( x) ? c |? ? 恒 成立,则称函数 y ? f ? x ? 为“敛 c 函数” .现给出如下函数: ① f ? x? ? x ? x ? Z ? ; ② f ? x? ? ? 其中为“敛 1 函数”的有 A.①② B.③④ C. ②③④ D.①②③

x ?1 ?1? . ? ? 1? x ? Z ? ;③ f ? x ? ? log 2 x ; ④ f ? x ? ? x ?2?

x

Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置) -2-

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13. 过 点 (? 1, 1) 直 线 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ?11 ? 0 截 得 的 弦 长 为 4 3 , 则 该 直 线 的 方 程 的 为 。

14 已知动圆的圆心 C 在抛物线 x2=2py(p>0)上,该圆经过点 A(0,p) ,且与 x 轴交于两点 M、N, 则 sin∠ MCN 的最大值为 .

15.如果直线 2ax ? by ? 14 ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 和函数 f ? x ? ? mx?1 ?1? m ? 0, m ? 1? 的图象恒过同一 个定点,且该定点始终落在圆 ? x ? a ? 1? ? ? y ? b ? 2 ? ? 25 的内部或圆上,那么
2 2

b 的取值范围 a

_____________. 16.已知函数错误!未找到引用源。定义在 R 上的奇函数,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到 引用源。,给出下列命题: ①当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 个零点 ③错误!未找到引用源。的解集为错误!未找到引用源。 未找到引用源。 其中正确的命题是 三、解答题(共 7 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17.如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 的大小等于 行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P. (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的长; (2)设 ?COP ? ? ,求 ?POC 面积的最大值及此时 ? 的值。 ④错误!未找到引用源。,都有错误! ②函数错误!未找到引用源。有 2

? ,半径为 2,在半径 OA 上有一动点 C,过点 C 作平 3

18. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1的等差中项,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 . -3-

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(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? . 3 2 bn bn ?1

19. (12 分)如图,四边形 PCBM 是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又 AC=1,∠ACB=120°, AB⊥PC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (1)求证:PC⊥AC; (2)求二面角 M﹣AC﹣B 的余弦值; (3)求点 B 到平面 MAC 的距离.

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20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,且 ? 2 ? 1(a>b≥1) 的离心率 e ? 2 2 a b

椭圆 C 上一点 N 到点 (0,) Q 3 的距离最大值为 4,过点 M 3,0) 的直线交椭圆 C 于点 A、B. ( (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点) ,当 AB < 3 时,求实数

t 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=alnx+ (I)求实数 a 的取值范围;

(a≠0)在(0, )内有极值.

(II)若 x1∈(0, ) 2∈(2,+∞)且 a∈[ ,2]时,求证:f(x2)﹣f(x1)≥ln2+ . ,x

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请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意:只能做所选定题目。如果多做,则按所做的第一个题 目计分。 22. 如图,已知⊙O 的半径为 1,MN 是⊙O 的直径,过 M 点作⊙O 的切线 AM,C 是 AM 的中点,AN 交⊙O 于 B 点,若四边形 BCON 是平行四边形. (Ⅰ)求 AM 的长; (Ⅱ)求 sin∠ANC.

23.已知函数 f ( x ) ?| x ? a | 。 (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a, m 的值。 (2)当 a ? 2 且 t ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? t ? f ( x ? 2t ) 。

2013~2014 学年度上学期期中考试
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高三年级数学(理科)答案
一、选择题 BAAAD CADBC AC

11. 由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 2) , 因 此 f ( x) ? f ( x 2 ) 函 数 周 期 为 2. 因 函 数 ? ,

g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,可转化成 y ? f ( x) 与 h( x) ? loga | x | 两函数图象交点至少有 6
个 , 需 对 底 数 a 进 行 分 类 讨 论 . 当 a ? 1 时 : 得 h( 5)? log ? , 即 a ? 5 . 当 0 ? a ? 1 时 : 得 5 1 a

h(? 5) ? log 5 ? ,即 0 ? a ? ? 1 a

1 1 ( ( .所以 a 取值范围是 0, ]? 5, ??) . 5 5

12. ① f ? x ? ? x ? x ? Z ? ;由于函数递增,那么不会存在一个正数 ? ,满足不等式。

?1? ② f ? x ? ? ? ? ? 1? x ? Z ? ;当 x>0,c=2,那么存在 x,满足题意,成立。 ?2?
③ f ? x ? ? log 2 x ;对于 1<x<2,令 c=1,,时符号题意。 ④ f ? x? ?

