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第2章 导数与微分


第2章 导数与微分
1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分

结束

2.1

导数的概念
y
y ? f ( x)

2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率

N

曲线 y ? f (x)的图像

如图所示,
在曲线上任取两点 M ( x0 , y0 )
M

?y
T
?x
P

和 N ( x0 ? ?x, y0 ? ?y ) ,作割线
MN,割线的斜率为
k MN ? tan ? ?y ?x ?

?
O

?

x 0 x0 ? ?x x

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?x
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这里 ? 为割线MN的倾角,设 ? 是切线MT的倾角,
当 ?x ? 0 时,点N沿曲线趋于点M。若上式的

极限存在,记为k,则此极限值k就是所求切线
MT的斜率,即
y

k ? tanθ? lim tan
?x ? 0

y ? f ( x)

N

? lim ? lim

?y ?x f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?x
O

?y
M

?x ? 0

T
?x
P

?

?

?x ? 0

x 0 x0 ? ?x x

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结束

例2

产品总成本的变化率

设某产品的总成本C是产量Q的函数,即C=C(Q ),当产

量Q 从 Q0 变到 Q0 ? ?Q 时,总成本相应地改变量为
?C ? C (Q0 ? ?Q ) ? C (Q0 )

当产量从Q0 变到 Q0 ? ?Q 时,总成本的平均变化率
C (Q0 ? ?Q ) ? C (Q0 ) ?C ? ?Q ?Q

当 ?Q ? 0 趋向于0时,如果极限
C (Q0 ? ?Q ) ? C (Q0 ) ?C lim ? lim ?Q ? 0 ? Q ?Q ? 0 ?Q

存在,则称此极限是产量为 Q0 时总成本的变化率。
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2.1.2 导数的概念
x 定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义, 0 ? ?x

属于该邻域,记 ?y ?

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ),



?x ? 0

lim

?y ?x

? lim

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?x

?x ? 0

存在,则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数,记为
f' ( x 0 )或y' | x ? x0 , 或 dy dx dx f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? ( x0 ) ? lim f' ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x | x ? x0 , 或 df | x ? x0 .



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结束

导数定义与下面的形式等价:
f ?( x0 ) ? lim f ( x ) ? f ( x0 ) x ? x0
x ? x0

.

若y =f (x)在x= x0 的导数存在,则称y=f(x)在点x0
处可导,反之称y = f (x)在x = x0 不可导,此时意

味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念
都是描述函数在一点处的性态,导数的大小反映 了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.

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结束

三、左导数与右导数 左导数: f ?? ( x0 ) ? lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?

?x ?0

右导数: f ?? ( x0 ) ? lim
f ( x ) ? f ( x0 ) x ? x0

?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?

. .

?x ?0

?x

显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f ?? ( x0 ) ? lim?
x ? x0

, f ?? ( x0 ) ? lim ?
x ? x0

f ( x ) ? f ( x0 ) x ? x0

.

定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x 0 ? ?x 时,曲线y=f(x)

上的点由M 0 ( x 0 , f ( x 0 )). 变到M ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)).
此时 ?x 为割线两端点M0,M 的横坐标之差,而 ?y 则为M0,M 的纵坐标之差,
?y 即为过M0,M两点 ?x
M

所以

M0

的割线的斜率.
x0
x 0 ? ?x
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曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M 0 时的极限位置M0P,因而当 D x ? 0

时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.即:
f ?( x0 ) ? lim ?y ?x
?x ? 0

? lim tan ? ? tan ? ? k
? ??

所以,导数 f ?( x 0 ) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
?

M

P
M0
?

x0

x 0 ? ?x
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设函数y=f(x)在点处可导,则曲线y=f(x)在 点处的切线方程为:y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ). 而 当
f ?( x 0 ) ? ?

时,曲线

f ( x) 在 M 0

的切线方程为

x ? x0
当 f ?( x0 ) ? 0 时,曲线
f ( x) 在 M 0

的法线方程为
( x ? x0 ).

y ? f ( x0 ) ? ?

