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自动控制原理 第6章 控制系统的频域分析习题答案


第6章

控制系统的频域分析

6-2 画出下列传递函数在复平面上的频率响应特性(幅相特性)曲线的大致形状:


G(S ) ?

1 S (10 S ? 1)
Im? Re? 0?



G(S ) ?

2 ? (10 S ? 1)(5S ? 1)
Im?

解:⑴



2? 0?

Re?

6-4 已知下列负反馈系统的开环传递函数,试用奈奎斯特判据判别闭环系统是否 稳定: ⑴

GK (S ) ?

10 (1 ? 10S ) 3



GK (S ) ?

1 S (1 ? 5S )(1 ? 10S )

解:⑴系统的三个开环极点均为-0.1,故开环系统稳定。系统开环频率特性为:

G K ( j? ) ?

10 10 ? e ? j 3 arctan 10? ? M (? )e j? (? ) 3 2 3 (1 ? j10? ) ( 1 ? 100? )
Im?

其中:

10 ? ?M (? ) ? ? ( 1 ? 100? 2 ) 3 ? ? (? ) ? ?3 arctan 10? ?
‐1?

其幅相特性图如右图所示。 令 ? (? ) ? ?? 可解出: ? ? 3 / 10

10? 0? Re?

? 3? 10 ?? 此时: M ? ? 10 ? ( 31) 3 ? 0.0579 ? 1 ? ?
G K ( j? ) 曲线未包围 ?? 1, j 0 ? 点,闭环系统稳定。

⑵系统的三个开环极点分别为:0、-0.2 和-0.1,故开环系统稳定。 系统开环频率特性为:

G K ( j? ) ?

1 1 ? j ( ? ? arctan 5? ? arctan 10? ) ? e 2 j? (1 ? j 5? )(1 ? j10? ) ? 1 ? 25? 2 1 ? 100? 2 1 ? j? (1 ? 50? 2 ? j15? )
Im?

其幅相特性图如右图所示。 令 Im?G K ( j? )? ? 0 可解出: ? ?

1 50

?

1 5 2
Re? ‐1? 0?

10 ? 1 ? 此时: G K ? j ? ? ? ? ?1 3 ? 5 2?
G K ( j? ) 曲线顺时钟包围 ?? 1, j 0 ? 点两圈,

故闭环系统不稳定,有两个正根。

6-7 控制系统如图 6-25 所示,求出使系统闭环稳定的最小δ的取值。
r? ‐?

1

?

?

1 (10S ? 1) 4

y?

解:系统开环传递函数为: G K ( S ) ?

1 ? (10 S ? 1) 4

系统的四个开环极点均为-0.1,故开环系统稳定。系统开环频率特性为:

G K ( j? ) ?

1 1 ? e ? j 4 arctan 10? ? M (? )e j? (? ) 4 2 2 ? (1 ? j10? ) ? (1 ? 100? )

其中:

1 ? ?M (? ) ? ? (1 ? 100? 2 ) 2 ? ? ? ? (? ) ? ?4 arctan 10?

其幅相特性图如下图所示。

Im?

Re?

1 ? 4?

0?

1

?

令 ? (? ) ? ?? 可解出: ? ? 0.1(rad / s ) 此时: M ?0.1? ?

1 4?

令 M ?0.1? ?

1 ? 1 可得:δ=0.25 4?

当δ>0.25 时,M(0.1)<1, G K ( j? ) 曲线未包围 ?? 1, j 0 ? 点,闭环系统稳定; 当δ=0.25 时,M(0.1)=1, G K ( j? ) 曲线将经过 ?? 1, j 0 ? 点,闭环系统边界稳定; 当δ<0.25 时,M(0.1)>1, G K ( j? ) 曲线将顺时针包围 ?? 1, j 0 ? 点两圈,有两个特征 根位于虚轴右边,闭环系统不稳定。 即:使系统闭环稳定的最小δ的取值为 0.25


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