x

1 x ?1 .=1- ,x>1,c=3,则可知满足题意。故选 C. x x

二、填空题 13、 x ? ?1或3x ? 4 y ? 1 ? 0 14、1 15、 ? , ? 4 3

?3 4? ? ?
-7-

16. ③④

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14. 由题意,设 C(x0,y0) ,则⊙ 的方程(x﹣x0) +(y﹣y0) =x0 +(y0﹣p) . C 把 y=0 和 x0 =2py0 代入整理得 x ﹣2x0x+x0 +p =0. 设 M、N 的横坐标分别为 x1、x2,则 x1=x0﹣p,x2=x0+p.∴ |MN|=|x1﹣x2|=2p. ∵ |CM|=|CN|= =
2 2 2 2

2

2

2

2



=1﹣

∴ ﹣1≤cos∠ MCN<1,

∵ 0<∠ MCN<π∴ 0<sin∠ MCN≤1, ∴ MCN 的最大值为 1 故答案为:1 sin∠ 16. 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,故 f (?x) ? e ? x (?x ? 1) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) ? ?e? x (? x ? 1) ,故①错;因为

? ? , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 f ( x) 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 f ( 0 )? 0, 又 x ? 0,时 f ( 1) 0 x ? 0时, (1) ? 0 ,故 f ( x) 有 3 个零点,②错;当 x ? 0 时,令 f ( x) ? e x ( x ? 1) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 0 , f
当 x ? 0 时,令 f ( x) ? ?e? x (? x ? 1) ? 0 解得 x ? 1 ,综上 f ( x) ? 0 的解集为 (?1, 0) ? (1, ??) ,③ 正确;当 x ? 0 时, f ?( x) ? ex ( x ? 2) , f ( x)

1 1 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? e? x (? x ? 2) , f ( x) 在 x ? 2 处取最大值为 2 ,由 2 e e 1 1 1 1 2 此可知函数 f ( x) 在定义域上的最小值为 ? 2 ,最大值为 2 ,而 2 ? ( ? 2 ) ? 2 ? 2 ,所以对任意的 e e e e e
在 x ? ?2 处取最小值为 ?

x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 ,④正确
三、解答题 17、

-8-

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18、 (1)∵ an 是 Sn 和 1的等差中项,∴ Sn ? 2an ?1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , ∴ an ? 2an?1 ,即

an ?2 an ?1

3分

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2n?1 , Sn ? 2n ? 1 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 (2) cn ? ∴ Tn ? 6分 5分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

7分

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
*

9分

∵ n ? N ,∴ Tn ?

1? 1 ? 1 ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2

10 分

Tn ? Tn?1 ?

n n ?1 1 ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
∴ Tn ? T1 ?

∴数列 {Tn } 是一个递增数列

1 . 3
-9-

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综上所述,

1 1 ? Tn ? 3 2

12 分

19、解:方法 1: (1)证明:∵PC⊥BC,PC⊥AB,∴PC⊥平面 ABC,∴PC⊥AC. 分) (2 (2)取 BC 的中点 N,连 MN.∵PM=∥CN,∴MN=∥PC,∴MN⊥平面 ABC. 作 NH⊥AC,交 AC 的延长线于 H,连接 MH. 由三垂线定理得 AC⊥MH,∴∠MHN 为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角. ∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°, ∴在 Rt△AMN 中,∠AMN=60°. 在△ACN 中, 在 Rt△AMN 中, 在 Rt△NCH 中, 在 Rt△MNH 中,∵ 故二面角 M﹣AC﹣B 的余弦值为 ,∴ . 分) (8 . . . .

(3)作 NE⊥MH 于 E.∵AC⊥平面 MNH,∴AC⊥NE,∴NE⊥平面 MAC, ∴点 N 到平面 MAC 的距离为 ∵点 N 是线段 BC 的中点, ∴点 B 到平面 MAC 的距离是点 N 到平面 MAC 的距离的两倍为 . (12 分) .

方法 2: (1)证明:∵PC⊥BC,PC⊥AB,∴PC⊥平面 ABC,∴PC⊥AC. 分) (2 (2)在平面 ABC 内,过 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示. 设P (0, z) 则 0, , . .





