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河北省衡水中学2013届高三上学期二调考试数学理试题(word版


河北衡水中学 2013 届高三上学期二调考试

数学(理)试题
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上) 1

.设全集 U=R, A ? {x | 2 A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 2. c ? ? “o s
x ( x ? 2)

? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则右图中阴影部分表示的集合为

B. {x | 1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1}

3 7 ”是“ cos 2? ? ? ”的 5 25
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

A.充分而不必要条件 C.充要条件

3.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos x ? 3 的图象的一个对称中心是

A. (

2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. ( ?

2? 3 , ) 3 2

D. (

?
3

, ? 3)

4.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如右下, 此函数的解析式为

2? ) 3 ? B.y=2sin(2x+ ) 3 x ? C.y=2sin( ? ) 2 3 ? D.y=2sin(2x— ) 3
A.y=2sin(2x+ 5.

? (e
0

1

x

? 2 x)dx 等于
B.e—1 C.e D. e ? 1

A. 1

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6.已知 lim
x ??

f ( x0 ?? x) ? f ( x0 ?? x) =1,则 f ?( x0 ) 的值为 3? x
B.
3 2

A.

1 3

2 3

C.1

D.

3 2

7.已知 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围为 A. a ? ?3或a ? 6 B. ? 3 ? a ? 6 C. ? 1 ? a ? 2 D. a ? ?1或a ? 2

8.设函数 f ( x) ? cos x, 把f ( x) 的图象向右平移 m 个单位后,图象恰好为函数 y ? ? f ( x) 的图象, 则 m 的值可以为 A.

? 4
?

B.

? 2
?

C.

3? 4

D. ?

9.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? ( 3,1), ,则 | a ? b | 的最大值为 A.1 B. 3 C.3 D.9

?

?

10.已知△ABC,若对任意 k ? R有 | BA ? k BC |?| CA | 则△ABC 一定是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

??? ?

??? ?

??? ?

11.若 2sin ? ? cos ? ? 2, 则sin ? ? 2cos ? 的取值范围是 A. [?3,3] B. [ ?

3 7 , ] 2 2

C.[-2,2]

D. [? ,1]

3 2

12.下列说法:①若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ,则 6 为函数 f ( x) 的周期; ②若对于任意 x ? (1,3) ,不等式 x ? ax ? 2 ? 0 恒成立,则 a ?
2

11 ; 3

③定义: “若函数 f ( x) 对于任意 x ? R ,都存在正常数 M,使 | f ( x) |? M | x | 恒成立,则称函 数 f ( x) 为有界泛函. ”由该定义可知,函数 f ( x) ? x ? 1 为有界泛函;
2

④对于函数 f ( x) ?

x ?1 , 设f 2 ( x) ? f [ f ( x)], f 3 ( x) ? f [ f 2 ( x)],?, f n?1 ( x) ? f [ f n ( x)] x ?1

(n ? N *且n ? 2) ,令集合 M ? {xf 2009 ( x) ? x, x ? R} ,则集合 M 为空集。正确的个数为
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

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第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 f (sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? cos ? , 则f (sin 14.函数 y ? 2sin(2 x ?

?
6

) 的值为




?
3

)在[0, ? ] 上的单调增区间为

15.给出下列六个命题: ①函数 f(x)=lnx-2+x 在区间(1,e)上存在零点; ②若 f(x)=0,则函数 y ? f ( x)在x ? x0 处取得极值; ③若 m≥-1,则函数 y ? log 1 ( x ? 2 x ? m) 的值域为 R;
2 2

④满足条件 AC= 3, ∠B=60°,AB=1 的三角形△ABC 有两个; ⑤函数 y=(1+x)的图像与函数 y=(1-x)的图像关于 y 轴对称。 其中正确命题的个数是 。 16.如图,在矩形 OACB 中,E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点, 满足 AC=3AE,BC=3BF,若 OC ? ? OE ? ? OF 其中 ? , μ ∈R,则λ +μ 是 。 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) 17. (本小题 10 分)已知向量 m ? ( 3 sin (1)若 f ( x) ? 1, 求 cos(

????

??? ?

??? ?

??

2? ? x) 的值; 3

? ?? ? x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ), f ( x) ? m ? n. 4 4 4

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 a cos C ? 取值范围

1 c ? b, 求函数 f ( B) 的 2

18. (本小题 12 分)如图,梯形 ABCD 中,AD//BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P 是 AB 上的一个动
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点,∠CPB=α ,∠DPA=β 。 (I)当 PD ? PC 最小时,求 tan∠DPC 的值。 (Ⅱ)当 tan∠DPC=β 时,求 PD ? PC 的值。

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

19. (本小题 12 分)已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 象的最高点, Q 为图象与 x 轴的交点,O 为原点.Q(2,0)且 | OP |?

?
2

) 图象如图, P 是图

??? ?

5 13 ,| PQ |? 2 2

(Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)将函数 y=f(x)图象向右平移 1 个单位后得到函数 y=g(x)的图象,当 x∈[0,2]时,求函 数 h(x)=f(x) ·g(x)的最大值.

20. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象过原点,且在 x=1 处取得极值,直线
3 2

x ? 3 y ? 3 ? 0 与曲线 y=f(x)在原点处的切线互相垂直。
(I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)若对任意实数的 m,n∈[-2,2],恒有 | f (m) ? f (n) |? t 成立,求实数 t 的取值范围。

21. (本小题 12 分)衡中拟建一座长 60 米,宽 30 米的长方形展览馆.按照建筑要求,每隔 x 米需 打建一个桩位,每个桩位需花费 4.5 万元(桩位视为一点且打在长方形的边上) ,桩位之间的 x 米墙面需花 (2 ? 3 x) x 万元, 在不计地板和天花板的情况下, x 为何值时, 当 所需总费用最少?

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22. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ln( ? (I)若 x ?

1 2

1 ax) ? x 2 ? ax(a为常数,a>0) 2

1 是函数f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (II)求证:当 0 ? a ? 2时, f ( x)在[ , ??) 上是增函数; 2 1 (III)若对任意的 a ? (1, 2), 总存在x0 ? [ ,1], 使不等式f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求实数 m 的 2
取值范围。

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