1 f ?( x0 )

而当 f ?( x

0

) ? 0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0

的法线方程为

x ? x0 (即法线平行y轴).
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例3

求函数

y?x

2

的导数

解: (1)求增量:
?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x )

? ( x ? ?x ) ? x ? 2 x?x ? (?x )
2 2

2

(2)算比值:
?y ?x ? 2 x ? ?x

(3)取极限:

y ? ? lim

?y ?x

?x ?0

? lim (2 x ? ?x ) ? 2 x
?x ?0

n n ?1 同理可得: ( x )? ? nx (n为正整数)

特别地, (x)? ? 1 (n ? 1).

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结束

例4

求曲线 y ? x 3 在点 ( 2,8) 处的切线与法线方程.

解:因为 ( x 3 )? ? 3x 2 ,由导数几何意义,曲线 y ? x 3 在点 (2,8) 的切线与法线的斜率分别为:
k1 ? y ?
x ?2

? (3 x )
2

x ?2

? 12, k 2 ? ?

1 k1

??

1 12

于是所求的切线方程为: y ? 8 ? 12( x ? 2)


12 x ? y ? 16 ? 0
1 12 ( x ? 2)

法线方程为: y ? 8 ? ? 即

x ? 12 y ? 98 ? 0
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2.1.4

可导性与连续性的关系

则 定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导,f(x)在点x0 处连续.

证 因为f (x)在点x0处可导,故有 f ?( x0 ) ? lim ?y .
?x ? 0

?x

根据函数极限与无穷小的关系,可得:
?y ?x ? f ?( x0 ) ? ?,其中 lim ? ? 0.
?x ? 0

两端乘以 ?x 得: ?y ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? ?x 由此可见:
?x ? 0

lim ?y ? lim ( f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? ?x ) ? 0.
?x ? 0

即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.
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例5 证明函数 y ?| x | 在x=0处连续但不可导.
证 因为 lim | x |? 0 x ?0 所以 y ?| x | 在x =0连续 而
f ?? (0) ? lim?
?x ? 0

?y ?x
?y

? lim?
?x ? 0

?x ?x
?x

?1
? ?1

f ?? (0) ? lim?
?x ?0

?x

? lim?
?x ?0

? ?x

即函数 y ?| x | 在x=0处左右导数不相等,从而在 x=0不可导.

由此可见,函数在某点连续是函数在该点可导的必要
条件,但不是充分条件 即可导定连续,连续不一定可导.
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2.2
定理一

导数的运算

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导,则:
' ' '

(1)[ u( x ) ? v( x )] ? u ( x ) ? v ( x );
( 2)[ u( x )v( x )]' ? u' ( x )v( x ) ? u( x )v ' ( x ),
特别地, v( x ) ? C (C为常数) ( Cu)? ? Cu? ,则 ? ? u( x ) ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x ) ( 3) ? ? ? v( x ) ? [v ( x )] 2 ? 特别地,如果 u( x ) ? 1,

可得公式

? 1 ? ? v ?( x ) ( v ( x ) ? 0) ? ? ? 2 [v ( x )] ? v( x ) ?

?

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结束

注:法则(1)(2)均可推广到有限 多个可导函数的情形

例:设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均
可导,则

( u ? v ? w )? ? u ? ? v ? ? w ?
( uvw )? ? u?vw ? uv ?w ? uvw ?
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例1

设y ? x 3 ? e x ? sin x ? ln 3,求y ?

y ? ? ( x 3 ? e x ? sin x ? ln 3)? 解:

? ( x 3 )? ? (e x )? ? (sin x )? ? (ln 3)?

? 3 x ? e ? cos x
2 x

例2 设 y ? 5

x 2 x , 求y ?

解: y ? ? (5 x 2 x )?
? 5( x )? 2 x ? 5 x ( 2 x )?
? 5? 2
x

? 5 x 2 ln 2
x
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2 x

例3 求y = tanx 的导数
解: y ? ? (tan x )? ? ( sin x )?
? cos 2 x
cos x (sin x )? cos x ? sin x(cos x )?
2 2

?

cos x ? sin x
2



cos x cos x (tan x )? ? sec2 x
2

?

1
2

? sec x
2

类似可得(cot x )? ? ? csc x
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例4 求 y = secx 的导数 解: y ? ? (sec x )? ? (
1 cos x 1 sin x ? ? ? tan x 2 cos x cos x )?

