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(人教a版)必修一同步课件:1.3.2(第2课时)函数奇偶性的应用


第2课时 函数奇偶性的应用

类型 一

根据函数的奇偶性求函数解析式

【典型例题】 1.f(x)为R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=x(x-1), 则当x∈(0,+∞)时,f(x)=______. 2.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=
1 , 求f(x),

g(x). x ?1

【解题探究】1.对于题1,应如何设自变量x?
2.题2中,如何应用“f(x)为偶函数,g(x)为奇函数”这一条

件?
探究提示:

1.应“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区
间内.

2.应用函数奇偶性,需出现f(-x),g(-x),故用-x代替原式
中的x,列出方程组,解关于f(x)与g(x)的方程组.

【解析】1.当x∈(0,+≦)时,-x∈(-≦,0), f(-x)=-x(-x-1).又f(x)为R上的奇函数, 所以x∈(0,+≦)时,-f(x)=-x(-x-1), 即f(x)=-x(x+1). 答案:-x(x+1)

2.由f(x)+g(x)=

1 , ① x ?1

把x换成-x,得f(-x)+g(-x)=

1 , ?x ? 1

≧f(x)为偶函数,?f(-x)=f(x). 又≧g(x)为奇函数,?g(-x)=-g(x),
1 .② x ?1 由①②得 f ? x ?= 21 ,g ? x ?= 2x . x ?1 x ?1

?f(x)-g(x)=-

【拓展提升】
根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间 内. (2)转化代入已知区间的解析式. (3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而解出f(x).

【变式训练】函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,当x≥0时 f(x)=x2-2x-3,求函数y=f(x)的解析式. 【解题指南】设x<0,则-x>0,利用偶函数的定义, f(-x)=f(x)进行转化. 【解析】令x<0,则-x>0, 故f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3. 又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 故f(x)=x2+2x-3,
2 ? ? x ? 2x ? 3, x ? 0, ?f ?x? ? ? 2 ? ? x ? 2x ? 3, x<0.

类型 二

函数的奇偶性和单调性的综合应用

【典型例题】 1.若f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下 列各式成立的是( ) B.f(-2)>f(1)>f(0) D.f(0)>f(-2)>f(1)

A.f(-2)>f(0)>f(1) C.f(1)>f(0)>f(-2)

2.设函数f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),求a的取值范围.

【解题探究】1.题1中如何将f(-2)转化为自变量在[0,+≦) 上与之相等的函数值? 2.偶函数在两个对称区间上的单调性有什么关系?解决题 2的

关键点是什么?

探究提示: 1.利用函数的奇偶性,因为f(x)在R上是偶函数,所以 f(-2)=f(2). 2.偶函数在两个对称区间上的单调性相反,即若一个区间是 增函数,则相应对称区间上为减函数.解决本题的关键是去掉 “f”,转化为具体不等式求解.

【解析】1.选B.f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2).又f(x) 在[0,+≦)上是增函数,故f(0)<f(1)<f(2),即 f(-2)>f(1)>f(0). 2.由f(x)在R上是偶函数,在区间(-≦,0)上递增,可知f(x) 在(0,+≦)上递减. ≧2a2+a+1=2(a+
1 2 7 1 2 5 2 ) + >0,2a -2a+3=2(a- ) + >0, 2 4 8 2

且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), ?2a2+a+1>2a2-2a+3, 即3a-2>0,解得a> .
2 3

【互动探究】若题2中“偶函数”改为“奇函数”,则结果如何? 【解析】若f(x)为R上的奇函数,在区间(-≦,0)上递增,则 f(x)在(0,+≦)上递增, 又≧f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), ?2a2+a+1<2a2-2a+3, 即3a-2<0,解得a< .
2 3

【拓展提升】
1.函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x) 在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性. (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x) 在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.

2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式 转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再利用单调性脱 掉“f”求解. (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性 相反,列出不等式或不等式组,求解即可 ,同时要注意函数自 身定义域对参数的影响.

【变式训练】若偶函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大 值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( A.增函数且最小值是5 B.增函数且最大值是5 C.减函数且最大值是5 D.减函数且最小值是5 )

【解析】选C.偶函数图象关于y轴对称,f(x)在区间[3,7]上
是增函数,则在区间[-7,-3]上是减函数,且最大值为5.