且 z>0,∴

,得 z=1,∴



设平面 MAC 的一个法向量为 =(x,y,1) ,则由

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平面 ABC 的一个法向量为





显然,二面角 M﹣AC﹣B 为锐二面角,∴二面角 M﹣AC﹣B 的余弦值为

. 分) (8

(3)点 B 到平面 MAC 的距离

. (12 分)

20、解析: (Ⅰ)∵ e ?
2

c 2 a 2 ? b2 3 ? ? , ∴ a2 ? 4b2 , 2 2 a a 4

(1 分)

则椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, 即 x2 ? 4 y 2 ? 4b2 . 4b 2 b 2

设 N ( x, y), 则

NQ ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 3)2 ? 4b 2 ? 4 y 2 ? ( y ? 3) 2
? ?3 y 2 ? 6 y ? 4b 2 ? 9 ? ?3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12
当 y ? ?1 时, NQ 有最大值为 4b2 ? 12 ? 4,
2 2 解得 b ? 1, ∴ a ? 4 ,椭圆方程是

x2 ? y2 ? 1 4

(4 分)

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y), AB 方程为 y ? k ( x ? 3),

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4

整理得 (1 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 4 ? 0 .
2 2 2 2

2 2 4 2 2 由 ? ? 24k k ?16(9k ?1)(1 ? 4k )>0 ,得 k < .

1 5

x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(6 分)

∴ OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y),

??? ??? ? ?

则 x ? ( x1 ? x2 ) ?

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )

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1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? . t t t (1 ? 4k 2 )
由点 P 在椭圆上,得 又由 AB ? 1 ? k

(24k 2 )2 144k 2 ? 2 ? 4, 化简得 36k 2 ? t 2 (1 ? 4k 2 ) ① (8 分) t 2 (1 ? 4k 2 )2 t (1 ? 4k 2 )2

2

x1 ? x2 < 3, 即 (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? <3, 将 x1 ? x2 , x1 x2 代入得 ? ?
化简,得 (8k 2 ?1)(16k 2 ? 13)>0,

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k 2 ) ? ? <3, (1 ? 4k 2 )2 1 ? 4k 2 ? ? ?
2 2 则 8k ? 1>0, k > ,

1 8

2 ∴ <k < ②

1 8

1 5

(10 分)

由①,得 t ?
2

36k 2 9 ? 9? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
(12 分) ,

联立②,解得 3<t 2<4, ∴ ?2<t<? 3 或 3<t<2. 21.解: (I)由 f(x)=alnx+ (a≠0) ,得:

∵a≠0,令

,∴g(0)=1>0.





, 则 0<a<2.

(II)由(I)得:



设 ax ﹣(2a+1)x+a=0(0<a<2)的两根为 α ,β , 则 ,得 . ,函数 f(x)单调递增; ,函数 f(x)单调递减,

2

当 x∈(0,α )和(β ,+∞)时, 当 x∈ 和(2,β )时,

则 f(x1)≤f(a) ,f(x2)≥f(β ) , 则 f(x2)﹣f(x1)≥f(β )﹣f(α )=alnβ ﹣alnα ﹣

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= 令

= ,x>2 则

(利用 ,



则函数 h(x)单调递增, h(x)≥h(2)=2ln2+ , ∴ ∵ ,则 , ,

∴f(x1)﹣f(x2)≥ln2+ . 22、 (Ⅰ)连接 BM ,则 ?MBN ? 90? , 因为四边形 BCON 是平行四边形, 所以 BC ∥ MN ,因为 AM 是 ? O 的切线,所以 MN ? AM ,可得 BC ? AM ,又因为 C 是 AM 的中点,所以 BM ? BA ,得

?NAM ? 45? ,故 AM ? 2 .
(Ⅱ)作 CE ? AN 于 E 点,则 CE ?

(5 分)

2 ,由(Ⅰ)可知 CN ? 5 , 2
(10 分)

故 sin ?ANC ?

CE 10 . ? NC 10

23.解: (Ⅰ)由|x﹣a|≤m 得 a﹣m≤x≤a+m, 所以 解之得 为所求. 4分

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 所以 f (x ) ? t ? f (x ? 2t ) ?| x ? 2 ? 2t | ? | x ? 2 |? t 当 t=0 时,不等式①恒成立,即 x∈R; 当 t>0 时,不等式

解得 x<2﹣2t 或

或 x∈?,即



综上,当 t=0 时,原不等式的解集为 R, 当 t>0 时,原不等式的解集为 . 10 分

- 13 -


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