? sec x ? tan x
即 类似可得

(sec x )? ? sec x ? tan x
(csc x )? ? ? csc x ? cot x
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2.2.2 基本初等函数的导数

基本导数公式表
1.(C )? ? 0 (C为常数)

? ? ?x ? ?1 ( ?为常数) 2.( x ) 1 1 ?? 3.(log a x ) 4.(ln x )? ? x ln a x 6.(e x )? ? e x 5.(a x )? ? a x ln a

?

7.(sin x )? ? cos x

8.(cos x )? ? ? sin x
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9.(tan x )? ? sec x ?
2
2

1 cos x
1 sin x
2

2

10.(cot x )? ? ? csc x ? ?

11.(sec x )? ? sec x tan x
13.(arcsin x )? ?
15.(arctan x )? ?

12.(csc x )? ? ? csc x cot x
14.(arccos x )? ? ? 1 1? x
2

1 1 ? x2
1 1? x
2

1 16.(arccot x)? ? ? 1 ? x2

17.(sinh x )? ? cosh x

18.(cosh x )? ? sinh x
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例5 设y ? (2 x 2 ? sin x ) 3 , 求y ? ? x?
解: y ? ? [( 2 x ? sin x ) ]?
2 3
2 2 2

2

? 3(2 x ? sin x ) ( 2 x ? sin x )?
? 3(2 x ? sin x ) (4 x ? cos x )
2 2

y ? x ? ? ? [3(2 x ? sin x ) (4 x ? cos x )] x ? ?
2 2
2

π 2 ? 6 ( ? 1) π 2
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2

2

2.2.3 复合函数的导数
定理二 如果函数 u ? ? ( x ) 在x处可导,而函数 y=f(u)在对应的u处可导, 那么复合函数
y ? f [? ( x )] 在x处可导,且有
dy du ? ? dx du dx dy



? x y? ? yu ? u? x

注: 对于多次复合的函数,其求导公式类似, 此法则也称链导法
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例6

y ? sin(1 ? x ), 求y ?
2
2 2

解:y ? sin(1 ? x )可看作y ? sin u, u ? 1 ? x 复合而成
y ? ? (sin u)? (1 ? x 2 )?x u

? cos u ? 2 x ? 2 x cos(1 ? x )
2

例7

y ? sin ln x ? 2 , 求y ?
2
2

解: y ? ? cos ln x ? 2 ?
? x cos ln x 2 ? 2 x2 ? 2

1
2

x ?2 2 x ?2
2

?

1

? 2x

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结束

2.2.4 反函数的求导法则
定理三 如果单调连续函数 x ? ? ( y ) 在某区间内可导,
且? ?( y ) ? 0, 则它的反函数y=f(x)在对应的区间

内可导,且有
f ?( x ) ? 1 ? ?( y )



dx ?1 dy dx

dy



因为 y ? f ( x)是x ? ? ( y) 的反函数

所以有x ? ? ( y ) ? ?[ f ( x )]
dx dy ? 上式两边对x求导得 1 ? ? ? f x 或 1 ? ? y dy dx

所以

f ?( x ) ?

1 dy dx 或 ?1 ? ?( y ) dx dy

? dx ? ? ? dy ? ? ( y ) ? 0 ? ? ? ?
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例8

求函数y = arcsinx 的导数
而x ? sin y在区间(?
且(sin y )?y ? cos y ? 0,
(arcsin x )?x ? 1 (sin y )?

解: y = arcsinx 是x = siny 的反函数
? ?
, )内单调且可导, 2 2

因此在对应的区间(-1,1)内有
?
1 1 ? x2 1

1 cos y

?

1 1 ? sin y
2

?

1 1 ? x2

即 (arcsin x )?x ? 同理 (arccos x )?x ? ?
(arc cot x )? ? ?

1? x 1

2

(arctan x )? ?

1 1 ? x2
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1 ? x2

2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数 隐函数即是由 F ( x , y )所确定的函数,其求导方法就是把y 看成x的函数,方程两端同时对x求导,然后解出 y ? 。

例9 求方程 e ? x y ? e ? 0所确定的函数的导数
y 2 x

解: 方程两端对x求导得

e y ? y ? ? (2 xy ? x 2 y ?) ? e x ? 0

2 xy ? e x y? ? y e ? x2
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例10 设y ? arctan( x ? 2 y ), 求
解: 两边对x求导得
y? ? 1 1 ? ( x ? 2 y)
2

dy dx

(1 ? 2 y ?)