【规范解答】函数奇偶性与单调性的综合应用
【典例】 【条件分析】

【规范解答】(1)令x1=x2=1①得 f(1)=f(1)+f(1), ?f(1)=0. (2)令x1=x2=-1①, 则f(-1)=0, 令x1=-1,x2=x①, ?f(-x)=f(x), 又定义域为{x|x≠0},关于原点对称, ?f(x)为偶函数. ????????? 7分 ????????? 4分 ????????? 3分

(3)≧f(4)=1,
又f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ?f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16), ?f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64), ?f(64)=f(4)+f(4)+f(4), ?f(64)=3.② ????????? 8分

?f(3x+1)+f(-6)≤3等价于f(-6(3x+1))≤3,

?f(|-6(3x+1)|)≤f(64),
③ ? 3x ? 1 ? 0, ? ? ? ? ? ?6 ? 3x ? 1? ? 64, 35 1 1 29 解得 x ? [ ? , ? ) ? (? , ] . 9 3 3 9

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10分 12分

【失分警示】

【防范措施】
1.赋值法的应用

抽象函数的求值与性质讨论,往往需要恰当地赋值,此时要
明确利用哪些式子说明问题,如本题中判断函数奇偶性,看 f(-x)与f(x)的关系,关键是出现f(-x)与f(x)之后,不要出 现多余变量.

2.偶函数的一个重要性质

根据偶函数的定义,可得f(x)=f(|x|),从而把自变量都集中在
区间(0,+≦)上,应用单调性时,就可以避免分自变量在不同 区间内的繁琐讨论,把f(-6(3x+1))写成f(|-6(3x+1)|),避免 对-6(3x+1)的符号讨论.

【类题试解】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当
x≥0时,f(x)=-x2+ax. (1)当a=-2时,求函数f(x)的解析式. (2)若函数f(x)为R上的单调减函数, ①求a的范围; ②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值 范围.

【解析】(1)当x<0时,-x>0,又因为f(x)为奇函数,且a=-2,
2 ? x ? 2x, x ? 0, ? 所以f(x)=-f(-x)=x2-2x,所以 f ? x ? ? ? 2 ? ?? x ? 2x, x ? 0.

(2)①当a≤0时,对称轴x= 上单调递减,

a ≤0,所以f(x)=-x2+ax在[0,+≦) 2

由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,所以 f(x) 在(-≦,0)上单调递减, 又在(-≦,0)上f(x)>0,在(0,+≦)上f(x)<0, 所以当a≤0时,f(x)为R上的单调减函数. 当a>0时,f(x)在(0, )上单调递增,在( , +≦)上单调递 减,不合题意. 所以函数f(x)为单调减函数时,a的范围为a≤0.
a 2
a 2

②≧f(m-1)+f(m2+t)<0,?f(m-1)<-f(m2+t),
又≧f(x)是奇函数,?f(m-1)<f(-t-m2),

又≧f(x)为R上的单调减函数,?m-1>-t-m2恒成立,
?t>-m2-m+1=-(m+
1 2 5 5 ) + 恒成立,?t> . 2 4 4

1.若函数f(x)=x3,x∈R,则函数y=f(-x)在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

)

【解析】选B.f(-x)=-x3为奇函数, 设x1,x2∈R,且x1<x2,则-x1>-x2,
3 3 3 f(-x1)-f(-x2)= ?x1 ? ? ?x3 ? x ? x 0, ? 2 2 1>

?f(-x1)>f(-x2),f(-x)为减函数.

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,
则f(x)在R上的表达式是( )

A.y=x(x-2)
C.y=|x|(x-2)

B.y=x(|x|+2)
D.y=x(|x|-2)

【解析】选D.由x≥0,f(x)=x2-2x,f(x)是定义在R上的奇 函数得:当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x),
? ? x ? x ? 2 ? , x ? 0, ? f ? x ?=? 即f(x)=x(|x|-2). ? ? x ? ? x ? 2 ? , x<0,

3.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f(a)
<f(b),则一定可得( )

A.a<b
C.|a|<|b|

B.a>b
D.0≤a<b或a>b≥0

【解析】选C.对于定义域为R的偶函数,若x≥0,则 f(|x|)=f(x);若x<0,则f(|x|)=f(-x)=f(x).所以,定义 域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R,有f(|x|)=f(x).于是由 f(a)<f(b),可得f(|a|)<f(|b|).而|a|≥0,再由f(x)在 [0,+≦)上是增函数可得|a|<|b|,故选C.

4.函数f(x)=x3+ax,f(1)=3,则f(-1)=______. 【解析】显然f(x)是奇函数,?f(-1)=-f(1)=-3. 答案:-3

5.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递减 区间是______. 【解析】利用函数f(x)是偶函数,则k-1=0,k=1,所以 f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+≦). 答案:[0,+≦)

6.f(x)是定义在(-∞,-5],[5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5] 上的单调性,并用定义给予证明.

【解析】f(x)在(-≦,-5]上单调递减.任取x1<x2≤-5,则
-x1>-x2≥5,因f(x)是奇函数且在[5,+≦)上单调递减,

所以f(-x1)< f(-x2)?-f(x1)<-f(x2)?f(x1)>f(x2),即
f(x)在(-≦,-5]上是单调减函数.


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