解出y ?, 得

y? ?

1 ( x ? 2 y) ? 1
2

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例11 设y ? (1 ? x 2 ) x , 求y ?
解一

函数y可以写成y ? (1 ? x ) ? e
2 x

x?ln(1? x 2 )

? y ? ? [e

x?ln(1? x 2 )

]?

?e
?e

x?ln(1? x 2 )

[ x ? ln( 1 ? x )]?
2

x ?ln(1? x 2 )

x ? 2 2 ? ln( 1 ? x ) ? (1 ? x )? ? 2 ? 1? x ? ?
2

? 2x ? 2 ? (1 ? x ) ?ln( 1 ? x ) ? 2 ? 1? x ? ?
2 x

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结束

解二

将函数y ? (1 ? x ) 两边取自然对数
2 x

ln y ? x ? ln( 1 ? x 2 )

两边对x求导,由链导法有
1 y y ? ? ln( 1 ? x ) ?
2

x 1? x 2x2
2

? 2x

? ln( 1 ? x 2 ) ?

? 2x2 ? ? y ? ? (1 ? x 2 ) x ?ln( 1 ? x 2 ) ? 2 ? 1? x ? ? 注: 解二称为对数求导法,可用来求幂指函数和多个因

1? x

2

子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
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例12 设y ? ( x 2 ? 1)( 3 x ? 4)( x ? 1) , 求y ? 解: 将函数取自然对数得
ln y ? 1 2 ln( x ? 1) ?
2

1 2

ln( 3 x ? 4) ?

1 2

ln( x ? 1)

两边对x求导得
1 y y? ? x x ?1
2

?

3 2( 3 x ? 4)

?

1 2( x ? 1)

? x 3 1 ? 所以 y? ? ( x ? 1)(3 x ? 4)( x ? 1) ? 2 ? ? ? ? x ? 1 2(3 x ? 4) 2( x ? 1) ?
2
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2.参数方程所确定的函数的导数
变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程 确定的,其中t 称为参数

{

x ?? ( t ) y ?? ( t )

对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接 求得y对x的导数 设 x ? ? (t ), y ? ? (t ) 均可导, 且 x ? ? (t ) 具有单值连续 反函数 t ? ? ?1 ( x ),则参数方程确定的函数可看成 y ? ? (t ) 与 t ? ? ?1 ( x ) 复合而成的函数, 根据求导法则有:
dy dt 1 ? ?( t ) dy 1 ? ? ? ? ? dx ? ? ?( t ) ? dx dt dx ? ?( t ) ? ?( t ) dt dt dy

此即参数方程所确定函数的求导公式
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例13

求曲线

{ y ? t ? t 3 在t =1处的切线方程

x ? t ?1
2

解: 曲线上对应t =1的点(x, y)为(0,0),

曲线t =1在处的切线斜率为
k? dy dx
t ?1

?
?

1 ? 3t 2 2t
?2 2 ?1
t ?1

于是所求的切线方程为 y =-x
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2.2.6 高阶导数
二阶导数:如果函数f(x)的导函数 y ? ? f ?( x ) 仍是x的可导

函数,就称 y ? ? f ?( x ) 的导数为f(x)的二阶导数, 记作

y ??,

f ??( x ),

d y dx
2

2



d 2 f ( x) dx 2

即 y ?? ? ( y ?)?, f ??( x ) ? [ f ?( x )]? 或 n阶导数:
d d dx dx ? d dx f ( x) ? dn y dx n ? f ( n) ( x ) ? y( n)

d2y dx 2

?

d ? dy ? ? ? dx ? dx ?

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数的计算: 运用导数运算法则与基本公式将函 数逐次求导
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例14

设y ? a x , 求y ( n )
x

? ? a x ln a , y ?? ? a x (ln a ) 2 , ? , y ( n ) ? a x (ln a ) n 解:y

? ? e x ,(e x )?? ? e x , ? , (e x ) ( n ) ? e x 特别地 (e )

例15 设y ? sin x, 求y ? 解: y ? ? (sin x )?? cos x ? sin( x ? )
( n)

? ? ? cos( x ? ) ? sin( x ? 2 ? ? ) ? y ?? ? ?sin( x ? )? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? y ??? ? ?sin( x ? 2 ? )? ? sin( x ? 3 ? ) 2 2 ? ?

?

? 2

……

y

( n)

? sin( x ? n ?

?
2
( n)

) 即 (sin x )

( n)

? sin( x ? n ?

?
2

)
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同理

(cos x )

? cos( x ? n ?

?
2

)
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2.3
2.3.1 微分的概念
例1 解

微分

设有一个边长为x0的正方形金属片,受热后它的 边长伸长了 ?x,问其面积增加了多少? 如图,正方形金属片的面 积 A 与边长 x 的函数关系

为A = x2 , 受热后当边长由
x0伸长到x0+?x 时, 面积A

相应的增量为
2 ?A ? ( x 0 ? ?x ) 2 ? x 0 ? 2 x 0 ?x ? ( ?x ) 2
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?A分成两部分:第一部分是?x

从上式可以看出, A分成两部分:第一部分 ?x ? 是

的线性函数 2 x 0 ?x, 是当?x ? 0时与?x同阶的无穷小;
2

第二部分( ?x ) , 是当?x ? 0时比?x高阶的无穷小。

这表明 ?x 很小时,可用其线性函 数作为?A的近似值:

?A ? 2 x0 ?x .
这部分就是面积 ?A 的增量的主要部分(线性主部)
?( x 0 ) ? ( x 2 )? 因为A
x ? x0

? 2 x0 ,

所以上式可写成 ?A ? A?( x0 )?x .
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定义 设函数 y ? f (x) 在点 x 0 的某邻域内有定义, 如果函数 f (x) 在点

x 0 处的增量

?y ? f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 可以表示为

?y ? A ? ?x ? o( ?x ),
其中A是与 ?x 无关的常数, ( ?x )是当 ?x ? 0 时 o 比 ?x 高阶的无穷小,则称函数 f (x) 在点 x 0 处 可微, A ? ?x 称为 f (x) 在点 x0 处的微分, 记为 dy |x ? x0 ,即 dy |x ? x0 ? A ? ?x. 于是,(2.3.1)式可写成 ?A ? dA
x ? x0
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由微分定义,函数f (x)在点x0处可微与可导等价,
且 A ? f ?( x0 ) ,因而 f (x) 在点 x0 处的微分可写成

dy

x ? x0

? f ?( x0)?x
? f ?( x0)d x

于是函数 通常把 ?x 记为d x ,称自变量的微分,
f (x)在点x0 处的微分又可写成 d y
x ? x0

可微函数:如果函数在区间(a , b)内每一点都可微, 则称该函数在(a , b)内可微。 f(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为 dy ? f ?( x )dx

上式两端同除以自变量的微分,得 d y ? f ?( x) 因此导数也称为微商.
dx
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例2 求函数 y=x2 在 x=1, ?x ? 0.01 时的改变量和微分。 解: ?y ? ( x ? ?x ) 2 ? x 2 ? 1.012 ? 12 ? 0.0201 在点 于是

x

处, d y ? (x 2)??x ? 2x?x ?1

d y x ?1

?x ? 0.01

? 2x?x x ?1
2

?x ? 0.01

? 0.02

例3 半径为r 的圆的面积 面积的增量与微分. 解:面积的增量

s ? ?r 当半径增大 ?r时,求

?s ? ? (r ? ?r ) ? ?r ? 2?r?r ? ? (?r ) .
2 2 2

面积的微分为

d s ? s? ?r ? 2? r ?r. r
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2.3.2 微分的几何意义
M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为 ? , 则 y tan ? ? f ?(x) 当自变量x有增量 ?x 时, 切线MT 的纵坐标相应地有增量
M
y ? f ( x)

设函数y = f (x)的图形如下图所示.过曲线y = f (x)上一点

N

P
dy

?y

Q P ? tan ? ? ?x ? f ?(x)?x ? d y
因此,微分 d y ? f ?( x)?x
O

Q

?
x
x ? ?x x

几何上表示当x有增量 ?x时,曲线 y ? f ( x) 在对应点
M ( x, y ) 处的切线的纵坐标的增量. d y 近似代替 ?y 用

就是用QP近似代替QN,并且 ?y ? d y ? PN

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结束

2.3.3 微分的运算法则 1. 微分的基本公式:
(1) dC ? 0 (C为常数)
(2) dx ? ax
a a ?1

dx (a为常数)

(3) da ? a ln a dx (a ? 0 ,a ? 1)
x x

(4) de ? e dx
x x

1 1 (5) d log a x ? ? dx (a ? 0 ,a ? 1) x ln a 1 (6) d ln x ? dx x

(7) dsin x ? cos xdx

(8) dcos x ? ? sin xdx

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续前表
(9) d tan x ? sec xdx
2

(10) dcot x ? ? csc xdx
2

(11) dsec x ? sec x tan xdx

(12) dcsc x ? ? csc x cot xdx

(13) darcsin x ?

1 1 ? x2

dx (14) d arccos x ? ?

1 1 ? x2

dx

1 (15) d arctan x ? dx 2 1? x

1 (16) d arccot x ? ? dx 2 1? x
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2.

微分的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)均可微 ,则

d( u ? v ) ? du ? dv;

d( uv ) ? vdu ? udv;
d(Cu) ? C d u (C 为常数);
? u ? v d u ? udv d? ? ? 2 v? v ?
(v ? 0).

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3.复合函数的微分法则 设函数 y ? f (u),u ? ? (x) 都是可导函数,则
复合函数

y ? f [? ( x)] 的微分为
?
x

d y ? ? f ??(x) ?? d x ? f ?(u)??(x) d x


d u ? ??(x) d x
总有

于是 dy ? f ?(u)du

可见,若y=f(u)可微,不论u是自变量还是中间变量,

d y ? f ?(u) d u

这就是一阶微分形式不变性.
利用微分形式不变性,可以计算复合函数和隐 函数的微分.
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例4 设y ?

2 ? 3x ,求
2
2

dy dx
1

与dy .
( 2 ? 3 x )??
2

解:

dy

dx

? ( 2 ? 3 x )? ?

6x 2 ? 3x2

2 ? 3 x2 例5 求由方程 x2 ? 2xy ? 2 y 2 ? 1 所确定的隐函数 y ? f (x)
的导数 d y 与微分 d y
dx

dy ?

6x

2 2 ? 3x2

dx .

解:对方程两边求导,得

即导数为 微分为

x? y dy? dx y?x
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x? y y? ? y?x

2x ? 2 y ? 2xy? ? 4 yy? ? 0

由以上讨论可以看出,微分与导数虽是两个
不同的概念,但却紧密相关,求出了导数便立即

可得微分,求出了微分亦可得导数,因此,通常
把函数的导数与微分的运算统称为微分法.

在高等数学中,把研究导数和微分的有关内
容称为微分学.

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2.3.4 微分在近似计算中的应用
由微分的定义可知,当函数 y ? f (x)在 x0 点的导数
f ?(x0) ? 0,且 ?x 很小时,我们有近似公式

?y ? f (x0 ? ?x) ? f (x0) ? dy ? f ?(x0)?x
或写成 f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )?x . (1)

上式中令

x0 ? ?x ? 0 ,则
f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ( x ? x0 ).

(2)

特别地,当x0=0, x 很小时,有

f ( x ) ? f (0) ? f ?(0) x

(3)
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公式(1) (2) (3)可用来求函数f(x)的近似值。

注: 在求 f (x) 的近似值时,要选择适当的 x 0 ,使
f ( x, f ?( x0 ) 容易求得,且 0)

x ? x0

较小.

应用(3)式可以推得一些常用的近似公式,当

x 很小时,有
(1) (2)

sin x ? x (x用弧度作单位)

tan x ? x(x用弧度作单位)

(3)
(4)

e ? 1? x
x

ln(1 ? x) ? x

(5)

n

1 1? x ? 1 ? x n
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例6 计算sin 46? 的近似值. 解: 设

f ( x) ? sin x, 取 x ? 46 ,x 0 ? 45 ?
?
?

?
4



x ? x0 ? 1 ?
?

?

180

于是由(2)式得

sin x ? sin x0 ? cos x0 ? ( x ? x0 ).
即 sin 46 ? sin
?

?
4
?

? cos
2 2 ?

?
?

4 180
? 0.719
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?

?

?

2 2

180


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